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专题三 二次函数的对称性和增减性
1. 二次函数的对称性
设抛物线 经过 则 关于抛物线的对称轴对称 抛物线的对称轴为直线
2. 二次函数的增减性
由二次函数的增减性可得以下结论：
①当 时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大；
②当a<0时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小.
3. 二次函数的最值(对称性和增减性的应用)
(1)二次函数 的最大(小)值即抛物线顶点的纵坐标；
(2)二次函数 当 m≤x≤n(m≠n)时的最值求法.
记抛物线的对称轴为直线x=h，则函数y的最大(小)值一定在x=m，x=n或x=h处取得.以a>0为例(a<0时同理求最值):
①如图1-3-1①,当h>n或h②如图②,当m≤h≤n时,y在x=h处取得最小值,最大值在x=m或x=n处取得.在x=m还是在x=n处取得最大值，由m，n距离对称轴的远近决定.
应用举例
1. 二次函数的对称性问题
例 1 已知自变量为x的二次函数 的图象经过(t,3),(t-4,3)两点,若方程 的一个根为x=1，则其另一个根为 .
变式 1 已知抛物线 (a,c是常数)经过不重合的两点A(2,1),B(m,1),则m= ( )
A. - 4 B. - 2
C. 0 D. 1
变式2 若实数a,b,c满足a≥b≥c,4a+2b+c=0且a≠0,抛物线 与x轴交于A(x ,0),B(x ,0),点 A 在点 B 的左侧，则线段 AB 的最大值是 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
变式3 已知当x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x +4x+6的值相等,且m--n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,求多项式 的值.
2. 二次函数的增减性
例2 在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线 上.
(1)若 ，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 在该抛物线上.若 mn<0，比较 的大小，并说明理由.
变式 已知二次函数
(1)若此函数的图象与x轴只有一个交点，试写出a与b 满足的关系式；
(2)若b=2a,点 是该函数图象上的3个点，试比较 的大小；
(3)若b=a+3,当x>--1时,函数y随x的增大而增大,求a的取值范围.
3. 二次函数的最值问题
例3 已知二次函数
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n.若m-n=3,求t的值.
变式 1 已知二次函数 其中m≠0.
(1)若二次函数图象经过点(-1，6)，求二次函数解析式；
(2)若该抛物线开口向上，当--1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为 N，点M 的纵坐标为6，求点 M 和点 N 的坐标；
(3)在二次函数图象上任取两点(x ,y ),(x ,y ),当 时,总有 y >y ,求a的取值范围.
进阶训练
若二次函数 的部分图象如图1-3-2所示，则关于x的方程 c=0的另一
个解为 ( )
A. x=-2 B. x=-1
C. x=0 D. x=1
2. 已知点 A (1, y ), B(2, y ) 在 抛 物线 上，则下列结论中正确的是 ( )
A. 2>y >y
3. 二次函数 的图象过A(-3,y ),B(-1,y ),C(2,y ),D(4,y )|四个点，下列说法一定正确的是 ( )
A. 若 则
B. 若 则
C. 若 则
D. 若y y <0,则
4. 设 P(x,y ),Q(x,y )分别是函数C ,C 图象上的点，当a≤x≤b时，总有 恒成立,则称函数 C ,C 在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论：
①函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数 在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1 是函数 的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数 的“逼近区间”.
其中，正确的有 ( )
A. ②③ B. ①④
C. ①③ D. ②④
5. 对于任意实数a，抛物线 与x 轴都有公共点，则b 的取值范围是
6. 在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A.
(1)求顶点 A 的坐标(用含有字母 m的代数式表示)；
(2)若点.B(2,yB),C(5, yc)在抛物线上，且yB> yc,则 m 的取值范围是 (直接写出结果即可)；
(3)当1≤x≤3时,函数 y的最小值等于 6,求m的值.
7. 已知抛物线 过点A(2,0), 三点，对称轴是直线 关于x的方程 有两个相等的实数根.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 ，试比较 y 与y 的大小；
(3)若B,C两点在直线. 的两侧，且y > y ，求n的取值范围.
答案
|应用举例|
例 1 3或-5 [解析]·
∴当x=0时,y=3.
∴抛物线 必经过点(0,3).
∴t=0或 t-4=0.
∴抛物线 的对称轴为直线x= 或直线
∵方程 的一个根为x=1，
∴另一个根为3或-5.
变式 1 A [解析] ∵A(2,1),B(m,1),∴线段 AB的中点坐标为 ∵二次函数图象的对称轴为直线x= 解得m=-4.
变式2 D [解析] 由4a+2b+c=0且a≥b≥c可知a>0,c<0,且当x=2时,y=0.
故AB最大值为5.
变式3 解:∵当x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式 的值相等，
∴二次函数 图象的对称轴为直线x=
又∵二次函数 图象的对称轴为直线x=-2,
∴3m+3n+2=-4,m+n=-2.
∴当x=3(m+n+1)=3×(-2+1)=-3时,
例2 解:(1)∵m=3,n=15,
∴点(1,3),(3,15)在抛物线上.
将(1,3),(3,15)代入 得
解得
∴抛物线对称轴为直线x=-1.
(2)解法1:
∴抛物线开口向上且经过原点.
当b=0时, 抛物线的顶点为原点，当x>0时y随x增大而增大，n>m>0不满足题意；
当b>0时，抛物线的对称轴在 y轴左侧，同理可得，n>m>0不满足题意；
当b<0时，抛物线的对称轴在 y轴右侧，
又∵抛物线开口向上且经过原点，mn<0，∴x=1时m<0,x=3时n>0.
即抛物线和x轴的两个交点，一个为(0，0)，另外一个在(1,0)和(3,0)之间.
∴抛物线对称轴在直线 与直线 之间，即
∴(-1,y ).与对称轴的距离 满足
(2，y )与对称轴的距离 满足
(4，y )与对称轴的距离 满足
解法2:∵点(1,m)和点(3,n)在抛物线 上，∴a+b=m,9a+3b=n.
∵mn<0,∴(a+b)(9a+3b)<0.∴a+b与3a+b异号.
∵a>0,∴a+b<0,3a+b>0.
∵(-1,y ),(2,y ),(4,y )在该抛物线上,
∵y -y =(16a+4b)-(a-b)=5(3a+b)>0,∴y >y .
∵y -y =(a-b)-(4a+2b)=-3(a+b)>0,
变式 解：(1)由条件得△=b -12a=0,∴b =12a且a≠0.
(2)当b=2a时，抛物线的对称轴为直线 即 P 为顶点.
①当a>0时，抛物线开口向上，y 为最小值.
∵|-3-(-1)|<|3-(-1)|,∴y ②当a<0时，抛物线开口向下，y 为最大值.
∵|-3-(-1)|<|3-(-1)|,∴y >y .∴y (3)当b=a+3时,抛物线 的对称轴为直线
要使当x>-1时，函数y随x的增大而增大，
需满足：抛物线开口向上，对称轴在直线x=-1的左侧或与其重合，即a>0，且 解得0例3 解:( ∴顶点坐标为(3,4).
(2)∵顶点坐标为(3,4),-1<0,∴当x=3时,,y最大值=4.
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x=1时,y最小值=0.
∵当3∴当x=4时,y最小值=3.
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论,
①当t+3<3,即t<0时,y随着x的增大而增大,当x=t+3时，函数取得最大值，
当x=t时，函数取得最小值，
∴m-n=-6t+9.∴-6t+9=3.解得t=1(不合题意,舍去).
②当t>3时，y随着x的增大而减小，
当x=t时，函数取得最大值，
当x=t+3时，函数取得最小值，
∴m-n=6t-9.∴6t-9=3,解得t=2(不合题意,舍去).
③当0≤t≤3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4.
(j)当 时，在x=t时，函数取得最小值，
解得 (不合题意，舍去)；
(ii)当 时，在x=t+3时，函数取得最小值，
解得 (不合题意，舍去)，综上所述，t的值为： 或
变式 1 解:(1)把(-1,6)代入. 得m+2m+3=6,∴m=1.
∴函数解析式为
(2)∵抛物线开口向上,∴m>0.
∴抛物线的顶点坐标为(1，3-m).
∴当x<1时,y随x增大而减小;当x>1时,y随x增大而增大,当x=1时,y有最小值3-m.
∵--1≤x≤2,1-(-1)>2-1,
∴最高点 M(-1,3m+3),最低点 N(1,3-m).
∴3m+3=6.∴m=1.
∴M(-1,6),N(1,2).
(3)①若m>0,则当x<1时,y随x增大而减小;当x>1时，y随x增大而增大；当x=1时，y有最小值3-m.
∵当 时,总有y >y ,
∴此时a+2≤1.∴a≤-1.
②若m<0,则当x<1时,y随x增大而增大;当x>1时,y随x增大而减小.
∵当 时,总有y >y ,∴此时a≥1.
综上,当m>0时,a≤-1;当m<0时,a≥1.
变式2 解:(1)当b=2,c=-3时,二次函数的解析式为
∴当x=-1时，二次函数取得最小值-4.
(2)当c=5时，二次函数的解析式为
由题意得， 的最小值为1，
解得
∴二次函数的解析式为 或
(3)当 时，二次函数解析式为 图象开口向上，对称轴为直线
①当 即b>0时,在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时, 为最小值.
∴3b =21,解得 (舍去),
②当 即-2≤b≤0时,
当 时 为最小值，
解得 (舍去), (舍去);
③当 即b<-2时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时,
为最小值，
解得b =1(舍去),
当 时，解析式为： 当b=-4时,解析式为：
综上所述，此时二次函数的解析式为 或
|进阶训练|
1. B
2. A [解析] 解法1:当x=1时, -2;
当x=2时,
所以 故选 A.
解法2：因为-1<0，抛物线 的顶点坐标是(-1,2),对称轴是直线x=-1,
所以当x>-1时，y随x的增大而减小，
所以 故选 A.
3. C [解析] ∵二次函数 图象的对称轴为直线 且开口向上，∴距离对称轴越近，函数值越小.
若 ,则 y y >0不一定成立,故 A 选项错误,不符合题意；
若 则 不一定成立，故B选项错误，不符合题意；
若y y <0,所以y >0,y <0,则y y <0一定成立,故C选项正确，符合题意；
若y y <0,则. 不一定成立，故D选项错误，不符合题意.
故选C.
4. A [解析] 令①②③④中的前一个函数为 y ,后一个函数为 在1≤x≤2上,当x=1时, 最大,为-9;当x=2时,y -y 最小,为-11,即 故函数y=x-5,y=3x+2在 1≤x≤2上是“逼近函数”不正确;
,在3≤x≤4上,当x=3时, 最大,为1;当x=4时,y -y 最小,为-1,即 故函数. 在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
在0≤x≤1上,当 时， 最大，为 当x=0或x=1时,. 最小,为-1,即 当然 1也成立，故0≤x≤1是函数 的“逼近区间”正确；
在2≤x≤3上,当 时，y -y 最大,为 ;当x=2或x=3时,y -y 最小, 为1，即 故2≤x≤3是函数y=x-5, 的“逼近区间”不正确.∴正确的有②③.故选 A.
[解析] ∵对于任意实数a，抛物线 2ax+a+b与x轴都有交点,
∴方程 总有实数根.
即 总成立.
的最小值为
6. 解:
∴顶点 A 的坐标为(
(2)m<-3.5
(3)分三种情况进行讨论：
①如图①,当-m≤1,即 m≥-1时,当x=1时,y取得最小值6，
得 解得 不符合题意，舍去)，
②如图②,当1<-m≤3,即-3≤m<--1时,当x=-m时，y取得最小值6，即
解得 (不符合题意,舍去),∴m=-2;
③如图③,当-m>3,即m<-3时,当x=3时,y取得最小值6，
解得 (均不符合题意，舍去).
综上所述，m=-2或
7. 解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=1,且过点 A(2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(0，0).
设抛物线的解析式为 y= ax(x-2).
∵关于x的方程( 有两个相等的实数根，
∴方程 ax(x-2)=x即方程. 有两个相等的实数根.
(2)解法1(根据函数的增减性求解)：
∵n<-5,∴3n-4<-19,5n+6<-19.
∴点 B，点C在对称轴的左侧.
∵抛物线 当x<1时，y随x的增大而增大.
∵(3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)>0,
∴3n-4>5n+6.∴y >y .
解法2(作差法比较大小)：
∵n<-5,∴n<0,n+5<0.
(3)①当点B在直线x=1的左侧，点C在直线x=1的右侧时，
由题意可得
②当点C在直线x=1的左侧，点B在直线x=1的右侧时，
由题意可得 该不等式组无解.
综上所述

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