资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
等腰三角形存在性问题
问题与方法
问题: 如图3-1-1,若点 A 的坐标为(4,3),点 P 在y 轴上,使得 为等腰三角形的点 P 有多少个 它们的坐标分别是什么
【简析】解法1(几何法)：由于点O和点A 是两个定点，因此OA 的长度为定值，而点 P 是一个动点.由于底边不确定,因此需要分OA=OP,AO=AP,PA=PO三种情况讨论.
如图3-1-2,连接OA.
①若OP=OA,则点 P 在以O为圆心,OA=5为半径的圆上,此圆与 y轴的交点 P (0,5),P (0,-5)即为所求;
②若AP=AO,则点 P 在以A 为圆心,AO=5为半径的圆上,此圆与 y 轴的交点 P (0,6)即为所求;
③如图3-1-3，若 PA=PO，则点 P 在线段OA 的垂直平分线上，此直线与y轴的交点 P 即为所求.下面求 P 的坐标:过点 A 作AM⊥y轴于点M.
设 P O=P A=x.
在 Rt△AP M中,1 即 解得 所以P (0, ),
所以符合条件的点 P 共有4个,坐标分别为(0,5),(0,-5),(0,6),(0,
解法2(代数法):因为点P在y轴上,所以设 P(0,y).用点 P 的坐标分别表示出OP,PA,即OP= .分OA=OP,AO=AP,PO=PA三种情况列方程求解.
①若OP=OA=5,则 P 点的坐标为(0,5)或(0,-5);
②若AP=AO,则 解得 y=6或 y=0(舍去),所以 P(0,6);
③若 PA=PO,则 解得 所以P(0, ）
综上，符合条件的点 P 共有4个，坐标分别为(0,5),(0,-5),(0,6),(0,
等腰三角形存在性问题的基本处理策略
1. 几何法——尺规作图法确定位置，再求点的坐标
两定点一动点的等腰三角形的存在性问题的处理策略：设两定点为A，B，动点为 P.
①“两圆一线”作出点
如图3-1-4，分别以两定点A，B为圆心，AB 长为半径画圆；作线段 AB的垂直平分线MN，则动点 P 在圆上或直线MN 上(除去两定点A，B确定的直线上的点).题目要求的点 P 的位置与上述“两圆一线”的交点即为所求.
求满足条件的点的坐标
根据两腰长相等或作底边上的高线，利用勾股定理、锐角三角函数等求出线段长，得点的坐标.
2. 代数法——根据腰相等构造方程
①设出动点坐标，由动点的坐标表示出三边长AB，BC，CA.
②分类讨论:AB=AC,AB=BC,AC=BC,分别列方程求解.
【问题分析】
有速度有方向的动点，设运动时间为 t，即可把动点从出发点到某个时刻的路程表示出来，相当于把动点“定”了下来.
如果把等腰三角形的三条边分别用含 t的代数式表示出来，这些线段两两相等构造方程便可得 t的值.
观察到∠PAQ 为定角，若某条边不能直接用含 t 的代数式表示，则常借助“三线合一”转化为直角三角形问题求解.
例2 如图3-1-6,抛物线 交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC. P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点 P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC 于点Q.试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
△ACQ中,A,C为定点,点 Q 为动点，动点 Q 由动点 P 的运动产生，由题中动点 P 的横坐标为m，则可用 m 表示出点 Q 的坐标、AQ 的长、CQ 的长,再分别令 AC=AQ,CA=CQ,QA=QC，构造方程即可解决问题.
例3 如图 3-1-7,抛物线 与x轴交于A(--1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.连接AC,BC,点 P 在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 P 在第一象限,直线AP 交BC 于点F,过点 P 作x轴的垂线交 BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段 PH 的长.
【问题分析】
本题中的△PFH 三条边虽均不确定，但图中有平行线和很多直角三角形.这些隐含条件不可小觑，要注意合理应用，转化求解.目标是求点 P 的横坐标或直线AP 的解析式.
①当 FP=FH 时,根据 PH∥y轴,借 助 等 角 转 化 ∠FPH =∠FHP=∠BCO,得 tan∠APH=tan∠BCO=2,从 而 可 得 PH的长；
②当 PF= PH 时,∠PFH =∠PHF = ∠BCO. 易 知∠ACB=90°(隐含 条 件),则AC=2FC,则 FC 为定长,点 F的坐标即可确定，求出 AF 的解析式即可求出PH；
③当 HP= HF 时,∠HPF=∠HFP，利用等角的余角相等可得∠CAP=∠BAP.此时,即可构造“双平模型”(过点 C 作x轴的平行线，求出与 AP 的交点)，确定AP 的解析式，也可根据角平分线上的点到角两边的距离相等，求出点 F 的坐标，确定 AF 的解析式，进而可得 PH的长.
进阶训练
1. 如图3-1-8,平面直角坐标系中,点 A(0,8),B(6,0),OD⊥AB 于点D,点 Q从点O 出发,沿线段 OD 向点 D 运动,点P 从点 A 出发,沿线段 AO向点O运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当点 Q 运动到点 D时，点P 随之停止运动.设运动时间为 t 秒.
(1)求线段OD的长.
(2)是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形 若存在，请求出满足条件的 t 的值；若不存在，请说明理由.
2. 如图3-1-9所示,一次函数y= kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A(3,4),B(n,-1)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点 C的坐标.
3. 已知抛物线 经过点A(--2,0)和C(0, ),与x轴交于另一点B，顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标.
(2)如图3-1-10,点 E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠DAB,则△DEF能否为等腰三角形 若能，求出 BE的长；若不能，请说明理由.
4. 如图3-1-11,抛物线 与x轴交于A(--1,0),B(5,0)两点,顶点为 C,对称轴交 x 轴于点 D，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点且在x 轴下方.过点 C作直线PB 的垂线交PB 于点E,交x轴于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PCF 的面积为5时,求点 P 的坐标;
(3)当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标.
5. 如图3-1-12，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,其中点 A 的坐标为(--1,0),点 C的坐标为(0,-3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)N为射线CB 上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM 的同侧,若△AMN 和△ABM 的面积相等，当△AMN 为等腰三角形时，求点 N 的坐标.
6. 如图 3-1-13,已知抛物线 (a≠0)与x轴交于点A(-5,0),点 B(1,0)(点A 在点B 的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 N 是抛物线上的一点，当△BDN 是以DN 为腰的等腰三角形时，求点 N 的坐标.
答案
|应用举例|
例 1 解：易求得AC的解析式为：
由勾股定理得
设点 P 的运动时间为t秒,则CP=2t,AQ=t,AP=10-2t.
①当AP=AQ时,有10-2t=t,解得
则
如图①,过点 P作 PM⊥x轴于点 M,易知△PMA∽△COA,则 即 所以 PM=2.
将y=2代入 解得 故点
②如图②,当 PQ=PA时,过点 P 作PM'⊥x轴于点 M',则 易知△PM'A∽△COA,则 即
解得 则
所以
将 代入 得 则点
③当 QP=QA 时,如图③,过点 Q作QN⊥AC于点N,
则 易知△QNA∽△COA,则 即 解得 此时
过点 P作PH⊥x轴于点H,则 即
所以 将 代入 解得 则点
所以，当点 P，Q运动 或 或 ;时,△PQA为等腰三角形，对应的点 P 的坐标为(( ,2)或( 或
【解法反思】题目中一直存在着 AQ=t,AP=10-2t的关系以及∠PAQ为定角的特点.分三种情况求出t的不同值.要求点 P 的坐标，根据相似三角形或 求解.
例2 解:(1)由 得
∴抛物线的解析式为
(2)存在.由A(-3,0),B(4,0),C(0,4),可得 AC=5, ，且可求得直线BC的解析式为y=-x+4.
由 P点横坐标为m,得点 Q(m,-m+4),点 M(m,0),
∴AM=3+m,MB=MQ=4-m,CQ=BC-BQ=4
连接AQ,在 Rt△AQM中,
① 当 AC = AQ 时， 解得：m =0(舍),
将 代入抛物线的解析式，得P(1,4);
②当AC=CQ时 解得 代入抛物线的解析式，得
③当CQ=AQ时, 解得m= (舍去).
故点 P 的坐标为(1,4)或
【解法反思】根据等腰三角形两条边相等，构造方程是解决等腰三角形的存在性问题的最常见的方法.代数法适用三边长易于表示的情况.求解时，表示线段长是关键.
例3 解:(1)∵A(-1,0),B(4,0)是抛物线 bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数为
∴根据抛物线的两点式知，
(2)解法1:易得C(0,2),又 B(4,0),
∴直线 BC的函数表达式为
设 PH 与x 轴的交点为Q, 则
①若FP=FH,则∠FPH=∠FHP=∠BCO,
∴tan∠APQ=tan∠BCO=2,即
∴AQ=2PQ,即 解得a=3或a=-1(舍去),此时
②若PF=PH,则∠PFH=∠PHF.
∵∠CFA=∠PFH,∠QHB=∠PHF,∴∠CFA=∠QHB.
由 可得
∴∠ACB=90°.∴∠ACF=∠BQH=90°.
过点F作FM⊥y轴于点M.
在 Rt△CMF 中, tan∠CFM =
∴直线 AF 的函数表达式为 y=
F 解得 (舍去). 此时
③若HF=HP,过点C作CE∥AB交AP 于点E,∵∠CAF +∠CFA = 90°,∠PAQ +∠HPF = 90°,∠CFA=∠HFP=∠HPF,
∴∠CAF=∠PAQ,即AP平分∠CAB.
∴直线 AE的函数表达式为
F解得 舍去)，此时
综上，PH的长为 或 或
解法2:同解法1,③当HF=HP时,∠HPF=∠HFP=∠CFA.
∵∠CFA+∠CAP=∠HPF+∠BAP=90°,
∴∠CAP=∠BAP.
如图,过点 F 作 FM⊥y轴于点 M,FN⊥x轴于点N,易知 FC=FN.
设CM= m,则FM=2m,FC=FN= m,FB=5m.
根据FC+FB=BC,则 解得 则
∴直线AF的函数表达式为 以下同解法1.
【解法反思】灵活运用等角对等边，将等腰三角形中边相等的问题转化为角相等的问题，并利用题目中已知确定的角确定出 AP 的函数表达式是解题的关键.
|进阶训练|
1. 解:(1)∵A(0,8),B(6,0),.
(2)存在时刻t,使得△OPQ为等腰三角形. OP=8-t,OQ=t.
①当OQ=OP时,8-t=t,∴t=4.
②当QO=QP时,如图①,作QH⊥y轴于H,则OP=2OH,OH=OQcos∠DOA= t,
③当PO= PQ 时,如图②,作 PM⊥OD 于点 M,则 即
∴当△OPQ为等腰三角形时，t的值为4或 或
2. 解：(1)反比例函数的解析式为 一次函数的解析式为
(2)∵A(3,4),.
若△AOC为等腰三角形，分三种情况：
①当OA=OC时,OC=5,此时点 C的坐标为(5,0)或(--5,0);
②当AO=AC时,∵A(3,4),点C 和点O关于过A 点且垂直于x轴的直线对称，
∴此时点C的坐标为(6,0);
③当CA=CO时，点C在线段OA 的垂直平分线上，如图，过A作AD⊥x轴,垂足为D,
由题意可得:OD=3,AD=4,设OC=x,则AC=x,在 Rt△ACD中, 解得： 此时
点C的坐标为(
综上,点C的坐标为(6,0)或(5,0)或( 或(-5,0).
3. 解：(1)抛物线的解析式为 顶点D的坐标为(2,3).
(2)△DEF能为等腰三角形.
∵A(-2,0),D(2,3),B(6,0),
∴AB=8,AD=BD=5,∠BAD=∠ABD.
①当DE=DF时,∠DFE=∠DEF=∠ABD,
∴EF∥AB.此时E与A 重合，与条件矛盾，不成立.
②当ED=EF时,
∵∠AED=∠ABD+∠BDE,∠BFE=∠BDE+∠DEF,∠DEF=∠DAB=∠ABD,
∴∠AED=∠BFE.
又∠DAB=∠ABD,ED=EF,
∴△BFE≌△AED.∴BE=AD=5.
③当 FD = FE 时,∠EDF =∠DEF =∠DAB =∠DBA,则△BDE∽△BAD,
综上，当 BE 的长为5或 时，△DFE为等腰三角形.
4. 解：(1)抛物线的解析式为：
(2)易知抛物线的对称轴为直线x=2,顶点 C(2,2),设点 P(2,m)(m<0),易证△CDF∽△BDP,则
解得m=5(舍去)或m=-3,故点 P(2,-3).
(3)点 P 的坐标为(2,-2)或
[解析] 由(2)可确定点 F 的坐标为 则
①当CP=CF时, 解得m=0或 (均舍去)；
②当CP=PF时,
解得： 或 (舍去);
③当CF=PF时,同理可得:m=-2或m=2(舍去),故点 P 的坐标为 或(2,-2).
5. 解:(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),点C(0,-3),
解得
∴抛物线的解析式为
(2)令 y=0,得.
解得x=-1或x=3,∴B(3,0).
∴B,N到AM 的距离相等.
∵B,N在AM 的同侧,∴AM∥BN.
设直线 BC的解析式为y= kx+m,
则有
∴直线 BC的解析式为y=x-3.
设直线 AM的解析式为y=x+n,
∵A(-1,0),∴直线AM的解析式为y=x+1.
由 解得 或
∴M(4,5).
∵点 N 在射线CB 上,
∴设 N(t,t-3).
∵A(-1,0),M(4,5),N(t,t-3),
∵△AMN是等腰三角形，
∴①当AM=AN时, 解得
②当 AM=MN 时, 解得
③ 当 AN = MN 时, 解得
∵点 N 在第一象限,∴t>3.
∴t的值为
∴点N的坐标为 或 或
6. 解:(1)将A(-5,0),B(1,0)的坐标代入抛物线 y=
得 解得
∴抛物线的解析式为.
(2)∵D(-2,9),B(1,0),点 N 是抛物线上的一点且△BDN 是以DN 为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形.
①当DN=DB时，根据抛物线的对称性，得 A 与N 重合,∴N (-5,0).
②当DN=BN时，如图，N在BD 的垂直平分线上，设BD的垂直平分线交BD 于点I，交x轴于点Q，BD 交y轴于点K.
设直线 DB的解析式为 y= kx+c,把 D(-2,9),B(1,0)的坐标代入直线 DB解析式，
得 解得
∴直线 DB 的解析式为y=-3x+3.
∴K(0,3).∴BK=
∵∠KBO+∠OKB=90°,∠KBO+∠IQB = 90°,
∴∠OKB=∠IQB.
∵I是BD 的中点,
∴BQ=15.
∴Q(-14,0).
易知
设直线QI 的解析式为 代入得
解得
∴直线 QI 的解析式为
联立，得 解得 代入 可得
综上，点N 的坐标为
【解法反思】本题中点 N 的坐标不易求，根据其在线段 BD的垂直平分线QI 上，借助直角三角形的性质，先求 Q，I的坐标，得到 QI 的解析式，与抛物线的解析式联立求得点 N.

展开更多......

收起↑