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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标：1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
重点：掌握完全平方公式的结构特点.
难点：灵活应用完全平方公式进行计算.
一、知识链接
1．填空：
(1)4＋(5＋2)＝___________；(2)4－(5＋2)＝___________；
(3)a＋(b＋c)＝___________； (4)a－(b－c)＝___________．
2．去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的各项都________；如果括号前是________，去掉括号后，括号里的各项都________．21cnjy.com
3.计算：
(1)(x＋1)2＝___________；21世纪教育网(2)(x－1)2＝___________；
(3)(m＋n)2＝___________；(4)(m－n)2＝___________．
二、新知预习
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)=___________；（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)=___________．2
问题2 根据上面的规律，你能直接写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= ___________ ； （a-b)2=___________.
要点归纳：（乘法的）完全平方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的积的________.
填一填：a＋b＋c＝a＋(________)；(2)a－b＋c＝a－(________)．
要点归纳：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________．21世纪教育网www.21-cn-jy.com
三、自学自测
1.运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（　　）
A．x2+9 B．x2-6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
2.在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ）；（2）a-b+c=a-（ ）；
（3）a-b-c=a-（ ）；（4）a+b+c=a-（ ）.
3.计算：(1)(x＋6)2； (2)(－a+b)2.
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：完全平方公式
问题1：观察下面两个图形，你能用不同的方式表示图1的面积及图2中Ⅲ的面积吗？
用两种方法求图1的面积：
S1＝(_________)2，S1＝(_________)2＋_________＋(_________)2.
用两种方法求图2中Ⅲ的面积：
SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2.
问题2：观察下列完全平方公式，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,b有什么关系？它的符号与什么有关？
要点归纳：1.公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；2.公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方．3.另一项是左边两项积的_____倍.4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
典例精析
例1：利用完全平方公式计算：
(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
方法总结:直接运用完全平方公式进行计算，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
例2：利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
方法总结:运用乘法公式进行简便运算，要熟记乘法公式即平方差公式和完全平方公式的特征，将原式转化为能利用乘法公式运算的形式后，再进行计算．
例3： 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,
(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
探究点2：添括号法则
例4：计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
方法总结:第1小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.第2小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
针对训练
1.下列运算中，正确的运算有( )
①(x＋2y)2＝x2＋4y2；②(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2；③(x＋y)2＝x2－2xy＋y2；④(x－)2＝x2－x＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.3ab－4bc＋1＝3ab－(　　)，括号中所填入的整式应是( )
A．－4bc＋1 B．4bc＋1 C．4bc－1 D．－4bc－1
3.填空：
(1)(a＋b)2＝____________；(2)(a－b)2＝____________；
(3)(5＋3p)2＝____________；(4)(2x－7y)2＝____________．
4.若a+b=3，ab=2，则（a-b）2=___________.
5.运用乘法公式计算：
（1）2012； （2）(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b)．
二、课堂小结
完全平方公式 公式 结构特征 常用变形
(a+b)2=_________;(a-b)2=_________. (1)公式左边都是____式的____，右边是一个____次____项式；(2)公式右边第一、三项分别是左边____的____，中间一项是左边两项____的____倍． a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；(4)(-2m-1)2 =_______________.
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：
4.321 2＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
5.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
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