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几何最值专题一 将军饮马问题
知识与方法
一、线段之和最短问题的基本图形
一般来说，线段和最短的问题，往往是利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，关键是找点关于线的对称点实现“折”转“直”.
1. 两定点一动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-1,在直线 l同侧有 A,B 两点，在l上找一点P，使得AP+PB最小.
作法：如图3-1-2，作点 A 关于直线l 的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点就是点 P.
2. 一定点两动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-3,在∠MON 内有一点 P,在边ON,OM 上分别找点 Q,R,使得 PQ+QR+RP 最小.
作法:如图3-1-4,分别作点 P 关于射线ON,OM的对称点P',P",连接 P'P",与射线ON,OM 的交点就是Q,R.
3. 两定点两动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-5,在∠MON 内有两点 P,Q,在边 OM,ON 上分别找点R,S,使得 PR+RS+SQ最小.
作法:如图3-1-6,作点 P 关于射线OM 的对称点 P',作点 Q 关于射线ON 的对称点 Q',连接 P'Q',与射线 OM,ON 的交点就是点R,S.
4. 一定点两动点——可化为：垂线段最短
已知:如图3-1-7,在∠MON 内有一点 P,在边OM,ON上分别找点 R,Q,使得 PR+QR最小.
作法:如图3-1-8,作点 P 关于射线OM 的对称点P',作P'Q⊥ON,垂足为Q,P'Q 与射线OM 的交点就是R.
二、线段之差最大问题的基本图形
已知，如图3-1-9，在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点 P,使得 PB-PA 最大.
作法：如图3-1-10，连接BA 并延长，与直线l的交点就是点 P.(三角形两边之差小于第三边)
典例精析
例 1 (两定点一动点)如图3-1-11，在直角坐标系中,点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C的纵坐标为1,且CA=CB,在 y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为
答案：
【简析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°，得到∠C=90°,求得 AC=BC=2,如图3-1-12,作 B 关于 y 轴的对称点 E,连接 AE 交 y 轴于D，则此时四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE,过点 E作 EF⊥AC交CA 的延长线于 F，根据勾股定理即可得到结论.
例2 (一定点两动点)如图3-1-13,矩形 ABCD中,AB=20,BC=10,点 M 为对角线AC 上一动点,点 N 为边 AB 上一动点,连接 BM,MN,则BM+MN 的最小值为 .
答案:16
【简析】同化异：如图3-1-14①，当动点个数超过一个时，我们解题时习惯先假设其中一动点为定点，如将点 N 看作定点，即作定点 B 关于动点M 所在的直线AC 的对称点即可.
折化直：如图②，因点 N 为动点且在边 AB 上运动，则本题转化为定点 B'到直线的最短距离问题,即当 B'N⊥AB 时最短.即 BM+MN 的最小值为线段 B'N的长.
例 3 (一点两线)如图3-1-15,∠AOB=60°,点 P是 ∠AOB 内 的 定 点 且 ，若M，N分别是射线 OA,OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( )
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C. 6 D. 3
答案：D
【简析】分别作点 P 关于OA,OB 的对称点 C,D,连接 CD 分别交 OA,OB 于点 M,N,连接OC,OD,如 图 3-1-16,利用 轴 对 称 的 性 质得MP=MC,NP = ND,OP =OD =OC= ∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长最小,作 OH⊥CD 于 H,则CH=DH，然后利用含 30°角的直角三角形三边的关系计算出CD 即可.
例 4 (两点两线)如图 3-1-17,在△ABC 中,AC⊥BC,∠B=30°,E,F 是线段AB 的三等分点，P 是线段BC上的动点，Q是线段AC 上的动点.若AC=3，则四边形 EPQF周长的最小值是
答案：8
【简析】如图 3-1-18,作点 E 关于BC 的对称点 E',作点 F 关于AC的对称点 F′,则 EP+ PQ+QF',连接E'F'交 BC 于点 P,交 AC 于点Q，此时 是四边形EPQF 周长的最小值， 构造直角三角形E'F'G，利用勾股定理可求得 E'F'.
例5 (线段之差)如图3-1-19,已知直线MN 与MN异侧两点A,B,在 MN 上求作一点 P,使PA-PB最大.说说你的理由.
【简析】如图3-1-20,
作法：①作点 B 关于直线MN 的对称点C；
②连接AC，并延长AC 与直线MN 相交，交点为P，则点 P 即为所求的点.
理由如下：在MN 上任取一点 D(不与点 P 重合),连接AD,BD,CD.
因为直线 MN 是点 B,C 的对称轴,点 D,P 在MN 上,
所以DC=DB,PC=PB,所以PA-PB=PA-PC=AC,
在△ADC 中,因为 DA-DC所以PA-PB>DA-DB,
即 PA-PB 最大.
进阶训练
1. 如图3-1-21,正方形ABCD 的边长为4,点 E在AB上且BE=1,F 为对角线AC 上一动点，则△BFE周长的最小值为 ( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
2. 如图3-1-22,在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点 C 作CD⊥OB 交AB于点D,点 P 是边OA 上的动点.当PC+PD最小时，OP 的长为 ( )
A. B. C. 1 D.
3. 如图3-1-23,抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上任意一点.若点 D，E，F分别是BC,BP,PC的中点,连接 DE,DF,则 DE+DF 的最小值为 .
4. 如图3-1-24,反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象经过点 A(1,3),B(3,m).在x轴上找一点P，使 PA+PB的值最小，则点 P最小值为 .
5. 如图3-1-25,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,OD 平分∠BOC 交BC于点 D,点 E 为半径OB 上一动点.若OB=2，则阴影部分周长的的坐标为 .
6. 如图 3-1-26,四边形 ABCD 中,DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,P 是AB上一 动 点, 则PC + PD 的 最 小 值 是
7. 如图 3-1-27,在矩形 ABCD 中,AB =4,AD=3，矩形内部有一动点 P 满足S△PAB = S矩形ABCD,则点 P 到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为 .
8. 如图 3-1-28①,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC=120°,点 E 是边AB 的中点,点 P 是边BC上一动点,设 PC=x,PA+PE=y.图②是y关于x的函数图象，其中 H 是图象上的最低点，那么a+b的值为 .
9. 如图 3-1-29,在菱形 ABCD 中, BD=6,E是BC 边的中点,P,M分别是AC,AB上的动点,连接 PE,PM,则 PE+PM的最小值是 .
10. 如图3-1-30,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6 ,D,E分别是边 BC,AC上的动点，则DA+DE 的最小值为 .
11. 如图3-1-31,在正方形 ABCD 中,AB=8,AC与BD 交于点O,N是AO的中点,点 M在 BC边上,且 BM=6. P 为对角线 BD 上一点,则 PM—PN的最大值为 .
12. 如图3-1-32,直线 AB 与反比例函数 (x>0)的图象交于A,B两点,已知点 A 的坐标为(6,1),点 B 的坐标为(2,m).动点 P在y轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，点P 的坐标为 .
13. 如图3-1-33,直线 分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线 与 y轴交于点C.若点 E 在抛物线. +2x+1的对称轴上移动，点 F 在直线AB上移动，则CE+EF 的最小值为 .
14. 如图 3-1-34,∠MON=30°,A 在 OM 上,OA=2,D在ON 上,OD=4,C 是OM 上任意一点，B是 ON 上任意一点，则折线段ABCD的最短长度为 .
15. 已知菱形 ABCD 的面积为 2 ，E 是一边BC 上的中点，P是对角线BD 上的动点.连接 AE.若 AE 平分∠BAC,则线段 PE 与PC 的和的最小值为 ，最大值为
16. (1)如图 3-1-35①,等边三角形 ABC 中,AB=2,E是 AB 的中点,AD 是高,在 AD上作出点 P，使 BP+EP 的值最小，并求BP+PE的最小值.
(2)如图②,已知⊙O的直径CD 为2,AC的度数为60°,点 B 是 的中点，在直径CD上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值.
(3)如图③,点 P 是四边形ABCD 内一点,BP=m,∠ABC=α,分别在边 AB,BC上作出点M，N，使△PMN 的周长最小，并求出这个最小值(用含 m，α的代数式表示).
17. 观察发现
如图3-1-36①,若点 A,B 在直线l 同侧,在直线l上找一点 P，使AP+BP 的值最小.
作法如下：作点 B 关于直线l 的对称点 B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点 P.
实践运用
如图②,菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD交于点O,AB=BD,AC=8,P 是对角线AC上的一个动点，M是AB的中点，求 PM+PB的最小值.
拓展延伸
如图③，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点 P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法.
18. 如图3-1-37①,等边三角形ABC 的边长为6,AD,BE 是两条边上的高,点 O 为其交点. P,N 分别是BE,BC上的动点.
(1)当 PN+PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度;
(2)如图②,若点 Q 在线段 BO 上,BQ=1,求QN+NP+PD的最小值.
答案
专题一 将军饮马问题
|进阶训练|
1. B [解析] 连接 ED交AC 于点F,连接 BF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴点 B 与点 D 关于AC 对称.∴BF=DF.
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时周长最小.
∵正方形 ABCD的边长为4,
∴AD=AB=4,∠DAB=90°.
∵点E在AB 上且BE=1,
∴AE=3.
∴△BFE 的周长=5+1=6.
故选 B.
2. B [解析] 延长 CO交⊙O于点 E,连接 ED,交 AO于点 P,如图,此时 PC+PD最小.
∵CD⊥OB,
∴∠DCB=90°.
又∠AOB=90°,
∴∠DCB=∠AOB.
∴CD∥AO.
∵OC=2,OB=4,∴BC=2.
解得
即解得 ∵CD∥AO,∴BC=DC, 故选 B.
[解析] ∵点 P 是抛物线对称轴上一点，∴AP=PB.∴PB+PC=PA+PC.连接AC,与对称轴交于点 P，
此时 PC+PB最小.
∵点 D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,
∴当 PC+PB最小时,DE+DF最小.
在二次函数 中,当x=0时,y=-3.
当y=0时,x=-3或x=1.
∴A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),
∴PB+PC的最小值为
∴DE+DF 的最小值为:
故答案为
4. ( ,0) [解析] 把A(1,3)代入 得k=1×3=3,
∴反比例函数解析式为
把 B(3,m)代入 得3m=3,解得m=1.
∴B点坐标为(3,1).
作A 点关于x轴的对称点A'，连接BA'交x轴于P点,则A'(1,-3).
∴此时 PA+PB的值最小.
设直线 BA'的解析式为y= ax+n,把A'(1,-3),B(3,1)代入得 解得
∴直线 BA'的解析式为y=2x-5,
当y=0时,2x-5=0,解得 ∴P点坐标为(( ,0).
[解析] ∴C阴影最短,则CE+DE 最短.
如图，作扇形 BOC 关于OB 对称的扇形 BOA，连接AD交OB 于E,
则CE=AE,
∴CE+DE=AE+DE=AD.
此时E点满足CE+DE最短,CE+DE 的最小值为AD的长.
∵∠COB=∠AOB=60°,OD 平分∠BOC,
∴∠DOB=30°,∠DOA=90°.
∵OB=OA=OD=2,
∵CD的长:
∴C阴影最短为
故答案为
6. 5 [解析] 如图，作点C关于AB 的对称点C'，连接C'D,交 AB 于 P 点,PC+PD的最小值即为C'D 的长,
作C'E⊥DA 的延长线于点E,
易知四边形 ABC'E 是矩形，BC'=BC=2,AE=
∴DE=AD+AE=5.
7. 4 [解析] 设△ABP中AB 边上的高是h.
∴动点 P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接 BE，交直线 l于点 P,则点 P 满足 PA+PB最小,PA+PB的最小值为BE 的长.
在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,
∴PA+PB的最小值为44
故答案为：4
8. 7 [解析] ∵点 E 是边AB的中点， 从图象中可以看出，当x的值最大时，所对应的函数值是3 ，此时点 P 恰与点 B重合.此时 得 如图，作点 E关于BC的对称点 F,连接 AF 交 BC 于点 P,此时PA+PE 有最小值,即是 AF 长.连接 BF,EF.∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 120°, ∴∠ABC=∠C=30°.由轴对称可得 BF=BE,∠ABC=∠FBP=30°.∴∠EBF=60°.∴△EBF 是等边三角形. ∴EF=BE.∵AE=BE, ∴AE= BE= EF.∴∠AFB=90°.∴△ABF是直角三角形.∴AF=AB·sin∠ABF= 即 a =3.在△ABF 中,∠AFB= 90°,∠ABF = 60°, ∴∠BAF = 30°.
∵∠BAC=120°, ∴∠PAC=∠BAC-∠BAF=
即b=4,∴a+b=7.
9. 2 [解析] 如图，作点 E关于AC 的对称点E'，过点 E'作E'M⊥AB于点M,交 AC于点 P,
则点 P,M即为使PE+PM取得最小值的点,PE+PM的最小值为E'M 的长.
∵四边形ABCD是菱形，
∴点 E'在CD 上.
由 得
解得：
即 PE+PM的最小值是2
10. [解析] 如图,作点 A 关于BC 的对称点A′,连接AA',交 BC于F,过点 A'作A'E⊥AC于E,交 BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE 的值最小，最小值为 A'E的长.
在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6
解得
∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,
∴△AEA'∽△BAC.
即AD+DE的最小值是
故答案为：
11. 2 [解析] 作点 M 关于BD 的对称点 M',根据正方形的对称性可知 M'在AB 上且. 连接PM',则.
如图,当M',N,P 共线时,PM'-PN=M'N,取到最大值.
∴△AM'N∽△ABC,
即△AM'N 是等腰直角三角形.
∴M'N=AM'=2.
∴PM-PN的最大值为2.
12. (0,4) [解析] 将A(6,1)的坐标代入 0),得: 解得:k=6,
将点 B(2，m)的坐标代入 得： 3,
∴点 B 的坐标为(2,3).
∵A，B，P三点组成三角形或共线，当组成三角形时，三角形的任意两边之差小于第三边，即PA-PB∴当A，B，P三点在一条直线上时，PA与PB的差最大.
设直线 AB 的解析式为y= ax+b,将 A(6,1),B(2,3)代入 y= ax+b,
得 解得：
∴直线 AB的解析式为
当x=0时,y=4,
∴点 P(0,4).
13. [解析] 由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=1,A点的坐标为(-4,0),B点坐标为(0,3),C点坐标为(0，1).作点C关于直线x=1的对称点C',则C'(2,1).过点 C'作C'F⊥AB 于点 F,且与对称轴交于点 E，此时FC'的长为CE+EF 的最小值.连接 C'B,C'A,作 C'K⊥x 轴于点 K,则 即 解得 ，则CE+EF的最小值是
14. 2 [解析] 作点 D 关于OM 的对称点 D',作点A 关于ON 的对称点A',连接A'D',A'D'与OM,ON的交点就是C，B.
此时 为最短长度.连接OA',OD'.
易知(
[解析] 根据题意可画出图形，如图所示，过点 B作 BF∥AC交AE 的延长线于点F，连接AP，∴∠F=∠CAE,∠EBF=∠ACE.
∵点 E 是 BC 的中点,
∴BE=CE.
∴△ACE≌△FBE(AAS).
∴BF=AC.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.
∴∠BAE=∠F.∴AB=BF=AC.
在菱形ABCD中,AB=BC,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
∴∠ABC=60°.
设AB=a,则
∵菱形ABCD的面积
即
∴a=2,即AB=BC=CD=2.
∵四边形 ABCD是菱形,
∴点 A 和点C 关于BD 对称.
∴PE+PC=AP+EP.
当A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时
当点 P 和点 D 重合时，PE+PC的值最大，此时PC=DC=2,如图,过点 D作DG⊥BC交BC 的延长线于点 G,连接 DE,
∵AB∥CD,∠ABC=60°,∴∠DCG=60°.
此时
即线段 PE与 PC的和的最小值为 ，最大值为
16. 解:(1)如图①,作点 B关于AD 的对称点,恰好与点C重合，连接CE交AD 于一点，这点就是所求的点 P.线段 CE的长即为BP+PE的最小值.
∵△ABC是等边三角形,E为AB 中点,
即 BP+PE的最小值为
(2)如图②，作点 B 关于CD 的对称点E，由圆的对称性可知点 E在⊙O上.连接AE交CD 于一点，这点就是所求的点 P.线段AE的长即为AP+BP的最小值.
连接OA,OE.
∵点 B与点E 关于CD 对称, ∵点 B是 的中点，AC的度数是(60°,∴BC的度数是30°.∴CE的度数是30°.∴AE的度数为90°.
即BP+AP的最小值为
(3)如图③，分别作点 P 关于边AB，BC的对称点E,F,连接EF,分别与边 AB,BC交于点M,N,线段 EF 的长度即为△PMN的周长的最小值.
连接 BE,BF,则∠EBF=2∠ABC=2α,BE=BF=BP=m.
过点 B作BH⊥EF于点 H,
在 Rt△BEH中,
∴EH=BE·sinα=m·sinα.
∴EF=2m·sinα,
即△PMN的周长的最小值=EF=2m·sinα.
17. 解：实践运用
如图，由题意可知AC垂直平分BD，连接 MD，交AC于点 P,则点 P 即为满足要求的点,PM+PB的最小值为 MD 的长.
由题意易知 M,O分别为 AB,BD的中点,△BMD≌
拓展延伸
找 B关于AC 的对称点E，连接 DE 并延长交AC于P,则∠APB=∠APD.
18. 解：(1)∵等边三角形是轴对称图形，∴点 D 关于BE 的对称点 D'在AB上,且为 AB的中点.
如图①,过点 D'作 D'N⊥BC,垂足为 N,D'N 交BE 于点 P,连接 PD,则
此时D'N 的长度即为PN+PD长度的最小值.
∵AD是高,∴D'N∥AD.∴点 N为BD 的中点.
(2)如图②,作点 Q 关于 BC 的对称点 Q',连接BQ',则
点 D'是点 D 关于BE 的对称点,连接 D'Q',交 BE于点 P,交 BC于点 N.
此时D'Q'的长度即为QN+NP+PD的最小值.
即QN+NP+PD的最小值为

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