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河南省“金科新未来”2024-2025 学年高二（上）期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是( )
A. 24 B. 36 C. 64 D. 81
2.已知随机变量 服从两点分布， ( ) = 0.6，则其成功概率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
3.已知圆 :( + 2)2 + 21 = 4与圆 2 :( 2)
2 + ( 1)2 = 9，则圆 1与圆 2的公切线的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7 1
4.随机变量 的分布列如下，且 ( ) = ，则 ( ) =( )
5 2
0 1 2
0.2 1 2
A. 0.64 B. 0.32 C. 0.16 D. 0.08
2 2
5.已知椭圆 : + = 1的右焦点为 ，点 是 上的一点，点 是线段 的中点， 为坐标原点，若| | = 4，
49 24
则| | =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.已知 (0, 3)， (4,1)，点 是直线 : 2 = 0上的一点，则当| | + | |取得最小值时，点 的坐标
为( )
1 3 3 1 4 2 5 1
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2 3 3 3 3
1
7.已知函数 ( ) = 2 2 + 3在( ∞, 1)上单调递减的概率为 ，且随机变量 ( , 1)，则 (1 ≤ ≤
2
2) =( )
(附：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) = 0.6827， ( 2 ≤ ≤ +2 ) = 0.9545， ( 3 ≤
≤ +3 ) = 0.9973)
A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341
2 2 2 2
8.已知椭圆 1 : 2 + 2 = 1( 1 > 1 > 0)和双曲线
2 : 2 2 = 1( 2 > 0, 2 > 0)有公共的焦点，其中 1为左 1 1 2 2
3
焦点， 是 1与 2在第一象限的公共点.线段 1的垂直平分线经过坐标原点，若 1的离心率为 ，则 2的渐近4
线方程为( )
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√ 7 √ 14 √ 21 √ 14
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
3 2 7 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5
2
9.关于( ) 的展开式的说法中正确的是( )

A. 各项的系数之和为 1 B. 二项式系数的和为64
C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大
1 2 1
10.若 ( ) = ， ( | ) = ， ( | ) = ，则( )
2 3 4
( ) 1 ( 1 7 3A. = B. ) = C. ( ) = D. ( | ) =
3 2 24 7
11.已知抛物线 : 2 = 8 ，过点 (8,0)的直线与 交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，则下列说法正确的是( )
A. 1 2 = 64
B. 1 2 = 32
C. | |的最小值为16
√ 2
D. 若点 是△ 的外心，其中 是坐标原点，则直线 的斜率的最大值为
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.由0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位到低数位)，
这样的七位数有 个．
13.已知直线 过点 ( 1,2,3)，它的一个方向向量为 = (1,2,1)，则点 (1,3,5)到直线 的距离为 ．
2 2
14.如图，已知 ， 是双曲线 = 1( > 0, > 0)的右支上的两点(点 在第一象限)，点 关于坐标原点
2 2

对称的点为 ，且∠ = 4，若直线 的斜率为 3，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
已知二项式( ) 的展开式中，所有项的二项式系数之和为 ，各项的系数之和为 ， + = 32．
√
(1)求 的值：
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(2)求其展开式中所有的有理项．
16.(本小题15分)
如图，已知在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 2 = 4 = 8， 为线段 上一点，
3 = ， 为 的中点， ⊥ ．
(1)试着确定点 的位置;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念
落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人
民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，
外科医生、内科医生、眼科医生各2名．
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
(2)设 表示选出的3人中外科医生的人数，求 的均值与方差．
18.(本小题17分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过抛物线 的准线上任意一点 作不过焦点 的直线 与抛物线
相交于 ， 两点．当直线 的方程为 = 2 + 4时，| | = 2，| | = 5．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)证明：直线 是∠ 的外角平分线．
19.(本小题17分)
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2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右顶点分别为 1， 2，上下顶点分别为 1， 2，且四边形 1 1 2 2
的周长为4√ 3，过点 (0,2)且斜率为 的直线交 于 ， 两点，当直线 过 的左焦点时， = 2．
(1)求 的标准方程;
2√ 6
(2)若 为坐标原点，△ 的面积为 ，求直线 的方程;
7
(3)记直线 1与直线 2的交点为 ，求| 1|的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】90
13.【答案】√ 3
√ 10
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)因为 = 2 ， = ( 2) ，
所以2 + ( 2) = 32，当 为奇数时，此方程无解，
当 为偶数时，2 2 = 32，解得 = 4;
3 34
(2)由通项公式 +1 = 4
4 ( ) = ( 3) 4 2 ，
√
3
当4 为整数时， +1是有理项，则 = 0，2，4， 2
所以有理项为 = ( 3)01
0 44 =
4， = ( 3)2 2 1 4 4 2 23 4 = 54 ， 5 = ( 3) 4 = 81 ．
16.【答案】解：(1)因为 ⊥平面 ，
， 在平面 内，所以 与 ， 均垂直，
又因为 ⊥ ，所以 ， ， 两两互相垂直，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
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则可得以下各点坐标：
(4,0,0)， (0,2,0)， (0,0,8)， (2,0,0)，由于3 = ，因此 (3,0,2)，

设点 ( , 2 , 0)，(0 4)，
2

所以 = (2, 2,0)， = ( 3,2 , 2)， 2 = ( 4,2,0)，

因为 = 2( 3) 2(2 ) = 0，
2
10 10 1 2 1 1
解得 = ， ( , , 0) = ( , , 0) = ，
3 3 3 3 3 6
1
所以点 在线段 上且 = 的位置；
6
1 1(2)由(1)可知， = ( , , 2)，
3 3
设平面 的法向量 = ( 0, 0 , 0)，
= (0, 2,8)， = (2, 2,0)，
= 2 + 8
则{ 0 0
= 0
,
= 2 0 2 0 = 0
1
不妨取 0 = 1，得 = (1,1, )， 4
设直线 与平面 所成角为 ，
1| | √ 1254
则sin = |cos < ， > | = =
6 =
| || | 1 1 1 627 ， √ 1+1+ ·√ + +4
16 9 9
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 1254．
627
17.【答案】解：(1)推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数 = 36 = 20，
这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，
设事件 表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，
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1表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，
2表示“恰好选出2名外科医生”，
1， 2互斥，且 = 1 ∪ 2，
1 2 2 1
( 1)=
2 2 = = ，
36 20 10
2 1 1
( 2) =
2 4
3 = ， 6 5
1 1 3
∴选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为 = ( 1)+ ( 2)= + = ; 10 5 10
(2)由于从6名医生中任选3名的结果为 36，从6名医生中任选3名，其中恰有 名外科医生的结果为
3
2 4 ，
= 0，1，2，那么6名中任选3人，
3
恰有 名外科医生的概率为 ( = ) = 2 43 ， 6
0 3 1 2 2 11 3 1
所以 ( = 0) = 2 4 2 43 = ， ( = 1) = 3 = ， ( = 2) =
2 4
3 = ， 6 5 6 5 6 5
1 3 1
∴ ( ) = 0 × + 1 × +2 × = 1
5 5 5
2 1 3 1 2 ( ) = (0 1) × + (1 1)2 × + (2 1)2 × = ．
5 5 5 5
18.【答案】解：(1)设 ， 的坐标分别为( 1, 1)，( 2, 2)，

由抛物线的定义有| | = 1 + = 2，| | = 2 + = 5， 2 2

可得 1 = 2 ， 2 = 5 ， 2 2
2{ = 2 ,联立方程 消去 后整理为2 2 ( + 8) + 8 = 0，
= 2 + 4,

有 1 2 = 4，有(2 )(5 ) = 4，且 2 2 1
= 2 > 0， 2 = 5 > 0， 2 2
整理为 2 14 + 24 = 0，解得 = 2或 = 12(舍去)，
故抛物线 的标准方程为 2 = 4 ;
2 1 2 1 4
(2)直线 的斜率为 = = 2 1 22 21 + ， 2 1
4 4
4 2
直线 的方程为 11 = ( ) 4 ( + ) + + 1 ，代入 1 = 后整理为 1 2 1 2 = 0， 2 1 4
1 2 4 4
令 = 1，得 = . ( 1, 1 2 ) 可得点 的坐标为 ， 1 2 1+ 2
焦点 的坐标为(1,0)，直线 的方程为( 1 1) = 1( 1)，
整理为 1 ( 1 1) 1 = 0，
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2
( 1 2 4)(
1 1)
| 4 |
2 1+| 1+ |点 到直线 的距离为 ( 1 2 4)( 1) 2| 1 | 1 + 1
= 1 2 =
√ ( 21 1) + 21 √ ( 1 1)
2+4 1
|4 2+4 + 3 +16| |4( 2+4)+ ( 2+4)| ( 2+4)( )
= 1 1 2 1 2 = 1 1 2 1 1
1 2+4 | 1 2+4|= =
2 |( 1+ 2)(4 1+4)| ( 1+ )(
2 ) ，
4√ ( +1) | + | 2 1
+4 | 1+ 2 |
1 1 2
| 1 2+4|
同理点 到直线 的距离为 2 = | 1+ 2 |
，
由 1 = 2及直线 与抛物线 的位置关系，可得直线 是∠ 的外角平分线．
4√ 2 + 2 = 4√ 3
2
19【. 答案】解：(1)由题意知{2 = 2 ，解得 = √ 2， = 1， = 1，所以 的标准方程为 + 2 = 1；
2
2 = 2 2
(2)由题意知直线 的方程为 = + 2，
= + 2
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，由{ 2 ，得(2
2
2 +1)
2 + 8 +6 = 0，
+ = 1
2
3 8 6
所以 = (8 )2 24(2 2 + 1) = 16 2 24 > 0，解得 2 > ，所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 2 2 +1 2 +1
√ 2 2
8 6 2 (1+ )(4 6)
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 +
2 √ ( )22 4 2 = 2 ，
2 +1 2 +1 2 +1
2
又点 到直线 的距离 = ，
√ 2 1+
2√
2 2
1 1 (1+ )(4 6) 2
√ 2
2 4 6 2√ 6 25
所以△ 的面积 = | | = 2 ． = 2 = ，解得
2 = 3或 2 = ，所以
2 2 2 +1 √ 2 2 +1 7 6 1+
5√ 6 5√ 6
= √ 3或 = √ 3或 = 或 = ，
6 6
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5√ 6 5√ 6
所以直线 的方程为 = √ 3 + 2或 = √ 3 + 2或 = + 2或 = + 2；
6 6
1 1 +1 1
(3)由(2)可得：设 ( , )，因为 1， ， 在同一条直线上，所以 =
1 = 1 = + ，
1 1 1
+1 +1 +3 3 +1 1 3( + )
又 2， ， 在同一条直线上，所以 =
2 = 2 = + ，所以 +3 = 4 + 1 2 = 4 +
2 2 2 1 2
8
3 ( 2 )
2 +1
6 = 0，
2
2 +1
1 1 1
所以 = ，所以点 在直线 = 上，所以|
2 2 1
|min = ． 2
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