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　概率与数列(含马尔科夫链问题)
【知识拓展】
1.概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年高考追逐的热点，主要是概率统计与数列的证明、求通项、求和等.
2.马尔科夫链
(1)性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为马尔科夫链.
(2)原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得
P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)
另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，
P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α，
代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1.
【类型突破】
类型一　概率与数列
例1 甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，pn＝apn－1＋bpn－2＋cpn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
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规律方法　1.证明数列的单调性关键是证明相邻两项的差为正数或负数，若数列为递推数列，则需注意寻找相邻项的关系.
2.证明数列为等差、等比数列，关键是依据概率统计知识，得到数列的通项公式或递推式，利用等差、等比数列的的定义证明.
训练1 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：
a.按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮初赛；
b.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；
c.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；
d.若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.
(1)若随机变量Xn表示n名同学在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；
(2)若把比赛规则c.改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答.令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn轮比赛结束.
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
②证明：E(Yn)单调递增，且小于3.
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类型二　马尔科夫链模型
例2 (2024·青岛调研)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如人人唾弃的赌博.假如一名赌徒进入赌场参与赌博，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A元(A∈N*，A当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值；
(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d；
(3)当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1 000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P(A)的统计含义.
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规律方法　1.马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关；
2.写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题.
训练2 (2024·武汉模拟)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn.
(1)求X2的概率分布列并求E(X2)；
(2)求证：(n≥2且n∈N*)为等比数列，并求出E(Xn)(n≥2且n∈N*).
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提优点11　概率与数列(含马尔科夫链问题)
类型突破
例1 解　(1)由题意可知，X的取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝×＝；
P(X＝0)＝×＋×＝；
P(X＝1)＝×＝.
故X的分布列如下：
X －1 0 1
P(X)
则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝.
(2)由题意可知，p1＝1，p2＝1，p3＝1－＝，p4＝1－3×＝；
经分析可得：
若第n轮没有得1分，则pn＝×pn－1；
若第n轮得1分，且第n－1轮没有得1分，则pn＝××pn－2；
若第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分，则pn＝pn－3；
故pn＝pn－1＋pn－2＋pn－3(n≥4)，
故a＝，b＝，c＝；
因为pn＝pn－1＋pn－2＋pn－3，
故pn＋1＝pn＋pn－1＋pn－2，
故pn＋1－pn＝pn－pn－1－pn－2－pn－3＝－pn＋pn－1＋pn－2
＝－＋pn－1＋pn－2＝－pn－3<0；
故pn＋1p3>p4，
则p1＝p2>p3>p4>p5>…，
所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
训练1 (1)解　由题设，X3的取值为1，2，3.
P(X3＝1)＝×＝，
P(X3＝2)＝××＋××＝，
P(X3＝3)＝1－－＝，
因此X3的分布列为
X3 1 2 3
P
(2)①解　Yn可取值为1，2，…，n.
每位同学两题都答对的概率为p＝×＝，
则答题失败的概率均为1－×＝，
所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)时，P(Yn＝k)＝×；
当Yn＝n时，P(Yn＝n)＝，
故Yn的分布列为：
Yn 1 2 3 … n－1 n
P × × … ×
②证明　由①知E(Yn)＝k×＋n(n∈N*，n≥2).
E(Yn＋1)－E(Yn)＝n×＋(n＋1)·－n＝>0，
故E(Yn)单调递增；
由上得E(Y2)＝，
故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，
所以E(Yn)＝＋＋＋…＋＝＋＝3－2×<3，
故E(Y2)综上E(Yn)单调递增，且小于3.
例2 (1)解　当n＝0时，赌徒已经输光了，
因此P(0)＝1.
当n＝B时，赌徒到了停止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)＝0.
(2)证明　记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件，
则P(M)＝P(N)P(M|N)＋P()P(M|)，
即P(n)＝P(n－1)＋P(n＋1)，
所以P(n)－P(n－1)＝P(n＋1)－P(n)，
所以{P(n)}是一个等差数列.
设P(n)－P(n－1)＝d，P(n－1)－P(n－2)＝d，…，P(1)－P(0)＝d，
累加得P(n)－P(0)＝nd，
故P(B)－P(0)＝Bd，得d＝－.
(3)解　由P(n)－P(0)＝nd得P(A)－P(0)＝Ad，即P(A)＝1－.
当B＝200时，P(A)＝50%，
当B＝1 000时，P(A)＝90%，
当B→∞时，P(A)→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的赌博，只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.
训练2 (1)解　X2可能取0，1，2，3.
则P(X2＝0)＝×××＝；
P(X2＝3)＝×××＋×××＝；
P(X2＝1)＝×××＋×××＋×××＋×××＝；
P(X2＝2)＝1－P(X2＝0)－P(X2＝1)－P(X2＝3)＝，
故X2的分布列为：
X2 0 1 2 3
P
E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)证明　由题可知P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝0)＋(×＋×)P(Xn＝1)＋×P(Xn＝2)
＝P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)，
P(Xn＋1＝2)＝×P(Xn＝1)＋(×＋×)P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)
＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)，
P(Xn＋1＝3)＝×P(Xn＝2)＝P(Xn＝2)，
又∵P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)＝1，
E(Xn＋1)＝1×P(Xn＋1＝1)＋2×P(Xn＋1＝2)＋3×P(Xn＋1＝3)
＝P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋2P(Xn＝3)，
∴E(Xn＋1)＝1＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)＝1＋E(Xn)，
∴E(Xn＋1)－＝(n≥2且n∈N*)，
∵E(X2)－＝，
故(n≥2且n∈N*)为等比数列，
∴E(Xn)－＝×，
∴E(Xn)＝＋(n≥2且n∈N*).(共36张PPT)
板块五 概率与统计
提优点11　概率与数列(含马尔科夫链问题)
高考定位
1.概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年高考追逐的热点，主要是概率统计与数列的证明、求通项、求和等.
2.马尔科夫链
(1)性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为马尔科夫链.
(2)原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得
P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)
另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，
P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α，
代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1.
精准强化练
类型一　概率与数列
类型二　马尔科夫链模型
类型突破
类型一　概率与数列
例1
由题意可知，X的取值为－1，0，1.
故X的分布列如下：
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，pn＝apn－1＋bpn－2＋cpn－3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
经分析可得：
若第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分，
故pn＋1p3>p4，
则p1＝p2>p3>p4>p5>…，
所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
1.证明数列的单调性关键是证明相邻两项的差为正数或负数，若数列为递推数列，则需注意寻找相邻项的关系.
2.证明数列为等差、等比数列，关键是依据概率统计知识，得到数列的通项公式或递推式，利用等差、等比数列的的定义证明.
规律方法
训练1
a.按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮初赛；
b.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；
c.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；
d.若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.
(1)若随机变量Xn表示n名同学在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；
由题设，X3的取值为1，2，3.
因此X3的分布列为
Yn可取值为1，2，…，n.
(2)若把比赛规则c.改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答.令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn轮比赛结束.
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)时，
故Yn的分布列为：
②证明：E(Yn)单调递增，且小于3.
故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，
故E(Y2)综上E(Yn)单调递增，且小于3.
类型二　马尔科夫链模型
(2024·青岛调研)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如人人唾弃的赌博.假如一名赌徒进入赌场参与赌博，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A元(A∈N*，A例2
当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值；
当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P(0)＝1.
当n＝B时，赌徒到了停止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)＝0.
(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d；
记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件，
所以P(n)－P(n－1)＝P(n＋1)－P(n)，所以{P(n)}是一个等差数列.
设P(n)－P(n－1)＝d，P(n－1)－P(n－2)＝d，…，P(1)－P(0)＝d，
累加得P(n)－P(0)＝nd，
(3)当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1 000时，P(A)的数值，并结合实际，
解释当B→∞时，P(A)的统计含义.
当B＝200时，P(A)＝50%，
当B＝1 000时，P(A)＝90%，
当B→∞时，P(A)→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的赌博，只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.
1.马尔科夫链模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关；
2.写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题.
规律方法
(2024·武汉模拟)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn.
(1)求X2的概率分布列并求E(X2)；
训练2
X2可能取0，1，2，3.
故X2的分布列为：
又∵P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)＝1，
E(Xn＋1)＝1×P(Xn＋1＝1)＋2×P(Xn＋1＝2)＋3×P(Xn＋1＝3)
【精准强化练】
小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中，
(1)求p1，p2，p3；
法一　游戏过程中累计得不到n分，只可能在得到(n－1)分后的一次游戏中小球落入B袋中，
(2)写出pn与pn－1(n∈N*且n≥2)之间的递推关系，并求出{pn}的通项公式.
法二　游戏过程中累计得n分可以分为两种情况：得到(n－2)分后的一次游戏中小球落入B袋中，或得到(n－1)分后的一次游戏中小球落入A袋中，
下同法一.
用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6.
②求甲第n(n＝1，2，…，16)天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天.

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