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与中点有关的线段倍分问题
知识与方法
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形中位线、构造中心对称图形等，如图 1-2-9所示：
典例精析
例 如图 1-2-10,在△ABC 中,延长 BC 至点D,使CD=BC,F是AB 的中点,连接DF交AC于点 E，求 的值.
【简析】求线段的比值，因没有一条线段的长度是已知的，分别求出这两条线段的长行不通，故通过构造平行线，利用中位线或相似三角形的性质，通过其他线段的比进行代换.
解法一：
如图 1-2-11,连接AD 和FC.
因为CD=BC,F为AB 中点,所以 FC是△ABD的中位线.
所以
所以△FCE∽△DAE.
所以
所以AE=2EC.
所以
解法二：
如图 1-2-12,取 BC 的中点M,连接 FM,则DC=2CM,
因为 F为AB 的中点,M 为BC 的中点,所以线段 FM是△ABC的中位线.
所以
因为 FM∥AC,
所以
所：以
即
解法三：
如图 1-2-13,过点 C 作
CM∥AB,交 ED于点 M.
因为CD=BC,
所以
又 F 为AB 的中点,
所以
所以
即，AE=2CE.
所以
解法四：
如图1-2-14,过点B 作BM∥AC,交 DF 的延长线于点M.
则
因为CD=BC,AF=FB,
所以
所以 所以
解法五：
如图 1-2-15,过点 D 作DM∥AB,交 AC 的延长线于点M.
因为 DM∥AB,所以∠A=∠M.因为∠ACB=∠MCD,BC=CD,所以△ACB≌△MCD.
所以AB=MD,AC=CM.
因为 DM∥AF,所以
又因为
所以
所以 即
而AC=CM,所以
即
所以
所以
进阶训练
1. 如图1-2-16,△ABC中,D 在 AC上,且 AD :DC=1:2,E为BD 的中点,AE 的延长线交BC 于F,则 BF:FC= .
2. 如图 1-2-17,在△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在BC 的延长线上，AD与AC 边上的中线BE 的延长线交于点 P.已知 DC : BC :AC=1:2:3.
(1)求 的值；
(2)当CD=2时,求 BP 的长.
3. 如图 1-2-18①,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=5,D 是AB 上一点,过点 D 作DE⊥AC于点E,连接CD,BE,M,N 分别是DC,BE的中点,连接MN.
(1)图①中，线段 MN 与线段CE 之间的数量关系为 ；
(2)将△ADE 绕点A 顺时针旋转到图②的位置，连接BD，CE.试问(1)中的结论是否仍然成立 请判断并说明理由.
4. 如图1-2-19,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点 D在MC上,以点 A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE.
(1)比较∠BAE与∠CAD 的大小;用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明.
(2)过点 M 作AB 的垂线,交 DE 于点 N,用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并证明.
答案
|进阶训练|
1. 1:3 [解析] 如图,过点 D 作DG∥AF交BC 于点G，易得 由 E 为 BD 的中点,得 即.BF=FG,故 BF:FC=1:3.
2. 解:(1)过点A作AF∥DB,交BP 的延长线于点F,如图.设 DC=k,由 DC:BC=1:2得 BC=2k,DB=DC+BC=3k.
∵E是AC中点,
∴AE=CE.
∵AF∥DB,
∴∠F=∠1.
在△AEF 和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB.
∴EF=BE,AF=BC=2k.
∵AF∥DB,
∴△AFP∽△DBP.
的值为
(2)当CD=2时,BC=4,AC=6,
∴EF=BE=5,BF=10.
(已证),
3. 解:(1)CE=2MN
[解析] 如图①,取 BC的中点 P,连接 MP,NP.
∵M,N分别是DC,BE的中点,
∴由三角形中位线性质可得
且∠NPM=180°-∠BPN-∠CPM=180°-90°-
由已知可得
过点 N 作 NH⊥MP 于点 H.
则△PNH 是等腰直角三角形,∴HP= HN=
又
∴△PMN为等腰直角三角形,MN=PN.
∴CE=2MN.
(2)结论仍然成立.
理由如下:如图②,取 BC的中点 P,连接 PM,PN.
∵Rt△ABC 中,AC=BC,∴∠DAE=∠BAC=45°.
又 DE⊥AE,∴△ADE为等腰直角三角形.
∴AE=DE.
∴△ADB∽△AEC.
∵MP,PN分别为△CDB 和△BEC的中位线,
∴MP∥BD,NP∥EC且
∴∠MPC=∠DBC,∠NPB=∠ECB.
∴∠NPM= 180°-∠BPN-∠CPM = 180°-
且
同(1)易知△PNM为等腰直角三角形.
∴MN=NP.∴CE=2MN.
4. 解:(1)∠BAE=∠CAD.
BE+MD=BM.证明如下:
∵∠DAE=∠BAC=α,
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠BAE=∠CAD.
在△ABE 和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴BE=CD.
∵M为BC 的中点,∴BM=CM.
∴BE+MD=BM.
(2)NE=ND.证明如下:
证法一:如图,作 EH⊥AB 交 BC 于 H,交 AB 于F,
由(1)△ABE≌△ACD得:∠ABE=∠ACD.
∵AB=AC,∴∠ACD=∠ABC.
∴∠ABE=∠ABD.
在△BEF 和△BHF中,
∴△BEF≌△BHF(ASA).∴BE=BH.
由(1)知:BE+MD=BM,
∴MH=MD.
∵MN⊥AB,EF⊥AB,∴MN∥IHF.∴EN=MHD.
∴EN=DN.
证法二：如图，设直线 MN 和BE 交于点 P，过点 D作DQ∥BP 交直线MN 于点Q,
由∠ABE=∠ACD=∠ABC,MN⊥AB,可得 AB为线段 PM 的垂直平分线.
易证∠P=∠BMP=∠DMQ=∠Q,可得 DM=DQ.
又BP=BM=CM,BP=BE+PE,CM=DM+CD,BE=CD,可得 PE=DM=DQ.
于是可得△PEN≌△QDN,得 NE=ND.
证法三：如图，设直线 MN 和BE 交于点 P，过点 E作EF∥BC交直线MN 于点 F.
由证法二可得∠P=∠BMP=∠PFE,
∴PE=FE=DM.
于是可得△NEF≌△NDM,得 NE=ND.
证法四:如图,设 MN 交AB 于 K,连接 AN,AM,AM交DE 于点 F.
∵AB=AC,M为BC中点,
∴∠CAM=∠BAM,∠AMC=90°.
由 MN⊥AB于K,可得∠AKM=∠AMC=90°.
考虑到 Rt△AKM 和 Rt△AMC内角和相等,可得∠AMK=∠C=∠ADE.
∴易得△ADF∽△NMF,
又∠AFN=∠DFM,
∴△AFN∽△DFM.
∴∠ANF=∠DMF=90°.
∴AN为等腰三角形ADE 的中线.
∴NE=ND.

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