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2025广东版数学中考专题
基础巩固
第一章 数与式
1.1 实数
考点1 实数的有关概念（必考点）
1．[2023广东，1，3分]负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元
【答案】A
2．[2023深圳，1,3分]若表示零上10摄氏度，则零下8摄氏度可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2022广东，1，3分] （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】.
4．[2022广州，7，3分]实数,在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题图可得,，
所以,故A,B选项错误；
,，
,故C选项正确，D选项错误.
5．[2021深圳，2，3分]的相反数是（ ）
A. 2 021 B. C. D.
【答案】B
6．[2021广州，1，3分]下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
7．[2021广州，2，3分]如图，在数轴上，点，分别表示数，，且，若，则点表示的数为（ ）
A. B. 0 C. 3 D.
【答案】A
【解析】，.
由题图可知，，.
，.
.
考点2 实数的大小比较（冷考点）
8．[2024广州，1，3分]四个数，,0,10中，最小的数是 （ ）
A. B. C. 0 D. 10
【答案】A
9．[2021广东，1，3分]下列实数中，最大的数是 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
考点3 实数的运算（必考点）
10．[2024广东，1，3分]计算的结果是 （ ）
A. B. C. 2 D. 8
【答案】A
11．[2022广东，2，3分]计算的结果是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】D
12．[2024广州，12，3分]如图，把,,三个电阻串联起来，线路上的电流为,电压为,则.当,,,时，的值为____.
【答案】220
13．[2023广东，16（1），5分]计算：.
【解析】原式.
14．[2020深圳，17，5分]计算：.
【解析】原式.
15．[2024广东，16，7分]计算：.
【解析】原式
.
考点4 科学记数法（必考点）
16．[2024广东，3，3分]2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
17．[2023广东，3，3分]2023年5月28日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功.可储存约186 000升燃油，将数据186 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将186 000用科学记数法表示为.
18．[2022深圳，4，3分]某公司一年的销售利润是1.5万亿元.1.5万亿用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】1.5万亿．
19．[2021广东，2，3分]据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次.将“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】万
20．[2020广州，1，3分]广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15 233 000人次.将15 233 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
1.2 整式
考点1 代数式（常考点）
1．[2022广东，12，3分]单项式的系数为______.
【答案】3
2．[2020广东，12，4分]如果单项式与是同类项，那么______.
【答案】4
【解析】由所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项可知，，，则.
3．[2024广州，14，3分]若,则__.
【答案】11
【解析】,,
.
考点2 整式的运算（必考点）
4．[2024广东，5，3分]下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.,故本项不符合题意；
B.,故本项不符合题意；
C.,故本项不符合题意；
D.,故本项符合题意.
5．[2023广州，4，3分]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误.
6．[2021广东，4，3分]已知,,则（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】D
【解析】,,.
7．[2021广州，4，3分]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误.
8．[2020广州，3，3分]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,故A选项错误；,故B选项错误；,故C选项错误；,故D选项正确.
9．[2020广东，14，4分]已知，，计算的值为______.
【答案】7
【解析】由已知可得.
，.
10．[2023深圳，12,3分]已知实数,,满足,,则的值为__.
【答案】42
【解析】,,
.
考点3 乘法公式（常考点）
11．[2021广东，15，4分]若且，则____________.
【答案】
【解析】,
,即,，
即,.
,
,
,
.
12．[2020广东，18，6分]先化简，再求值：，其中，.
【解析】原式.
当，时，原式.
考点4 因式分解（必考点）
13．[2023广东，11，3分]因式分解：__________________.
【答案】
【解析】.
14．[2022广州，12，3分]分解因式：________________.
【答案】
15．[2021深圳，11，3分]因式分解：____________________.
【答案】
【解析】
.
16．[2020广东，11，4分]分解因式：____________.
【答案】
17．[2020深圳，13，3分]分解因式：____________________.
【答案】
【解析】
.
1.3 分式与二次根式
考点1 分式（必考点）
1．[2024广东，14，3分]计算：______.
【答案】1
【解析】.
2．[2022广东，17，8分]先化简，再求值：，其中.
【解析】.
当时，原式.
3．[2021深圳，16，6分]先化简，再求值：，其中.
【解析】原式，当时，原式.
4．[2021广州，19，6分]已知.
（1） 化简；
（2） 若，求的值.
【解析】
（1） .
（2） ，..
5．[2020深圳，18，6分]先化简，再求值：,其中.
【解析】原式
.
当时，原式.
6．[2020广州，19，10分]已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：.
【解析】 反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
.
原式
.
考点2 二次根式（必考点）
7．[2022广州，3，3分]代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
8．[2020广东，5，3分]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，解得.
9．[2021广东，5，3分]若，则（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
,,
,,,,.
10．[2021广东，8，3分]设的整数部分为,小数部分为，则的值是 （ ）
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】A
【解析】,
,
,.
.
11．[2023广东，12，3分]计算：______.
【答案】6
【解析】.
一题多解
.
12．[2021广州，11，3分]代数式在实数范围内有意义时，应满足的条件是________.
【答案】
【解析】由题意得，故.
13．[2020广州，12，3分]计算：______.
【答案】
【解析】.
第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1 一元一次方程和一元二次方程
考点1 一元一次方程（常考点）
1．[2024广州，6，3分]某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2．[2021广州，21，8分]民生无小事，枝叶总关情.广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.
（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【解析】
（1） 设“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为万人次.由题意得,解得.答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万人次.
（2） 设李某的年工资收入增长率为，则由题意得,解得.答：李某的年工资收入增长率至少要达到.
3．[2020广州，22，12分]粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降.
（1） 求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2） 求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.
【解析】
（1） （万元）.答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.
（2） 设明年改装的无人驾驶出租车是辆，则今年改装辆.依题意得,解得.答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆.
考点2 一元二次方程（必考点）
4．[2020广州，9，3分]直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
【答案】D
【解析】 直线不经过第二象限，.
当时，方程为,只有一个实数解；
当时，方程为一元二次方程，， 方程有两个实数解.故方程有1个实数解或2个实数解.
5．[2024广东，13，3分]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______.
【答案】1
【解析】 一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得.
6．[2022广东，14，3分]若是方程的根，则______.
【答案】1
【解析】将代入中，得,解得.
7．[2021广州，12，3分]方程的实数解是________________________.
【答案】,
【解析】，,或,解得,.
8．[2021广东，14，4分]若一元二次方程（,为常数）的两根,满足，,则符合条件的一个方程为________________________________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】,,
不妨令,.
将,代入中，得解得
方程可以为.
9．[2024广州，20，6分]关于的方程有两个不等的实数根.
（1） 求的取值范围；
（2） 化简：.
【解析】
（1） 关于的方程有两个不等的实数根，,解得.
（2） ， .
10．[2020广东，21，8分]已知关于，的方程组与的解相同.
（1） 求，的值；
（2） 若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解，试判断该三角形的形状，并说明理由.
【解析】
（1） 由解得把分别代入和中，解得，.
（2） 该三角形是等腰直角三角形.理由如下：将，代入方程，得，解得.， 该三角形是等腰直角三角形.
2.2 分式方程
考点1 分式方程及其解法（常考点）
1．[2024广东，9，3分]方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
两边同乘,
得，
解得,
经检验，是原方程的解.
2．[2022广州，14，3分]分式方程的解是________.
【答案】
【解析】，方程两边同乘,得，
解得.
经检验，是原分式方程的解.
3．[2024广州，17，4分]解方程：.
【解析】去分母得，
去括号得,
移项得，
合并同类项得，
解得，
检验：当时，,
原分式方程的解为.
考点2 分式方程的应用（冷考点）
4．[2023广州，8，3分]随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．[2023广州，20，6分]已知,代数式：,,.
（1） 因式分解；
（2） 在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
【解析】
（1） .
（2） 选择、.（答案不唯一）.
6．[2023广东，17，7分]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度.
【解析】设乙同学骑自行车的速度为，
根据题意，得.
解得.
经检验，是所列方程的解，且符合题意.
答：乙同学骑自行车的速度为.
7．[2020广东，23，8分]某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米.建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的.
（1） 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米；
（2） 该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍，求建造这90个摊位的最大费用.
【解析】
（1） 设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意得,解得，经检验,是原分式方程的解且符合题意..答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米.
（2） 设建造类摊位个，则建造类摊位个，总费用为元,则.,.又，随的增大而增大. 当时，取最大值，为10 520.答：最大费用为10 520元.
2.3 二元一次方程（组）
考点1 二元一次方程（组）及其解法（常考点）
1．[2021广东，11，4分]二元一次方程组的解为________________________________________.
【答案】
【解析】
，得,③
，得,解得.
将代入①，解得.
所以方程组的解为
2．[2021广州，17，4分]解方程组
【解析】
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得.
所以
考点2 二元一次方程（组）的应用（常考点）
3．[2021深圳，7，3分]《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田共1顷（100亩），总价值10 000钱.问好、坏田各买了多少亩？”设好田买了亩，坏田买了亩，则根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 一共买了100亩田， 买好田、坏田一共花费了10 000钱，且好田的价格为300钱/亩，坏田的价格为 钱/亩，
.
4．[2022广东，19，9分]《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
【解析】设学生有人，该书的单价为元，根据题意得，
解得
答：学生有7人，该书的单价为53元．
5．[2019广东，21，7分]某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1） 若购买这两类球的总金额为4 600元，求篮球、足球各买了多少个；
（2） 若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球.
【解析】
（1） 设购买篮球个，购买足球个，依题意得解得答：购买篮球20个，足球40个.
（2） 设买篮球个，依题意得，解得.
答：最多可购买32个篮球.
2.4 不等式与不等式组
考点1 不等式与一元一次不等式（组）（必考点）
1．[2024广州，4，3分]若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,，，,.
2．[2023广东，8，3分]一元一次不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解不等式，得，， 不等式组的解集为.
3．[2024广东，12，3分]关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是________.
【答案】
【解析】由题图可得两个不等式的解集的公共部分为,
所以该不等式组的解集为.
4．[2022广州，17，4分]解不等式：.
【解析】,
,
,
.
5．[2022广东，16，8分]解不等式组：
【解析】
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
6．[2021广东，18，6分]解不等式组
【解析】
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以不等式组的解集为.
7．[2020广州，17，9分]解不等式组：
【解析】
解不等式①得，，
解不等式②得，.
不等式组的解集为.
考点2 不等式（组）的应用（冷考点）
8．[2023广东，14，3分]某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打____折.
【答案】8.8
【解析】设这种商品打折.由题意得，
解得.
该商品最多可以打8.8折.
9．[2018广州，21，12分]友谊商店A型号笔记本电脑的售价是元/台.最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台.
（1） 当时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2） 若该公司采用方案二购买更合算，求的取值范围.
【解析】
（1） 当时，方案一费用为（元），方案二费用为（元），，， 方案一费用最少，最少费用是元.
（2） 若，则方案一每台按售价的九折销售，方案二每台按售价销售，所以采用方案一购买合算；若，则方案一的费用为元，方案二的费用为元，由题意得，解得.所以若该公司采用方案二购买更合算，则的取值范围是且为整数.
第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
考点1 平面直角坐标系（必考点）
1．[2022广东，6，3分]在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将点向右平移2个单位，横坐标加2，所以平移后的点的坐标为.
2．[2020广东，3，3分]在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以点关于轴对称的点的坐标为.
考点2 函数及其图象（常考点）
3．[2022广东，10，3分]水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为.下列判断正确的是（ ）
A. 2是变量 B. 是变量 C. 是变量 D. 是常量
【答案】C
3.2 一次函数
考点1 一次函数（正比例函数）的图象与性质（常考点）
1．[2022广州，4，3分]点在正比例函数的图象上,则的值为（ ）
A. B. 15 C. D.
【答案】D
【解析】将代入中，得,解得.
2．[2020广州，6，3分]一次函数的图象过点，,，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于一次函数，,随的增大而减小，又,.
3．[2024广东，10，3分]已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.由图象可得，不等式的解集是,故本项不符合题意；
B.由图象可得，不等式的解集是,故本项符合题意；
C.由图象可得，不等式的解集是,故本项不符合题意；
D.由图象可得，不等式的解集是,故本项不符合题意.
4．[2023广东，16（2），5分]已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
【解析】将与分别代入中，
得
解得所以此一次函数的表达式为.
考点2 一次函数的应用问题（常考点）
5．[2022广东，20，9分]物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
0 2 5
15 19 25
（1） 求与的函数关系式；
（2） 当弹簧长度为时，求所挂物体的质量.
【解析】
（1） 把，代入中，得，解得，所以与的函数关系式为.
（2） 把代入中，得，解得．所以所挂物体的质量为．
6．[2023广州，22，10分]因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的函数解析式为.
（1） 求与之间的函数解析式;
（2） 现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【解析】
（1） 当时，设,将代入,得,解得,;当时，设,将，代入，得解得.综上,
（2） 当时，,解得;当时，,解得., 选甲商店能购买该水果更多一些.
7．[2021广州，23，10分]如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点，点为直线在第二象限的点.
（1） 求，两点的坐标；
（2） 设的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3） 作的外接圆，延长交于点，当的面积最小时，求的半径.
【解析】
（1） 令中，则 点的坐标为.令中，则. 点的坐标为.
（2） 点在直线上，.. 点在第二象限，..
（3） 依题意，，，点为外接圆圆心.作的中垂线，连接. 点在的中垂线上.为直径，.又，..的面积最小，即的值最小，即半径的值最小.设直线与相交于点. 当时，半径最小，半径最小值为4.故当的面积最小时，的半径为4.
8．[2024广州，23，10分]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图1中描出表中数据对应的点;
（2） 根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3） 如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为,请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高.
图1
图2
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 由（1）知应选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系.将,代入得解得 一次函数解析式为.
（3） 将代入得. 估计这个人的身高为.
3.3 反比例函数
考点1 反比例函数的图象与性质（常考点）
1．[2022广东，9，3分]点，，，在反比例函数的图象上，则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】， 在第一象限内，随的增大而减小.,,,在反比例函数的图象上，且,,即最小.
2．[2021广州，14，3分]一元二次方程有两个相等的实数根，点,是反比例函数图象上的两个点，若,则____.（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】 一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得.
反比例函数的解析式为.
当时，随的增大而减小.
又，.
3．[2023深圳，14,3分]如图，与位于平面直角坐标系中， ,,,若,反比例函数的图象恰好经过点,则________.
【答案】
【解析】如图，过点作轴于点,
在中， , ,，
，
在中， , ,，
,
,
在中， , ,
,
,
,
.
4．[2022深圳，14，3分]如图，已知直角三角形中，，将绕点顺时针旋转至的位置，且在中点处，在反比例函数的图象上，则的值为______.
【答案】
【解析】连接，作轴于点，由旋转的性质知，，，又是中点，
，
是等边三角形，
，
， ，
， ，
，
，，
在反比例函数的图象上，.
考点2 反比例函数与一次函数的综合运用（冷考点）
5．[2021深圳，14，3分]已知反比例函数的图象经过第一象限内的点，连接并延长交反比例函数图象于点，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，则点坐标为____________.
【答案】
【解析】设直线的表达式为,将点坐标分别代入和中，可得,,
，.联立得
解得或
.
过点作轴的平行线，过点，点分别作的垂线，分别交于，两点，则，
易证，
，.
.
6．[2021广东，21，8分]在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,且与反比例函数图象的一个交点为.
（1） 求的值;
（2） 若，求的值.
【解析】
（1） 在反比例函数的图象上，.
（2） 过点作轴的垂线，垂足为点，点在直线上，则点.①如图，当时，易得,,，，得 点在直线上，,得.②如图，当时，易得，，，，得. 点在直线上，,得.综上，或.
7．[2019广东，23，9分]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1） 根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2） 求这两个函数的表达式；
（3） 点在线段上，且，求点的坐标.
【解析】
（1） 或.
（2） 点在的图象上，，解得. 反比例函数的表达式为. 点在反比例函数的图象上，， 点. 一次函数的图象过、两点，解得 一次函数的表达式为.
（3） 如图，设直线与轴交于点.当时，， 点的坐标为.，.，. 点在线段上， 可设的坐标为.，，解得，， 点的坐标为.
考点3 反比例函数的综合应用（常考点）
8．[2023广东，13，3分]某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数表达式为.当 时，的值为______A.
【答案】4
【解析】当 时，.
9．[2024广州，16，3分]如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，,.将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点,过点作轴于点,则下列结论：
①;
②的面积等于四边形的面积;
③的最小值是;
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】,，四边形是矩形，
，
,故①正确.
如图，设与的交点为,
易得,
,
，
即的面积等于四边形的面积，故②正确.
易证四边形为矩形，
,
当的值最小时，的值最小.
设，
.
又,.
的最小值为2，故③不正确.
设平移距离为,
,,
，,
,
,
又，
,
,
，
，
,故④正确.
10．[2022广州，20，6分]某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积（单位：）与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1） 求储存室的容积的值;
（2） 受地形条件限制,储存室的深度需要满足,求储存室的底面积的取值范围.
【解析】
（1） 由题意得， 储存室的容积的值为.
（2） 由题意得.，，即， 储存室的底面积的取值范围为.
11．[2020广州，21，12分]如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点.
（1） 求的值和点的坐标；
（2） 求的周长.
【解析】
（1） 将代入中,得.设点, 点为的中点，.将点的坐标代入中，得，,.
（2） 四边形是平行四边形，，.由（1）知，，，，.
12．[2020广东，24，10分]如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，.反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，.连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，.
（1） 填空：______；
（2） 求的面积；
（3） 求证：四边形为平行四边形.
【解析】
（1） 2.详解： 点在反比例函数的图象上， 可设点的坐标为，的中点的坐标为. 点在反比例函数的图象上，.
（2） ，，，..
（3） 证明：由（2）知，，则，，.，.，，，. 点与点关于点对称，，，.又， 四边形是平行四边形.
3.4 二次函数
考点1 二次函数的图象与性质（常考点）
1．[2024广东，8，3分]若点,,都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2．[2022广州，6，3分]如图,抛物线的对称轴为直线,下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时，随的增大而减小
D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】 二次函数的图象开口向上，
,故A选项错误；
二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，
，故B选项错误；
抛物线的对称轴为直线，
由图象可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故C选项正确，D选项错误.
3．[2024广州，8，3分]函数与的图象如图所示，当______时，,均随着的增大而减小（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2021深圳，9，3分]二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 二次函数图象的对称轴为直线，一次函数的图象与轴的交点坐标为，
一次函数的图象经过二次函数图象的对称轴与轴的交点.
5．[2023广东，10，3分]如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点A作轴于，
四边形为正方形，
，
，
易得.
设点，则点，
解得,，，
.
6．[2020深圳，11，3分]二次函数的图象的顶点坐标为,部分图象如图所示.以下结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 关于的方程无实数根
【答案】C
【解析】因为图象开口向下，所以.因为图象的对称轴为直线，所以.因为二次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上，所以，所以，故A中结论正确.因为函数图象与轴有两个交点，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，即，故B中结论正确.由题图可知，当时，.根据二次函数图象的对称性可知，当时，，即，所以，故C中结论错误.因为二次函数的图象的顶点坐标是，所以把二次函数的图象向下平移个单位长度后，二次函数的图象与轴无公共点，所以关于的方程无实数根，即关于的方程无实数根，故D中结论正确.
7．[2021广东，12，4分]把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________________.
【答案】
【解析】把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为.
考点2 二次函数的应用（常考点）
8．[2021广东，9，3分]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为,,，记，则其面积，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若,,则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】，，,
，化简得,
,
当时，取最大值，为.
9．[2021广东，10，3分]设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且.连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】如图，设A、B两点坐标分别为,，其中,.
点A、B在的图象上，
,,
,.
过点A作轴于点，过点B作轴于点D.
,
.
轴，
,
,.
轴, ,
,
,,
即,.
设所在直线的解析式为,将,代入中，得解得.
设直线与轴交于点，易求点,即.
， ,
点C在以为直径的圆上，
点C到距离的最大值为以为直径的圆的半径，即.
10．[2020广州，16，3分]对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：），，，若用作为这条线段长度的近似值，当____时，最小.对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），, ,，若用作为这条线段长度的近似值，当________________________时，最小.
【答案】10.0；
【解析】令，则，是关于的二次函数，
当时，值最小.
同理可知，当时，最小.
11．[2024广东，20，9分]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
【解析】设该果商定价为每吨万元时，每天的利润为万元，销售收入为万元，
则
，
,
，
当时，取最大值，最大值为，
当时，取最大值，最大值为612.5.
答：该果商定价为每吨4.5万元或3.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值分别为312.5万元，万元．
12．[2021广东，22，8分]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
（1） 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
（2） 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润.
【解析】
（1） 设豆沙粽每盒的进价为元，则猪肉粽每盒的进价为元，依题意得，解得.经检验，是原方程的解，且符合题意..答：豆沙粽每盒的进价为30元，猪肉粽每盒的进价为40元.
（2） 依题意，得., 当时，随的增大而增大., 当时，取最大值，为1 750.关于的函数解析式为.当猪肉粽每盒的售价为65元时，有最大利润，最大利润为1 750元.
第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
考点1 角（冷考点）
1．[2020广州，11，3分]已知 ，则的补角等于__ .
【答案】80
考点2 相交线与平行线（常考点）
2．[2023广东，4，3分]如图，街道与平行，拐角 ，则拐角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，， ，
.
3．[2023深圳，7,3分]图1为商场某品牌椅子的侧面图，在图2中， ,与地面平行， ,则（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】, ,
,
,
,
.
4．[2022广东，4，3分]如图，直线， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024广东，4，3分]如图，一把直尺、两个含 角的三角尺拼接在一起，则的度数为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2024广州，11，3分]如图，直线分别与直线,相交，,若 ,则的度数为__________.
【答案】
7．[2021深圳，13，3分]如图，已知点为的平分线上一点，直线垂直平分，交于点，连接，过点作于点.若， ，则的周长为__________.
【答案】
【解析】（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
.
，是角平分线，
.
，,
，，
.
4.2 三角形及其全等
考点1 三角形的相关概念（常考点）
1．[2022广东，3，3分]下列图形中有稳定性的是 （ ）
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
【答案】A
2．[2022广东，5，3分]如图，在中，，点，分别为，的中点，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】 点D、分别为、的中点，是的中位线，
.
3．[2020广东，6，3分]已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（ ）
A. 8 B. C. 16 D. 4
【答案】A
【解析】如图， 点D，，分别为三条边的中点，，，.
的周长，的周长.
考点2 全等三角形的判定与性质（常考点）
4．[2024广州，7，3分]如图，在中， ,,为边的中点，点,分别在边,上，,则四边形的面积为（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】连接，如图，
，，点D是的中点，
,.
，.
，
又，
.
5．[2022广东，18，8分]如图，已知，点在上，，，垂足分别为，.求证：.
证明 ，，，.
在和中，
．
6．[2022广州，18，4分]如图,点,在的边上,,,求证：.
证明 ,.
在和中,
.
7．[2020广州，18，9分]如图，， ， .求的度数.
【解析】 , ,
.
在和中，
.
.
4.3 等腰三角形与直角三角形
考点1 等腰三角形（常考点）
1．[2020深圳，8，3分]如图，在中，.在、上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点.若，则的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由作图过程可知.又因为，所以，所以.
2．[2020广东，20，6分]如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点.求证：是等腰三角形.
证明 ，,，
.
，
即.
是等腰三角形.
考点2 直角三角形（常考点）
3．[2021广州，13，3分]如图，在中， ， ，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，则的长为______.
【答案】2
【解析】是的垂直平分线，
， ，
.
.
，.
.
4．[2020广东，17，4分]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】连接，在此滑动过程中，的长度始终保持不变， ，，显然点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上.如图，当、、三点共线时，有最小值.
点到，的距离分别为4和2，，
.
5．[2023广东，20，9分]综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：
图1 图2
（1） 直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2） 证明（1）中你发现的结论.
【解析】
（1） .
（2） 证明：连接，设小正方形边长为1.，，，，. . .是正方形的对角线, ..
4.4 图形的相似
考点 相似三角形的判定与性质（常考点）
1．[2023广东，6，3分]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
【答案】A
【解析】黄金分割比为.
2．[2018广东，7，3分]在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为D、分别是边、的中点，所以是的中位线，所以，所以，且相似比是，所以它们的面积比为.
3．[2023广东，15，3分]边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为__.
【答案】15
【解析】如图，
，
，
，
，，，
，
，
.
，
，
，
，，，
，
，
.
.
4．[2022深圳，15，3分]已知是直角三角形， ,,,,连接，以为斜边作直角三角形且，是边上的一点，连接和，且 ，则长为________.
【答案】
【解析】将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段，连接，，延长交于，
,，
又是直角三角形，
，又，
，
，，
,
是等腰直角三角形，
，又 ，、、三点共线.
， ，
，，
，
，.
5．[2018广州，16，3分]如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点.连接，，，与交于点.则下列结论：
①四边形是菱形；；
；.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】由是边的垂直平分线可得，所以，由四边形是平行四边形可得，，所以，，所以，故②正确.由，，可得，从而，又，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形，故①正确.由，可得，所以，故③错误.设，由，可得，再根据可得，所以，，所以，所以，故④正确.
6．[2024广州，18，4分]如图，点，分别在正方形的边，上，，，.
求证：.
证明 ,，
.
四边形是正方形，
, ,
,,
.
.
4.5 解直角三角形
考点1 锐角三角函数（常考点）
1．[2021广州，9，3分]如图，在中， ，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，，，
.
，，， ，.
在中，.
.
2．[2022广东，11，3分] ________.
【答案】
3．[2021广东，16，4分]如图，在中，，，.过点作，垂足为，则____________.
【答案】
【解析】过点作，交的延长线于点.
四边形为平行四边形，
易证，
，.
在中，，，，
，，.
，，.
在中，.过点作于点.
，
,
.
4．[2021广东，20，6分]如图，在中， .作的垂直平分线交于点，延长至点，使.
（1） 若，求的周长;
（2） 若，求的值.
【解析】
（1） 点在线段的垂直平分线上，.又，的周长.的周长为1.
（2） 设.,..在中，.在中，.
考点2 解直角三角形（常考点）
5．[2023深圳，9,3分]爬坡时坡面与水平面的夹角（坡角）为 ,则每爬耗能,若某人爬了,该坡角为 ,则他耗能（参考数据：,）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得.
6．[2020深圳，16，3分]如图，在四边形中，与相交于点， ,,,则________.
【答案】
【解析】如图，延长交的延长线于.
， ，
.
,
，
.
,
.
设，则，.
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
，与分别以、为底则同高，与同理，，
.
,,
，
.
,
.
与分别以和为底则同高，
，.
与分别以和为底则同高，
,
,
，.
7．[2023广东，18，7分]2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂，两臂夹角 时，求，两点间的距离.（结果精确到，参考数据：，，）
【解析】连接，过点作，垂足为.
， ，
.
在中，
,
.
.
答：，两点间的距离约为.
8．[2024广州，22，10分]2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点,从点测得地面点的俯角为 ,米，米.
（1） 求的长；
（2） 若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间.
参考数据：, 36., 36..
【解析】
（1） 由题意知， , ,在中，米， ,（米）,的长约为8米.
（2） 米，米，米.在中，米，（米），（米）. 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，（秒），即模拟装置从点下降到点的时间约为4.5秒.
9．[2024广东，18，7分]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位.经测量， ,，,,是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到,参考数据：）
（1） 求的长；
（2） 该充电站有20个停车位，求的长。
【解析】
（1） 四边形是矩形， ，在中， ，，， ， 四边形是矩形，， ， ，，， ，，.
（2） 在中，，在中，， 该充电站有20个停车位，， 四边形是矩形，．
第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
考点1 多边形（冷考点）
1．[2020广东，4，3分]若一个多边形的内角和是 ，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】设这个多边形的边数为,根据多边形内角和公式得， ，解得.
考点2 平行四边形（常考点）
2．[2022广东，8，3分]如图，在中，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024广州，13，3分]如图，中，,点在的延长线上，,若平分,则______.
【答案】5
【解析】在中，，
，，
,
平分，
，
，
，
.
4．[2021深圳，15，3分]如图，在中，，、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使点落在点处， .若，则____________.
【答案】
【解析】如图，延长，交于点.延长，，交于点.
由折叠可知.
，.
又，
四边形为平行四边形，
.
又易证，.
，
.
5.2 特殊的平行四边形
考点1 矩形（常考点）
1．[2020广州，10，3分]如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 四边形为矩形，
,,,
，
.
,,
.
.在和中，
，
，
.
2．[2020深圳，12，3分]如图，矩形纸片中，，.将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上.连接，交于点,交于点.给出以下结论：
；；和的面积相等；④当点与点重合时， .其中正确的结论共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】由折叠可知，点是点B关于折痕的对称点.设交于点，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，可知，，故①正确. 四边形是矩形，，.又， ，，.又由折叠可知，，故②正确.过点作于，，，，即是的平分线.又，，.在中，，的面积大于的面积，故③错误.当点与点C重合时，在中，，， .由②知， 四边形为平行四边形.又， 四边形为菱形， .根据菱形的每条对角线平分一组对角，可知 ，故④正确.正确的结论有①②④，共3个.
考点2 菱形（常考点）
3．[2023深圳，5,3分]如图，在平行四边形中，,,将线段水平向右平移个单位长度得到线段,当四边形为菱形时，的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】 将线段水平向右平移个单位长度得到线段,
,,
四边形是菱形，
,
,
.
4．[2022广东，13，3分]菱形的边长为5，则它的周长为__.
【答案】20
5．[2024广东，15，3分]如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为__.
【答案】10
【解析】连接，
是的中点，
.
连接，
同理可得，
，，
，
.
.
考点3 正方形（常考点）
6．[2024广东，7，3分]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
【答案】B
7．[2022广州，9，3分]如图,正方形的面积为3,点在边上，且,的平分线交于点,点,分别是，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，过点作于点，
正方形的面积为3，
正方形的边长为，
， 在中，，
平分,，，
.易证，
，
，
，.
设,则，
在和中，，
，解得,
，
.
点，分别为，的中点，
为的中位线，
.
8．[2020广东，9，3分]如图，在正方形中，，点，分别在边，上， .若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】 四边形是正方形，
， .
由折叠的性质可知 ， ，
，.
设,则，
，，
.
9．[2021广东，23，8分]如图,边长为1的正方形中，点为的中点.连接，将沿折叠得到,交于点，求的长.
【解析】延长交于点，连接.
在正方形中，， ,,.由题意可知，， .
是的中点，，
.又，
，.
设，则，.
在中，,
即,解得..
，
.
，
即，
.
10．[2023广东，23，12分]综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上.如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点.
（1） 当旋转角为多少度时，？（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2） 若点，求的长.
（3） 如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接.将与的面积分别记为与.设，，求关于的函数表达式.
【解析】
（1） .详解：当时，易证， .
（2） 延长交轴于点，过点作轴，垂足为.在正方形中，， ,由旋转性质得... ， ,. ,..,，，.由勾股定理得，.
（3） 延长交轴于点，连接，如图， ，，.，即 .又,, ，又 ， ,易知,①,又 ,.② .又 ,. ,..③.过作，垂足为,过作，垂足为, ,..④（由①，②得） （由③得）（由④得）.即.
一题多解（3）过点 作直线 于点，交 于点， 四边形 是正方形， ，，又 ， ，、、、四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，又 ，，，，，易得四边形 是矩形，，， ， ，，易得 为等腰直角三角形， ，， 关于 的函数表达式为.
11．[2023广州，25，12分]如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），边关于对称的线段为，连接.
（1） 若 ,求证：是等边三角形.
（2） 延长，交射线于点.
① 能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由.
② 若，求面积的最大值，并求此时的长.
【解析】
（1） 证明：由对称得 , ,又,是等边三角形.
（2） ① 能.如图，设 ,则 , ., , .当时，, , 不存在.当时，, ,解得 .当时，, ,解得 ，此时、重合，不符合题意，舍去.综上，若为等腰三角形，则的度数为 .
② 连接，易得，，由①得 ,.连接，交于，易知、、、四点共圆，圆心为.过作于，当过点时，的长度最大.此时，，.的最大值.，，，，又 ,，，.综上，面积的最大值为，此时的长为.
第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
考点1 圆的有关概念与性质（常考点）
1．[2023广东，9，3分]如图，是的直径， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是的直径， ， ，
，
，
， .
2．[2021广东，7，3分]如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】过点D作于点.
为的直径， ,.又平分，
.
，.
在中，.在和中，
，.
设,则.在中，由勾股定理得，即,解得,
,
的直径为.
3．[2021广东，17，4分]在中， ,，.点为平面上一个动点， ,则线段长度的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，作的外接圆，连接，，，与交于点.
的长度即为长度的最小值.
, .
易得.
过点作于点，易得，.
在中，，,长度的最小值为.
4．[2021广州，16，3分]如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且.以点为圆心，3为半径的圆分别交，于点，，与交于点，并与交于点.连接，.给出下列四个结论：
①是的中点；
②；
③；
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】易证.
.
又 点为圆心，
正确.
过点作于，于.
易证，.
，.
，.
，...而.
不正确.
.
.正确.
.正确.
5．[2022广东，22，12分]如图，四边形内接于，为的直径，.
（1） 试判断的形状，并给出证明；
（2） 若，，求的长度.
【答案】
（1） 是等腰直角三角形，证明如下：
为的直径，
.
，,
.又 ，
是等腰直角三角形．
（2） 在中，,
.
在中，，，
.
考点2 与圆有关的位置关系（常考点）
6．[2020广州，7，3分]如图，中， ，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
【答案】B
【解析】 ,,,，
.
,与的位置关系是相切.
7．[2024广州，9，3分]如图，中，弦的长为,点在上，,所在的平面内有一点,若,则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定
【答案】C
【解析】如图，连接，设与的交点为D，
为半径，且，
，
，
.
在中，,
,即的半径为4.
， 点在外.
8．[2022深圳，10，3分]已知三角形为直角三角形， ,为圆切线，为切点，，则和面积之比为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
是的切线，为半径，
，即 ，
，
， ，，
是的直径， ，即 ，
又 ，而，，又，
，，
，
，即和面积之比为.
9．[2020深圳，20，8分]如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为，连接并延长，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
【解析】
（1） 证明：连接、.， .又为的切线，，为的中点，为的中位线，.为的直径， .在中，为斜边中线，，.
（2） ，，，，.，，.
10．[2021广东，24，10分]如图,在四边形中,,, ,点、分别在线段、上,且，,.
（1） 求证:；
（2） 求证:以为直径的圆与相切；
（3） 若， ，求的面积.
【解析】
（1） 证明：，.，.，..又，，.，. , ,即 ..
（2） 证明：取的中点，过点作于点，连接交于点.， ,.,,.是的中位线，.同理可得..是半径， 以为直径的圆与相切.
（3） 连接、 ,由（1）得， .由（1）得， , . , .在中，.在中，..
11．[2023深圳，20,8分]如图，在单位长度为1的网格中，点,,均在格点上，,,以为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点作切线,且（点在的上方）;
②连接,交于点;
③连接,与交于点.
（1） 求证：为的切线；
（2） 求的长度.
【解析】
如图.
（1） 证明：是圆的切线，,在中，由勾股定理得.在与中，,,,, ,又为的半径，为的切线.
（2） 由（1）知,,, ,,,即，解得，故的长度为.
12．[2023广东，22，12分]综合探究
如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点关于的对称点为.连接交于点，连接.
图1 图2 图3
（1） 求证：.
（2） 以点为圆心，为半径作圆.
① 如图2，与相切，求证：；
② 如图3，与相切，，求的面积.
【解析】
（1） 证明: 四边形为矩形，.由对称性质得，.为的中位线， .. ..
（2） ① 证明:过点作，垂足为点.与相切,, ,在矩形中，,..，，..又 , .由（1）可知是直角三角形， ，.
② 过点作，垂足为点.与相切,， ,在矩形中，,，.由（1）可知 . .是等腰直角三角形.设，则.在矩形中，..在中,，由勾股定理得,即,解得.的面积为 .
6.2 与圆有关的计算
考点 弧长、扇形面积、圆锥体积的计算（常考点）
1．[2024广州，10，3分]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为 .
圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长相等，
,,
圆锥的高为.
圆锥的体积为 .
2．[2022广东，15，3分]扇形的半径为2，圆心角为 ，则该扇形的面积为____.（结果保留）
【答案】
【解析】 .
3．[2022广州，15，3分]如图,在中，,点在边上，以为圆心，4为半径的圆恰好过点,且与边相切于点,交于点，则劣弧的长是______.（结果保留）
【答案】
【解析】连接，.
，，
，.
与相切，，
，
.
，
.
4．[2021广东，13，4分]如图，等腰直角三角形中， ,.分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为________.
【答案】
【解析】为等腰三角形，
,，又，
,,
,,
.
5．[2020广东，16，4分]如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为 的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________.
【答案】
【解析】连接，，根据已知得 .
又，是等边三角形，
. ，
的长为
设圆锥的底面圆的半径为，根据扇形围成的圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得，
.
6．[2024广东，21，9分]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗.
图1
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
图2
【实践探索】
（1） 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.
（2） 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.结果保留
【解析】
（1） 滤纸能紧贴此漏斗内壁.方法一：作出示意图如下，由题意知，， 圆锥形的滤纸的底面周长，，,，, 滤纸能紧贴此漏斗内壁．
方法二：由得,其中为圆锥底面半径，为圆锥的母线长，为圆锥侧面展开图的圆心角的度数.对于圆锥形滤纸，；对于漏斗，,., 滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2） 由（1）知， ，过作于点，则，在中，，，即滤纸围成圆锥形的体积是．
第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
考点1 图形的轴对称（轮考点）
1．[2023广东，2，3分]下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义，可知只有选项A中的图案是轴对称图形.
2．[2024广东，2，3分]下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此项不符合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此项不符合题意；
C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意.
3．[2021广州，15，3分]如图，在中，， ，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，的度数为________.
【答案】
【解析】连接.
点，关于直线对称，
.
， .
， .
又， .
.
.
.
4．[2021深圳，17，6分]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.
（1） 请画出四边形关于直线的对称图形；
（2） 求四边形的面积.
【解析】
（1） 如图所示.
（2） .
考点2 图形的平移（冷考点）
5．[2020广州，14，3分]如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】由向右平移所得，点的坐标为，
点的纵坐标为3.
易知四边形为平行四边形，，，
.
点的坐标为.
考点3 图形的旋转（常考点）
6．[2024广州，2，3分]下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7．[2020深圳，2，3分]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8．[2019广州，14，3分]一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则 的度数为______________________.
【答案】 或
【解析】①当时，如图，设与交于点，
，
， ，
.
②当时，如图，设与交于点，
，， ， .
综上所述， 的度数为 或 .
9．[2022广州，16，3分]如图,在矩形中，,点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转 得到线段,连接,.
当点落在边上时，的度数为__________;
当线段的长度最小时，的度数为________.
【答案】；
【解析】当点落在边上时，，，三点共线，
， ，
为等边三角形，
, .
将线段绕点顺时针旋转 得到线段,易知线段为点的运动轨迹，设与交于点.连接，易知 .
当时，取最小值.
易证,
，,
.
设,则,,，，
.
，，
，又为等边三角形， ,
.
10．[2020深圳，22，9分]背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
（1） 将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.
图1
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由.
图2
（3） 把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），连接，.小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值.
图3
【解析】
（1） 能.证明如下： 四边形为正方形，， . 四边形为正方形，， ，.,.
（2） 当时，.理由如下：，. 四边形和四边形均为菱形，，.，.
（3） 过作的延长线于点，过作于点.，，，，. ，.又，，.设，，则，，，，，，， 的值为260.
7.2 视图与投影
考点1 三视图（冷考点）
1．[2020广州，5，3分]对于如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的主视图是轴对称图形
B. 该圆锥的主视图是中心对称图形
C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
2．[2020深圳，4，3分]分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2023广州，2，3分]一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考点2 几何体的展开图（常考点）
4．[2022广州，1，3分]下图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱
【答案】A
5．[2021广东，6，3分]下列图形中正方体展开图的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】观察可知第一、三、四个图形均为正方体展开图.
6．[2019深圳，4，3分]下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
7.3 尺规作图
考点 尺规作图（常考点）
1．[2020广东，15，4分]如图，在菱形中， ，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，.则的度数为________.
【答案】
【解析】根据作图可知虚线为线段的垂直平分线，，
.
四边形是菱形，
，.
，
，
，
.
2．[2023广东，19，9分]如图，在中， .
（1） 实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长.
【解析】
（1） 如图所示，线段就是所求作的高.
（2） 在中，， ，.由勾股定理得..
3．[2022广州，22，10分]如图,是的直径，点在上，且,.
（1） 尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点,连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点到的距离及的值.
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 是的直径， .在中，，.设的垂线与交于点，则. 点是的中点，，则.在中，，.
4．[2024广东，17，7分]如图，在中， .
（1） 实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点.（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作.求证：与相切.
【解析】
（1） 如图，射线即为所求．
（2） 证明：过点作于点，平分， ，，为的半径，与相切．
5．[2024广州，19，6分]如图，中， .
（1） 尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转 得到，连接，.
求证：四边形是矩形.
【解析】
（1） 如图，线段即为所求.
（2） 证明：如图，由题意可得,由旋转可得、、三点共线，且, 四边形为平行四边形， , 四边形为矩形.
6．[2020广州，23，12分]如图，中，.
（1） 作点关于的对称点.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点.
① 求证：四边形是菱形；
② 取的中点，连接，若，.求点到的距离.
【解析】
（1） 如图，点即为所求作的对称点.
（2） ① 证明：，.点与点关于直线对称，与交于点，，，. 四边形是平行四边形.， 四边形是菱形.
② 过点作，交的延长线于点. 四边形为菱形，，. 在中，，.，,. 点到的距离为.
第八章 统计与概率
8.1 统计
考点1 数据的收集与整理（常考点）
1．[2020广东，2，3分]一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）
A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
【答案】C
【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，即这组数据的中位数是3.
2．[2020深圳，5，3分]某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳.考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟），253，247，255，263.这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A. 253，253 B. 255，253 C. 253，247 D. 255，247
【答案】A
【解析】根据题意得平均数为.将五次成绩从小到大排列为247、247、253、255、263，最中间的数为253，故中位数为253.
3．[2022广州，11，3分]在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为,,则考核成绩更为稳定的运动员是__（填“甲”“乙”中的一个）.
【答案】乙
【解析】, 考核成绩更为稳定的是乙.
4．[2021广州，20，6分]某中学为了解初三年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 6 2
（1） 表格中的______，______；
（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______，中位数为______；
（3） 若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4的人数.
【解析】
（1） 4；5.
（2） 4；4.
（3） .所以估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4的人数为90.
5．[2020广东，19，6分]某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级.要求每名学生选且只能选其中一个等级.随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数 24 72 18
（1） 求的值；
（2） 若该校有学生1 800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人.
【解析】
（1） .
（2） （人）.答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生大约共有1 440人.
考点2 统计图表（必考点）
6．[2024广州，5，3分]为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照,,,,的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A. 的值为20
B. 用地面积在这一组的公园个数最多
C. 用地面积在这一组的公园个数最少
D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【答案】B
【解析】A.,故A不符合题意；
B.用地面积在这一组的公园个数为16，数量最多，故B符合题意；
C.用地面积在这一组的公园个数为4，数量最少，故C不符合题意；
D.50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意.
7．[2021广东，19，6分]某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图:
（1） 求这20名学生成绩的众数、中位数和平均数;
（2） 若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.
【解析】
（1） 众数为90分，中位数为（分）.平均数为（分）.答：这20名学生成绩的众数为90分，中位数为90分，平均数为90.5分.
（2） .答：估计该年级获优秀等级的学生人数为450.
8．[2024广东，19，9分]端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1） 若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
（2） 如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
（3） 如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
【解析】
（1） 景区得分为，景区得分为，景区得分为，， 王先生会选择景区去游玩.
（2） 景区得分为，景区得分为，景区得分为，， 王先生将会选择景区去游玩.
（3） 将特色美食、自然风光、乡村民宿和科普基地四项得分的百分比分别定为，，，，则景区得分为，景区得分为，景区得分为，， 选择景区去游玩（答案不唯一）
9．[2023广东，21，9分]小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下：（单位：）
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 15 63.2
B线路所用时间 26.5 6.36
（1） 填空：______，______，______；
（2） 应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路.
【解析】
（1） 19;26.8;25.
（2） 选择线路.理由:线路平均用时少.或选择线路.理由:线路方差小，说明用时波动性不大.（可从平均数、中位数、众数、方差四个方面分析,并说明理由,合理即可）
10．[2022广东，21，9分]为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
10 4 7 5 4 10 5 4 4 18
8 3 5 10 8
（1） 补全月销售额数据的条形统计图.
（2） 月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？
（3） 根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？
【解析】
（1） 补全统计图如图.
（2） 根据条形统计图可得，众数为4万元，中位数为5万元，平均数为（万元）.
（3） 应确定销售目标为8万元，使得较少的销售人员拿到奖励（答案不唯一，合理即可）．
11．[2022广州，19，6分]某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
频数分布表
运动时间 频数 频率
4 0.1
7 0.175
0.35
9 0.225
6
合计 1
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1） 频数分布表中的______,______,______;
（2） 请补全频数分布直方图；
（3） 若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数.
【解析】
（1） 14；0.15；40.
详解：，，.
（2） 补全的频数分布直方图如下.
（3） .答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数为180.
8.2 概率
考点 事件与概率（必考点）
1．[2024广东，6，3分]长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 共有四种区域文化，
选中“巴蜀文化”的概率为.
2．[2022广东，7，3分]书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2022广州，8，3分]为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中甲被抽中有6种情况，所以甲被抽中的概率为.
4．[2021广东，3，3分]同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
点数之和 第一枚
1 2 3 4 5 6
第二枚 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有36种等可能的结果，其中和为7的有6种，所以和为.
5．[2021广州，6，3分]为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能情况，其中抽到两名女学生的只有6种情况，所以（恰好抽到两名女学生）.
6．[2020深圳，14，3分]一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是________.
【答案】
7．[2024广州，21，8分]善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对,两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）
组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1） 求组同学得分的中位数和众数；
（2） 现从,两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率.
【解析】
（1） 组同学得分的中位数为（分），众数为82分.
（2） 由题意可知，，两组得分超过90分的同学各有2名，记组的2名同学分别为,,组的2名同学分别为,,画树状图如图：由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率为.
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2025广东版数学中考专题
基础巩固
第一章 数与式
1.1 实数
考点1 实数的有关概念（必考点）
1．[2023广东，1，3分]负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
2．[2023深圳，1,3分]若表示零上10摄氏度，则零下8摄氏度可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．[2022广东，1，3分] （ ）
A． B．2 C． D．
4．[2022广州，7，3分]实数,在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2021深圳，2，3分]的相反数是（ ）
A．2 021 B． C． D．
6．[2021广州，1，3分]下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B． C． D．
7．[2021广州，2，3分]如图，在数轴上，点，分别表示数，，且，若，则点表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
考点2 实数的大小比较（冷考点）
8．[2024广州，1，3分]四个数，,0,10中，最小的数是 （ ）
A． B． C．0 D．10
9．[2021广东，1，3分]下列实数中，最大的数是 （ ）
A． B． C． D．3
考点3 实数的运算（必考点）
10．[2024广东，1，3分]计算的结果是 （ ）
A． B． C．2 D．8
11．[2022广东，2，3分]计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
12．[2024广州，12，3分]如图，把,,三个电阻串联起来，线路上的电流为,电压为,则.当,,,时，的值为____.
13．[2023广东，16（1），5分]计算：.
14．[2020深圳，17，5分]计算：.
15．[2024广东，16，7分]计算：.
考点4 科学记数法（必考点）
16．[2024广东，3，3分]2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
17．[2023广东，3，3分]2023年5月28日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功.可储存约186 000升燃油，将数据186 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
18．[2022深圳，4，3分]某公司一年的销售利润是1.5万亿元.1.5万亿用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
19．[2021广东，2，3分]据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次.将“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
20．[2020广州，1，3分]广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15 233 000人次.将15 233 000用科学记数法表示应为（ ）
A． B．
C． D．
1.2 整式
考点1 代数式（常考点）
1．[2022广东，12，3分]单项式的系数为______.
2．[2020广东，12，4分]如果单项式与是同类项，那么______.
3．[2024广州，14，3分]若,则__.
考点2 整式的运算（必考点）
4．[2024广东，5，3分]下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023广州，4，3分]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2021广东，4，3分]已知,,则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
7．[2021广州，4，3分]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2020广州，3，3分]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2020广东，14，4分]已知，，计算的值为______.
10．[2023深圳，12,3分]已知实数,,满足,,则的值为__.
考点3 乘法公式（常考点）
11．[2021广东，15，4分]若且，则____________.
12．[2020广东，18，6分]先化简，再求值：，其中，.
考点4 因式分解（必考点）
13．[2023广东，11，3分]因式分解：__________________.
14．[2022广州，12，3分]分解因式：________________.
15．[2021深圳，11，3分]因式分解：____________________.
16．[2020广东，11，4分]分解因式：____________.
17．[2020深圳，13，3分]分解因式：____________________.
1.3 分式与二次根式
考点1 分式（必考点）
1．[2024广东，14，3分]计算：______.
2．[2022广东，17，8分]先化简，再求值：，其中.
3．[2021深圳，16，6分]先化简，再求值：，其中.
4．[2021广州，19，6分]已知.
（1） 化简；
（2） 若，求的值.
5．[2020深圳，18，6分]先化简，再求值：,其中.
6．[2020广州，19，10分]已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：.
考点2 二次根式（必考点）
7．[2022广州，3，3分]代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
8．[2020广东，5，3分]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．[2021广东，5，3分]若，则（ ）
A． B． C． D．9
10．[2021广东，8，3分]设的整数部分为,小数部分为，则的值是 （ ）
A．6 B． C．12 D．
11．[2023广东，12，3分]计算：______.
12．[2021广州，11，3分]代数式在实数范围内有意义时，应满足的条件是________.
13．[2020广州，12，3分]计算：______.
第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1 一元一次方程和一元二次方程
考点1 一元一次方程（常考点）
1．[2024广州，6，3分]某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2021广州，21，8分]民生无小事，枝叶总关情.广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.
（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
3．[2020广州，22，12分]粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降.
（1） 求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2） 求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.
考点2 一元二次方程（必考点）
4．[2020广州，9，3分]直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
5．[2024广东，13，3分]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______.
6．[2022广东，14，3分]若是方程的根，则______.
7．[2021广州，12，3分]方程的实数解是________________________.
8．[2021广东，14，4分]若一元二次方程（,为常数）的两根,满足，,则符合条件的一个方程为________________________________.
9．[2024广州，20，6分]关于的方程有两个不等的实数根.
（1） 求的取值范围；
（2） 化简：.
10．[2020广东，21，8分]已知关于，的方程组与的解相同.
（1） 求，的值；
（2） 若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解，试判断该三角形的形状，并说明理由.
2.2 分式方程
考点1 分式方程及其解法（常考点）
1．[2024广东，9，3分]方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022广州，14，3分]分式方程的解是________.
3．[2024广州，17，4分]解方程：.
考点2 分式方程的应用（冷考点）
4．[2023广州，8，3分]随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023广州，20，6分]已知,代数式：,,.
（1） 因式分解；
（2） 在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
6．[2023广东，17，7分]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度.
7．[2020广东，23，8分]某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米.建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的.
（1） 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米；
（2） 该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍，求建造这90个摊位的最大费用.
2.3 二元一次方程（组）
考点1 二元一次方程（组）及其解法（常考点）
1．[2021广东，11，4分]二元一次方程组的解为________________________________________.
2．[2021广州，17，4分]解方程组
考点2 二元一次方程（组）的应用（常考点）
3．[2021深圳，7，3分]《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田共1顷（100亩），总价值10 000钱.问好、坏田各买了多少亩？”设好田买了亩，坏田买了亩，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2022广东，19，9分]《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
5．[2019广东，21，7分]某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1） 若购买这两类球的总金额为4 600元，求篮球、足球各买了多少个；
（2） 若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球.
2.4 不等式与不等式组
考点1 不等式与一元一次不等式（组）（必考点）
1．[2024广州，4，3分]若,则（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023广东，8，3分]一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024广东，12，3分]关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是________.
4．[2022广州，17，4分]解不等式：.
5．[2022广东，16，8分]解不等式组：
6．[2021广东，18，6分]解不等式组
7．[2020广州，17，9分]解不等式组：
考点2 不等式（组）的应用（冷考点）
8．[2023广东，14，3分]某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打____折.
9．[2018广州，21，12分]友谊商店A型号笔记本电脑的售价是元/台.最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台.
（1） 当时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2） 若该公司采用方案二购买更合算，求的取值范围.
第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
考点1 平面直角坐标系（必考点）
1．[2022广东，6，3分]在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．[2020广东，3，3分]在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点2 函数及其图象（常考点）
3．[2022广东，10，3分]水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为.下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．是变量 D．是常量
3.2 一次函数
5年中考
考点1 一次函数（正比例函数）的图象与性质（常考点）
1．[2022广州，4，3分]点在正比例函数的图象上,则的值为（ ）
A． B．15 C． D．
2．[2020广州，6，3分]一次函数的图象过点，,，则 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024广东，10，3分]已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
4．[2023广东，16（2），5分]已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
考点2 一次函数的应用问题（常考点）
5．[2022广东，20，9分]物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
0 2 5
15 19 25
（1） 求与的函数关系式；
（2） 当弹簧长度为时，求所挂物体的质量.
6．[2023广州，22，10分]因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的函数解析式为.
（1） 求与之间的函数解析式;
（2） 现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
7．[2021广州，23，10分]如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点，点为直线在第二象限的点.
（1） 求，两点的坐标；
（2） 设的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3） 作的外接圆，延长交于点，当的面积最小时，求的半径.
8．[2024广州，23，10分]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图1中描出表中数据对应的点;
（2） 根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3） 如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为,请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高.
图1
图2
3.3 反比例函数
考点1 反比例函数的图象与性质（常考点）
1．[2022广东，9，3分]点，，，在反比例函数的图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2021广州，14，3分]一元二次方程有两个相等的实数根，点,是反比例函数图象上的两个点，若,则____.（填“ ”“ ”或“”）
3．[2023深圳，14,3分]如图，与位于平面直角坐标系中， ,,,若,反比例函数的图象恰好经过点,则________.
4．[2022深圳，14，3分]如图，已知直角三角形中，，将绕点顺时针旋转至的位置，且在中点处，在反比例函数的图象上，则的值为______.
考点2 反比例函数与一次函数的综合运用（冷考点）
5．[2021深圳，14，3分]已知反比例函数的图象经过第一象限内的点，连接并延长交反比例函数图象于点，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，则点坐标为____________.
6．[2021广东，21，8分]在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,且与反比例函数图象的一个交点为.
（1） 求的值;
（2） 若，求的值.
7．[2019广东，23，9分]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1） 根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2） 求这两个函数的表达式；
（3） 点在线段上，且，求点的坐标.
考点3 反比例函数的综合应用（常考点）
8．[2023广东，13，3分]某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数表达式为.当 时，的值为______A.
9．[2024广州，16，3分]如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，,.将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点,过点作轴于点,则下列结论：
①;
②的面积等于四边形的面积;
③的最小值是;
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
10．[2022广州，20，6分]某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积（单位：）与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1） 求储存室的容积的值;
（2） 受地形条件限制,储存室的深度需要满足,求储存室的底面积的取值范围.
11．[2020广州，21，12分]如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点.
（1） 求的值和点的坐标；
（2） 求的周长.
12．[2020广东，24，10分]如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，.反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，.连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，.
（1） 填空：______；
（2） 求的面积；
（3） 求证：四边形为平行四边形.
3.4 二次函数
考点1 二次函数的图象与性质（常考点）
1．[2024广东，8，3分]若点,,都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
2．[2022广州，6，3分]如图,抛物线的对称轴为直线,下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而减小
3．[2024广州，8，3分]函数与的图象如图所示，当______时，,均随着的增大而减小（ ）
A． B． C． D．
4．[2021深圳，9，3分]二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023广东，10，3分]如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[2020深圳，11，3分]二次函数的图象的顶点坐标为,部分图象如图所示.以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于的方程无实数根
7．[2021广东，12，4分]把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________________.
考点2 二次函数的应用（常考点）
8．[2021广东，9，3分]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为,,，记，则其面积，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若,,则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
9．[2021广东，10，3分]设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且.连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
10．[2020广州，16，3分]对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：），，，若用作为这条线段长度的近似值，当____时，最小.对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），, ,，若用作为这条线段长度的近似值，当________________________时，最小.
11．[2024广东，20，9分]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
12．[2021广东，22，8分]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
（1） 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
（2） 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润.
第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
考点1 角（冷考点）
1．[2020广州，11，3分]已知 ，则的补角等于__ .
考点2 相交线与平行线（常考点）
2．[2023广东，4，3分]如图，街道与平行，拐角 ，则拐角（ ）
A． B． C． D．
3．[2023深圳，7,3分]图1为商场某品牌椅子的侧面图，在图2中， ,与地面平行， ,则（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
4．[2022广东，4，3分]如图，直线， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2024广东，4，3分]如图，一把直尺、两个含 角的三角尺拼接在一起，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．[2024广州，11，3分]如图，直线分别与直线,相交，,若 ,则的度数为__________.
7．[2021深圳，13，3分]如图，已知点为的平分线上一点，直线垂直平分，交于点，连接，过点作于点.若， ，则的周长为__________.
4.2 三角形及其全等
考点1 三角形的相关概念（常考点）
1．[2022广东，3，3分]下列图形中有稳定性的是 （ ）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
2．[2022广东，5，3分]如图，在中，，点，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．[2020广东，6，3分]已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（ ）
A．8 B． C．16 D．4
考点2 全等三角形的判定与性质（常考点）
4．[2024广州，7，3分]如图，在中， ,,为边的中点，点,分别在边,上，,则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
5．[2022广东，18，8分]如图，已知，点在上，，，垂足分别为，.求证：.
6．[2022广州，18，4分]如图,点,在的边上,,,求证：.
7．[2020广州，18，9分]如图，， ， .求的度数.
4.3 等腰三角形与直角三角形
考点1 等腰三角形（常考点）
1．[2020深圳，8，3分]如图，在中，.在、上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点.若，则的长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．[2020广东，20，6分]如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点.求证：是等腰三角形.
考点2 直角三角形（常考点）
3．[2021广州，13，3分]如图，在中， ， ，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，则的长为______.
4．[2020广东，17，4分]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为__________.
5．[2023广东，20，9分]综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：
图1 图2
（1） 直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2） 证明（1）中你发现的结论.
4.4 图形的相似
考点 相似三角形的判定与性质（常考点）
1．[2023广东，6，3分]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
2．[2018广东，7，3分]在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023广东，15，3分]边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为__.
4．[2022深圳，15，3分]已知是直角三角形， ,,,,连接，以为斜边作直角三角形且，是边上的一点，连接和，且 ，则长为________.
5．[2018广州，16，3分]如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点.连接，，，与交于点.则下列结论：
①四边形是菱形；；
；.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
6．[2024广州，18，4分]如图，点，分别在正方形的边，上，，，.
求证：.
4.5 解直角三角形
考点1 锐角三角函数（常考点）
1．[2021广州，9，3分]如图，在中， ，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．[2022广东，11，3分] ________.
3．[2021广东，16，4分]如图，在中，，，.过点作，垂足为，则____________.
4．[2021广东，20，6分]如图，在中， .作的垂直平分线交于点，延长至点，使.
（1） 若，求的周长;
（2） 若，求的值.
考点2 解直角三角形（常考点）
5．[2023深圳，9,3分]爬坡时坡面与水平面的夹角（坡角）为 ,则每爬耗能,若某人爬了,该坡角为 ,则他耗能（参考数据：,）（ ）
A． B． C． D．
6．[2020深圳，16，3分]如图，在四边形中，与相交于点， ,,,则________.
7．[2023广东，18，7分]2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂，两臂夹角 时，求，两点间的距离.（结果精确到，参考数据：，，）
8．[2024广州，22，10分]2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点,从点测得地面点的俯角为 ,米，米.
（1） 求的长；
（2） 若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间.
参考数据：, 36., 36..
9．[2024广东，18，7分]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位.经测量， ,，,,是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到,参考数据：）
（1） 求的长；
（2） 该充电站有20个停车位，求的长。
第五章 四边形
5.1 多边形与平行四边形
考点1 多边形（冷考点）
1．[2020广东，4，3分]若一个多边形的内角和是 ，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点2 平行四边形（常考点）
2．[2022广东，8，3分]如图，在中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024广州，13，3分]如图，中，,点在的延长线上，,若平分,则______.
4．[2021深圳，15，3分]如图，在中，，、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使点落在点处， .若，则____________.
5.2 特殊的平行四边形
考点1 矩形（常考点）
1．[2020广州，10，3分]如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．[2020深圳，12，3分]如图，矩形纸片中，，.将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上.连接，交于点,交于点.给出以下结论：
；；和的面积相等；④当点与点重合时， .其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2 菱形（常考点）
3．[2023深圳，5,3分]如图，在平行四边形中，,,将线段水平向右平移个单位长度得到线段,当四边形为菱形时，的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2022广东，13，3分]菱形的边长为5，则它的周长为__.
5．[2024广东，15，3分]如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为__.
考点3 正方形（常考点）
6．[2024广东，7，3分]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
7．[2022广州，9，3分]如图,正方形的面积为3,点在边上，且,的平分线交于点,点,分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．[2020广东，9，3分]如图，在正方形中，，点，分别在边，上， .若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．[2021广东，23，8分]如图,边长为1的正方形中，点为的中点.连接，将沿折叠得到,交于点，求的长.
10．[2023广东，23，12分]综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上.如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点.
（1） 当旋转角为多少度时，？（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2） 若点，求的长.
（3） 如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接.将与的面积分别记为与.设，，求关于的函数表达式.
11．[2023广州，25，12分]如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），边关于对称的线段为，连接.
（1） 若 ,求证：是等边三角形.
（2） 延长，交射线于点.
① 能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由.
② 若，求面积的最大值，并求此时的长.
第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
考点1 圆的有关概念与性质（常考点）
1．[2023广东，9，3分]如图，是的直径， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．[2021广东，7，3分]如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．[2021广东，17，4分]在中， ,，.点为平面上一个动点， ,则线段长度的最小值为________.
4．[2021广州，16，3分]如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且.以点为圆心，3为半径的圆分别交，于点，，与交于点，并与交于点.连接，.给出下列四个结论：
①是的中点；
②；
③；
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
5．[2022广东，22，12分]如图，四边形内接于，为的直径，.
（1） 试判断的形状，并给出证明；
（2） 若，，求的长度.
考点2 与圆有关的位置关系（常考点）
6．[2020广州，7，3分]如图，中， ，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．[2024广州，9，3分]如图，中，弦的长为,点在上，,所在的平面内有一点,若,则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内
C．点在外 D．无法确定
8．[2022深圳，10，3分]已知三角形为直角三角形， ,为圆切线，为切点，，则和面积之比为 （ ）
A． B． C． D．
9．[2020深圳，20，8分]如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为，连接并延长，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
10．[2021广东，24，10分]如图,在四边形中,,, ,点、分别在线段、上,且，,.
（1） 求证:；
（2） 求证:以为直径的圆与相切；
（3） 若， ，求的面积.
11．[2023深圳，20,8分]如图，在单位长度为1的网格中，点,,均在格点上，,,以为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点作切线,且（点在的上方）;
②连接,交于点;
③连接,与交于点.
（1） 求证：为的切线；
（2） 求的长度.
12．[2023广东，22，12分]综合探究
如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点关于的对称点为.连接交于点，连接.
图1 图2 图3
（1） 求证：.
（2） 以点为圆心，为半径作圆.
① 如图2，与相切，求证：；
② 如图3，与相切，，求的面积.
6.2 与圆有关的计算
考点 弧长、扇形面积、圆锥体积的计算（常考点）
1．[2024广州，10，3分]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022广东，15，3分]扇形的半径为2，圆心角为 ，则该扇形的面积为____.（结果保留）
3．[2022广州，15，3分]如图,在中，,点在边上，以为圆心，4为半径的圆恰好过点,且与边相切于点,交于点，则劣弧的长是______.（结果保留）
4．[2021广东，13，4分]如图，等腰直角三角形中， ,.分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为________.
5．[2020广东，16，4分]如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为 的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________.
6．[2024广东，21，9分]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗.
图1
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
图2
【实践探索】
（1） 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.
（2） 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.结果保留
第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
考点1 图形的轴对称（轮考点）
1．[2023广东，2，3分]下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024广东，2，3分]下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2021广州，15，3分]如图，在中，， ，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，的度数为________.
4．[2021深圳，17，6分]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.
（1） 请画出四边形关于直线的对称图形；
（2） 求四边形的面积.
考点2 图形的平移（冷考点）
5．[2020广州，14，3分]如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为____________.
考点3 图形的旋转（常考点）
6．[2024广州，2，3分]下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．[2020深圳，2，3分]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2019广州，14，3分]一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则 的度数为______________________.
9．[2022广州，16，3分]如图,在矩形中，,点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转 得到线段,连接,.
当点落在边上时，的度数为__________;
当线段的长度最小时，的度数为________.
10．[2020深圳，22，9分]背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
（1） 将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.
图1
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由.
图2
（3） 把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），连接，.小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值.
图3
7.2 视图与投影
考点1 三视图（冷考点）
1．[2020广州，5，3分]对于如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2．[2020深圳，4，3分]分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是 （ ）
A． B． C． D．
3．[2023广州，2，3分]一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
考点2 几何体的展开图（常考点）
4．[2022广州，1，3分]下图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
5．[2021广东，6，3分]下列图形中正方体展开图的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．[2019深圳，4，3分]下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A． B．
C． D．
7.3 尺规作图
考点 尺规作图（常考点）
1．[2020广东，15，4分]如图，在菱形中， ，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，.则的度数为________.
2．[2023广东，19，9分]如图，在中， .
（1） 实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长.
3．[2022广州，22，10分]如图,是的直径，点在上，且,.
（1） 尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点,连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点到的距离及的值.
4．[2024广东，17，7分]如图，在中， .
（1） 实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点.（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作.求证：与相切.
5．[2024广州，19，6分]如图，中， .
（1） 尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转 得到，连接，.
求证：四边形是矩形.
6．[2020广州，23，12分]如图，中，.
（1） 作点关于的对称点.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点.
① 求证：四边形是菱形；
② 取的中点，连接，若，.求点到的距离.
第八章 统计与概率
8.1 统计
考点1 数据的收集与整理（常考点）
1．[2020广东，2，3分]一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
2．[2020深圳，5，3分]某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳.考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟），253，247，255，263.这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247
3．[2022广州，11，3分]在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为,,则考核成绩更为稳定的运动员是__（填“甲”“乙”中的一个）.
4．[2021广州，20，6分]某中学为了解初三年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 6 2
（1） 表格中的______，______；
（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______，中位数为______；
（3） 若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4的人数.
5．[2020广东，19，6分]某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级.要求每名学生选且只能选其中一个等级.随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数 24 72 18
（1） 求的值；
（2） 若该校有学生1 800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人.
考点2 统计图表（必考点）
6．[2024广州，5，3分]为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照,,,,的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
7．[2021广东，19，6分]某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图:
（1） 求这20名学生成绩的众数、中位数和平均数;
（2） 若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.
8．[2024广东，19，9分]端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1） 若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
（2） 如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
（3） 如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
9．[2023广东，21，9分]小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下：（单位：）
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 15 63.2
B线路所用时间 26.5 6.36
（1） 填空：______，______，______；
（2） 应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路.
10．[2022广东，21，9分]为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
10 4 7 5 4 10 5 4 4 18
8 3 5 10 8
（1） 补全月销售额数据的条形统计图.
（2） 月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？
（3） 根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？
11．[2022广州，19，6分]某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
频数分布表
运动时间 频数 频率
4 0.1
7 0.175
0.35
9 0.225
6
合计 1
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1） 频数分布表中的______,______,______;
（2） 请补全频数分布直方图；
（3） 若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数.
8.2 概率
考点 事件与概率（必考点）
1．[2024广东，6，3分]长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022广东，7，3分]书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为 （ ）
A． B． C． D．
3．[2022广州，8，3分]为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．[2021广东，3，3分]同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．[2021广州，6，3分]为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．[2020深圳，14，3分]一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是________.
7．[2024广州，21，8分]善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对,两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）
组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1） 求组同学得分的中位数和众数；
（2） 现从,两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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