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专题五 与函数有关的动点问题
知识与方法
1. 有关变量间的变化关系问题
基本策略：
(1)抓住问题中的“起始点、临界点、转折点与结束点”等关键点排除部分选项；
(2)分析函数类型，结合函数图象求解，或求出函数表达式，根据表达式求解.
2. 有关线段长度(或图形面积)的最值问题
基本思路：
(1)设自变量；(2)建立函数模型(一般为二次函数)；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质求最值.
应用举例
1. 有关变量间的变化关系
例 1 如图1-5-1①,在Rt△ABC中,∠A=90°,点 P 从点A 出发，沿三角形的边以1 cm/s的速度逆时针运动一周，图②是点P 运动时，线段AP 的长度y(cm)随运动时间x(s)变化的关系图象，则图②中 P 点的坐标是 ( )
A. (13,4.5) B. (13,4.8) C. (13,5) D. (13,5.5)
变式 如图1-5-2,在矩形 ABCD 中,BC=1,∠ADB=60°,动点 P 沿折线AD→DB 运动到点B，同时动点 Q 沿折线DB→BC运动到点C，点 P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则图1-5-3中能大致反映S与t 之间函数关系的是
【问题分析】
求解此类问题关键是明确两个图形的对应关系，重点关注函数图象的转折点，即“拐点”.图②中的图象有三段，分别对应图①中的线段 AB,BC,AC.第一个拐点为 B(点P 到达点 B 时改变运动路径)，故AB=8.第二个拐点为C,对应x=18=AB+BC.结合 P 点的横坐标可得 AP 的长.
【问题分析】
易知AD=1,BD=2,故当点 P在AD 上时,点 Q 在 DB 上;当点 P 在 BD 上时,点 Q 在 BC上.利用三角形面积公式分别求出点 P 在 AD,BD 上时 S 与 t的函数表达式，可得结论.
2. 有关线段长度的最值问题
例2 如图 1-5-4,等腰三角形 ABC 内接于半径为5 的⊙O,
(1)求腰AB的长;
(2)P是边 BC 上的动点(不与点 B,C重合),∠APE=∠B=∠C,PE交AC 于点 E.求线段CE的最大值.
【问题分析】
(1)利用垂径定理可得AB的长.
(2)求线段 CE 的最大值可考虑利用函数思想，借助一线三等角相似，找出 CE 的函数表达式再求函数的最值.
3. 有关图形面积的最值问题
例3 问题提出
(1)如图1-5-5①,在 ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD 的中点,点F在DC上,且DF=5,求四边形ABFE 的面积(结果保留根号).
问题解决
(2)某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边 BC,CD,AE,AB 上,且满足 BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五边形 ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800m,BC=1200m,CD=600 m,AE=900 m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN 若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
(1)直接利用面积差求解.
(2)延长AE,CD,构造矩形,利用面积差求解.
进阶训练
1. 如图 1-5-6,直线 m∥n,AB⊥m,AB=2,P 是 AB的中点，C，D分别是直线m，n上的动点(不与点 A，B 重合),且满足 PC⊥PD,设AC=x,BD=y,则y与x 的函数图象是图1-5-7中的 ( )
2. 如图1-5-8①,矩形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C,设 B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图②是点 P运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 如图1-5-9,线段AB=10,点C,D在AB 上,AC=BD=1.已知点 P 从点C 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着 AB 向点 D 移动，到达点 D 后停止移动.在点 P 移动过程中作如下操作：先以点 P 为圆心，PA，PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点 P的移动时间为t(秒)，两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t 的函数图象大致是图1-5-10 中的( )
4. 如图 1-5-11①,在△ABC 中, AB= AC,∠BAC=90°,边 AB 上的点 D 从顶点 A 出发，向顶点 B 运动，同时，边BC 上的点 E 从顶点B 出发，向顶点 C 运动，D，E两点运动速度的大小相等.设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图②，图象过点(0，2)，则图象最低点的横坐标是 .
5. 如图1-5-12①,菱形 ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，P，Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点 P 的运动路线为O-A-D-O,点Q的运动路线为O-C-B-O.设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图②所示，当点 P 在A—D段上运动且 P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为 厘米.
6. 如图 1-5-13,△OAB 的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点 P,Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点 B 时点 P，Q同时停止运动.过点 Q作MN∥OB 分别交AO,AB 于点M,N,连接 PM,PN.设运动时间为t(秒).
(1)求点 M 的坐标(用含 t的式子表示).
(2)求四边形 MNBP 面积的最大值或最小值.
7. 如图1-5-14,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,点 D 为边AC 的中点.动点 P 从点A出发，沿折线AB-BC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，当点 P 不与点 A，C重合时，连接 PD.作点 A 关于直线 PD 的对称点A',连接A'D,A'A.设点 P 的运动时间为t秒.
(1)线段 AD的长为 ;
(2)用含 t 的代数式表示线段BP 的长；
(3)当点 A'在△ABC内部时,求t的取值范围;
(4)当∠AA'D 与∠B 相等时,直接写出 t 的值.
答案
|应用举例|
例 1 C [解析] 由图象可知AB=8,BC=18-8=10,当x=13时,即点 P 运动了13s,13s>8s,
∴此时点 P 在线段BC上,BP=13-8=5.
∴P 为BC 的中点.
又∵∠BAC=90°,∴AP= BC=5.
∴点 P 的坐标为(13,5).
故选C.
变式 D [解析] ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=1,∠A=∠C=90°,AD∥BC.
∴∠ADB=∠DBC=60°.
∴BD=2AD=2.
当点 P 在 AD 上时,
当点 P 在线段 BD 上时,
观察图象可知选项 D满足条件，故选 D.
例2 解:(1)如图,连接OA,OB.
设OA 交BC 于点D.
易知OA⊥BC,
∴AD=OA-OD=2.
(2)∵∠APE=∠ABC=∠C,
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPE.
∴∠BAP=∠CPE.∴△ABP∽△PCE.∴FC=BE.
设BP=x,CE=y,!则
∴当x=4时,
即CE的最大值为
例3 解:(1)如图①,过点A 作AH⊥CD交CD 的延长线于点 H,过点 E 作 EG⊥CD 交CD 延长线于点 G,则∠H=90°,∠EGD=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=8,AB∥CD.
∴∠ADH=∠BAD=45°.
在Rt△ADH中,AD=6,∴AH=AD·sin∠ADH=3
∵E是AD 的中点,∴DE=3.同理
∵DF=5,∴FC=CD-DF=3.
(2)存在.如图②，分别延长AE，CD，交于点 K，则四边形ABCK 是矩形,
∴AK=BC=1200米,CK=AB=800米.
设AN=x米,则 PC=x米,BO=2x米,BN=(800-x)米,AM=OC=(1200-2x)米,
∴MK=AK-AM=1200-(1200-2x)=2x米,PK=CK-CP=(800-x)米.
470000,
∴当x=350时,S四边形OPMN最小=470000(平方米),
AM=1200-2x=500<900,CP=x=350<600.
∴符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值为470000平方米,此时,点 N 到点A 的距离为350米.
|进阶训练|
1. B [解析] ∵直线m∥n,AB⊥m,PC⊥PD,
∴∠PAC=∠PBD=∠CPD=90°.
∴∠APC + ∠BPD = ∠APC + ∠ACP = 90°.
∴∠ACP=∠BPD.∴△ACP∽△BPD.∴AC=BD.
∵P 是AB 的中点, 故选 B.
2. C [解析] 由函数图象得到动点 P 的两个特殊位置，当 P与B 重合时,AB-BE=1,当 P 不与E 重合时,组成三角形APE,∵PA-PE3. D [解析] ∵AB=10,AC=BD=1,∴CD=10-1-1=8.∵PC=t,∴AP=t+1,PB=8-t+1=9-t.
设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R，则
解得
∴两个圆锥的底面面积之和为
∴S关于t的函数图象是一个开口向上的抛物线.故选 D.
[解析] ∵图象过点(0,2),∴当x=AD=BE=0时,点 D 与点A 重合,点 E 与点 B 重合,
此时y=AE+CD=AB+AC=2.
∴AB=AC=1.
过点A 作AF⊥BC于点 F,过点 B 作 NB⊥BC,并使得BN=AC,连接NE,如图所示.
∵ AD = BE, ∠NBE =∠CAD,AC=BN,
∴△NBE≌△CAD(SAS).
∴NE=CD.
∴y=AE+CD=AE+NE.当A，E，N三点共线时，y取得最小值，此时AD=BE=x,AC=BN=1,BF=
∵∠BEN=∠FEA,∠NBE=∠AFE,
∴△NBE∽△AFE∴∠F=BFF,即 解得
∴图象最低点的横坐标为
[解析] 当点 P 运动到点 A 时，点Q 运动到点C，对应图象中的第一个“拐点”，结合图象可知此时，
当点 P 运动到点 D 时，点Q 运动到点 B，对应图象中的第二个“拐点”，结合图象可知，此时y=BD=2cm，∴OD=OB=1 cm.
在 Rt△ADO中, ∴AB=BC=DC=AD=2cm.如图，当点 P在A-D段上运动，点P 运动到点 E处，点Q在C-B段上运动，点Q运动到点F处时，P，Q两点间的距离最短，此时，
∴当点 P在A-D段上运动且 P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为：
6. 解:(1)过点A 作x轴的垂线,交MN于点E,交OB于点F,由题意得:OQ=2t,OP=3t,PB=6-3t,
∵O(0,0),A(3,4),B(6,0),
∴OF=FB=3,AF=4,OA=
∵MN∥OB,∴∠OMQ=∠AOF.
∵∠OQM=∠OFA=90°,∴△OQM∽△AFO.
点M的坐标是(t,2t).
(2)易知四边形 QEFO是矩形,
∵OA=AB,∴ME=NE.∴MN=2ME=6-3t.
∵点 P 到达点 B 时,P,Q同时停止运动,∴0≤t≤2.
∴t=1时,四边形 MNBP 的最大面积为6.
7. 解:(1)2
(2)当0当5综上所述，
(3)当点 P 运动到AB 的中点时,A'与C重合,此时t= ，A′的运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆的一部分；
当点 P 运动到PD⊥AB时,A'在边AB 上,此时AP=
∴当点 A'在△ABC内部时,
或 [解析] 如图①,当0∵∠AA'D =∠B=∠A'AD,∠ADP+∠A'AD =∠BAC+∠B=90°,
如图②,当5∵∠AA'D=∠B=∠A'AD,∠BAC+∠B=90°,
∴∠BAC+∠A'AD=90°.∴PE∥BA.∴∠DPC=∠B.
∵在 Rt△PCD 中,
综上所述 或

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