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专题三 等腰直角三角形存在性问题
问题与方法
问题: 如图3-3-1,已知直线. 分别交x轴，y轴于A，B两点，在坐标平面内有一个点C，使得 是等腰直角三角形.请你确定符合条件的点C有多少个 并求出点C的坐标.
【简析】点A，B是两个确定的点，故线段 AB的长度以及在坐标系中的位置就是确定的.由于 AB可能是直角边也可能是斜边，因此需分类讨论.一般需先画出所有符合题意的图形(如图3-3-2)，再充分利用等腰直角三角形直角边和斜边的比值关系构造方程求解.
易得A(--1,0),B(0,1),则( ∴原点O满足条件，记
①若 ，过点 B 作y 轴的垂线，过点 A 作x 轴的垂线，两垂线的交点 即是以 AB为斜边的等腰直角三角形ABC 的直角顶点，记为
②若 即 ,过点 B 作AB 的垂线,交. 于点 ,交x轴于点C (1,0);
③若 即 ，过点A 作AB的垂线，交 于点 ，交y轴于点 综上，符合条件的点有6个，分别是((
求解等腰直角三角形存在性问题的基本策略
1. 已知两个定点，确定等腰直角三角形的第三个顶点，常用“两个正方形”法：
如图3-3-3①,若A,B为两个定点,使得. 为等腰直角三角形的第三个顶点为以AB为边长的两个正方形的另外两个顶点和这两个正方形对角线的交点.
2. 遇到斜等腰直角三角形，常构造“K”型全等模型(如图②).
3. 确定了直角，一般根据两条腰相等构造方程，或者运用两点间的距离公式，并根据斜边和直角边的比值为 (或 角的三角函数)构造方程.
应用举例
例 如图3-3-4,抛物线 过A(4,0),B(1,3)两点,点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点 M在直线BH 上运动，点N 在x轴上运动，是否存在以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形 若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
(1)利用待定系数法确定抛物线的解析式；
(2)分 M,N,C三个点分别为直角顶点讨论.先画出大致图形，发现当 M，N分别为直角顶点时各有两种情况，分别就每种情况构造“K”型全等模型，利用全等的性质确定点 N 的坐标.
进阶训练
1. 如图3-3-5,一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A(1,0),B(0,m)两点.
(1)求一次函数的解析式和 m 的值.
(2)将线段 AB 绕着点 A 旋转,点 B 落在x轴负半轴上的点 C 处.在第二象限是否存在点 D，使△BCD 是以BC 为腰的等腰直角三角形 若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图3-3-6,抛物线 与x轴分别交于B，C两点(点C在点B 的左边)，与 y轴交于点 A，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.
(1)求A,B,C三点坐标.
(2)过点 P 作x 轴的垂线,交线段 AB 于点D,再过点 P 作 PE∥x轴交抛物线于点 E,连接DE，请问是否存在点 P，使△PDE 为等腰直角三角形 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-1,0)和点 B,与 y轴交于点C,顶点 D 的坐标为(1,-4).
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图3-3-7,M是直线BC 上一个动点,过点 M作MN⊥x轴交抛物线于点 N，Q是直线AC 上一个动点.当△QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 M 及其对应点Q 的坐标.
4. 如图3-3-8，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P 从 A 点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为 t s，点M为射线AC 上一动点,过点 M 作 MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点 N，点P 在运动过程中，是否存在以 P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案
|应用举例|
例 解：(1)抛物线的解析式为
(2)存在以点 C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形.易得C(3,3),BC=2.分三种情况:
①以点 M为直角顶点.
若点 M在x轴上方,如图①,则CM=MN,∠CMN=90°,易得△CMB≌△MNH(AAS),
∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1.∴N(2,0);
若点 M在x轴下方，如图②，构建如图所示的两个直角三角形(Rt△NEM 和 Rt△MDC),
易得 Rt△NEM≌Rt△MDC,
∴EN=MD=2.∴EM=CD=5.
∵OH=1,∴ON=NH-OH=5-1=4.∴N(-4,0).
②以点 N 为直角顶点.
若点 N 在y轴左侧,如图③,CN=MN,∠CNM=90°,同理得Rt△NE'M≌Rt△CD'N,∴E'M=D'N=3.
∴ON=NH-OH=3-1=2.∴N(-2,0);
若点 N 在y 轴右侧，如图④，同理得. ∴ON=1+3=4.∴N(4,0).
③以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形.综上，当△CMN·为等腰直角三角形时，点N 的坐标为(2，0)或(-4,0)或(-2,0)或(4,0).
【解法反思】本题的难点在于点 M，N分别为直角顶点时，各有两种情况，易丢解.
|进阶训练|
1. 解：(1)一次函数的解析式为 m的值为
(2)存在.点D 的坐标为 或 1).
[解析]∵B(0, ),A(1,0),
由旋转的性质可知AB=AC=2,∴C(-1,0).
由于△BCD是以BC 为腰的等腰直角三角形，
∴∠BCD=90°或∠CBD=90°.
①当∠BCD=90°时,CB=CD.
如图①,过点 D作DM⊥x轴于点 M,在 Rt△MCD 和 Rt△OBC中
∴Rt△MCD≌Rt△OBC(AAS).
∴CM=OB= ,DM=OC=1.∴点
②当∠CBD=90°时,BC=BD.
如图②,过点 D 作 DN⊥y轴于点 N,类比①可证Rt△BDN≌Rt△CBO(AAS),
∴BN=OC=1,DN=OB= .∴点 综上所述，D点坐标为( 或
【解法反思】构造一线三垂直全等模型是求解此类问题的常用方法.
2. 解:(1)A(0,6),B(6,0),C(-2,0).
(2)存在满足条件的点 P.易知直线 AB 的解析式为y=-x+6.
∵PD⊥x轴,PE∥x轴,
∴∠DPE=90°.
∵△PDE为等腰直角三角形,∴PD=PE.
设点 P 的横坐标为a，点E 的横坐标为b，
则
∴PE=|a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|.
解得a=4或(
∴P(4,6)或
【解法反思】本题中，∠DPE=90°是确定的，只需根据 PD=PE列方程求解.
3. 解：(1)该抛物线的解析式为
[解析] ∵顶点坐标为(1,-4),
∴设抛物线的解析式为.
将点 A(-1,0)的坐标代入,得( 解得a=1,
∴该抛物线的解析式为.
(2)点M 及其对应点 Q 的坐标为： M (5,2),Q (-5,12);M (2,-1),Q (0,-3);M (7,4),Q (-7,18);M (1,-2),Q (0,-3).
[解析] 易知C(0,-3),B(3,0),
∴直线 AC的解析式为y=-3x-3,
直线 BC的解析式为y=x-3.
设M(t,t-3),则
①当△QMN是以 NQ 为斜边的等腰直角三角形时，∠NMQ=90°,MN=MQ,如图①,
∵MQ∥x轴,
解得:t=0(舍)或 或
②当△QMN 是以MQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ=90°,MN=NQ,如图②,
∵NQ∥x轴,
解得:t=0(舍)或t=5或t=2,
∴M (5,2),Q (-5,12);M (2,-1),Q (0,-3).
③当△QMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形时，∠MQN=90°,MQ=NQ,如图③,
过点 Q作QH⊥MN于 H,则MH=HN,
∵MQ=NQ,∴MN=2QH.
解得t=0(舍)或t=7或t=1,
∴M (7,4),Q (-7,18);M (1,-2),Q (0,-3).
综上所述，点M及其对应点Q 的坐标为： M (5,2),Q (-5,12);M (2,-1),Q (0,-3);M (7,4),Q (-7,18);M (1,-2),Q (0,-3).
【解法反思】本题与例题类似，情况较多，易丢解.
4. 解：(1)抛物线的解析式为
(2)存在以 P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形.
由题意可知P(t-1,0),C(0,3),∴直线 AC的解析式为y=3x+3.
设M(m,3m+3),则.yN=yM=3m+3.
①若∠PMN=90°,则 PM=MN,如图①,MN=PM=3m+3,
∴xN=xM+(3m+3)=4m+3.∴N(4m+3,3m+3).
∵点 N 在抛物线 上，
,解得 (舍),
②若∠PNM=90°,则 PN=MN,如图②,MN=PN=3m+3,∴N(4m+3,3m+3).由点 N 在抛物线. 上，可得
此时,t=AP=OA+OP=1+4m+3=
③若∠MPN=90°,则 PM=PN,如图③,过点 M作ME⊥x轴于点 E,过点 N作NF⊥x轴于点 F.
∵MN∥x轴,
∴ME=NF=3m+3,Rt△MEP≌Rt△NFP.
∴PE=PF,∠MPE=∠NPF=45°.
∴ME=PE=PF=3m+3.
∴xn=xM+(3m+3)+(3m+3)=7m+6.
∴N(7m+6,3m+3).
解得 (舍),
∴t=AP=AE+EP=m-(-1)+3m+3=4m+4=
综上所述，当以 P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，t的值为 或 或
【解法反思】求解本题注意充分利用MN∥x轴这一条件.

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