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专题二 平移型“将军饮马”问题
知识与方法
一、 “造桥选址”模型
问题：如图3-2-1，河的两侧有两定点 A，B，请在河的两岸找到点 P，Q(河的两岸是平行的直线，PQ必须与河岸垂直),使得AP+PQ+QB:最短.
方法：将AP 沿与河岸垂直的方向平移，点A 移动到点A'，点P 移动到点 Q，则. 连接A'B,线段 A'B 与直线b 的交点为Q',过点 Q'作Q'P'⊥b,连接AP',即此时. 最短.
二、 “将军遛马”模型
问题：在直线l上找两个动点 P，Q(P，Q两动点间距离为定值)，使得AP+PQ+BQ 的距离之和最小，该如何处理呢 (“两动两定型”)
方法一：先对称后平移
如图3-2-4，作定点 A 关于动点所在直线l 的对称点A'，将点 A'沿平行于直线l 的方向从左到右平移PQ 的长度得点A"，连接A"B 交直线l 于点 Q，将点 Q 沿直线l 从右到左平移 PQ 的长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短.
方法二：先平移后对称
如图3-2-5，将点 A 沿平行于直线l 的方向从左到右平移 PQ 的长度得点 A'，作定点 A'关于动点所在直线l 的对称点A"，连接A"B交直线l 于点 Q，将点 Q 沿直线l 从右到左平移 PQ 的长度得点 P,即此时AP+PQ+BQ最短.
典例精析
例 如图3-2-6,正方形AB-CD的边长为6,E,F 是对角线 BD上的两个动点，且EF=2 ,连接CE,CF,则△CEF周长的最小值为 .
答案：
【简析】典型的“平移型将军饮马问题”(要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”).具体思路均是构造定点关于动点所在直线的对称点.
解法一：先对称后平移
如图3-2-7①,易得点 A 与点C 关于直线 BD 对称，将点 A 沿射线BD 方向平移2 个单位长度到点 C',连接CC'交 BD 于点 F',将点 F'沿射线DB 方向平移 2 个单位长度到点 E'，连接CE',CF',此时△CE'F'的周长最小.
如图②，因为 A，C两点关于 BD 对称，易得AE=CE，由平移易得四边形AEFC'为平行四边形，所以. ，由两点之间线段最短知C'F+CF 最短为CC',即 CE+CF 的最小值为CC'的长,因为△CEF 有一定边 EF,即此时△CEF 的周长最小.
由勾股定理易得 即△CEF 的周长最小值为
解法二：先平移后对称
如图3-2-8①,将点 C 沿射线 BD 方向平移 2 个单位长度到点 C'，作C'关于BD 的对称点C"，连接CC",则交 BD 于点 F',将点 F'沿射线 DB
方向平移2 个单位长度到点 E'，连接CE'，此时△CE'F'的周长最小.
如图②,因为 C',C"两点关于 BD 对称,易得 由平移易得四边形 CEFC'为平行四边形，所以 由两点之间线段最短知 最短为CC",即 CE+CF 的最小值为CC"的长,因为△CEF 有一定边 EF,即此时△CEF 的周长最小.
由勾股定理易得 即△CEF 的周长最小值为
反思与总结
平移型“将军饮马”问题，需要我们有化动为定思想，将某动点看作定点，再通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.
进阶训练
1. 如图3-2-9,正方形 ABCD 内接于⊙O,线段MN在对角线 BD 上运动，若⊙O 的面积为2π,MN=1,则△AMN周长的最小值是( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
2. 如图3-2-10，在平面直角坐标系中，长为2 的线段CD(点D 在点 C 右侧)在x 轴上移动，A(0,2),B(0,4),连接AC,BD,则AC+BD的最小值为 ( )
A. 2
3. 如图3-2-11,已知直线l ∥l ,l ,l 之间的距离为8，点 P 到直线l 的距离为 6，点 Q 到直线l 的距离为4，. 在直线 l 上有一动点 A,直线 l 上有一动点 B,满足 AB⊥l ,且 PA+AB+BQ最小,此时 PA+BQ=
4. 如图3-2-12,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E为CD 的中点,P,Q为BC 上两个动点,且 PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.
5. 如图 3-2-13,在直角坐标系中,矩形 OABC的顶点O 在坐标原点，顶点 A，C分别在x轴,y轴上,B,D两点坐标分别为 B(--4,6),D(0,4),线段 EF 在边 OA 上移动,保持EF=3,当四边形 BDEF 的周长最小时,点 E的坐标为 .
6. 如图3-2-14,已知 长度为2 的线段 DE 在射线CF 上移动,点 B 在射线CA上,且 BC=5,则△BDE 周长的最小值为
7. 如图3-2-15，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),点 B(0,4),点 E(0,1).将△AEO沿x 轴向右平移得到△A'E'O',连接A'B,BE',则当 取最小值时，点E'的坐标为 .
8. 如图3-2-16,直线l外有一点D,点 D 到直线l的距离为5,△ABC中,∠ABC=90°,AB= 边 AB在直线l 上滑动，则四边形 ABCD 周长的最小值为 .
9. 如图3-2-17，已知二次函数的图象与x轴交于 A 和 B(--3,0) 两点, 与 y 轴交于C(0,-3),对称轴为直线 x=--1,直线y=-2x+m经过点A,且与 y轴交于点 D,与抛物线交于点 E，与对称轴交于点 F.
(1)求抛物线的解析式和m的值.
(2)在 y轴上是否存在点 P,使得以 D,E,P为顶点的三角形与△AOD 相似 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由.
(3)直线 y=1上有 M,N 两点(M 在 N 的左侧),且 MN=2,若将线段 MN 在直线y=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).
10. 已知抛物线 (a,c为常数，a≠0)经过点 C(0,-1),顶点为 D.
(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标.
(2)当a>0时,点 E(0,1+a),若 DE= ，求该抛物线的解析式.
(3)当a<-1时,点 F(0,1-a),过点 C作直线l平行于x轴，M(m，0)是x轴上的动点,N(m+3,-1)是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为 并求此时点 M,N的坐标.
|进阶训练|
1. B [解析] 连接AC.∵⊙O的面积为2π,∴⊙O的半径为 ,则.
由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点.
过点C作CA'∥BD,且使(
连接AA'交 BD 于点 N,取 NM=1,连接CM,则点M,N 为所求点.
理由:∵A'C∥MN,A'C=MN,∴四边形 MCA'N为平行四边形.
∴A'N=CM=AM,故△AMN的最小周长=AM+
的周长的最小值为3+1=4.故选 B.
2. B [解析] 作A(0,2)关于x轴的对称点 A'(0,-2).过A'作A'E∥x轴且. ,故 E(2,-2).连接 BE 交x轴于点 D'.
连接A'C,DE,则A'C=AC,四边形CDEA'为平行四边形,∴A'C=DE.∴AC=DE.
∴AC+BD的最小值等于 BE 的长,
∴AC+BD的最小值=
3. 16 [解析] 作 PF⊥l 于 F 交 l 于 E,在 PF上截取 PC=8,连接QC交l 于 B,作 BA⊥l 于 A,此时
PA+AB+BQ最小.
∵AB=PC=8,AB∥PC,
∴四边形ABCP 是平行四边形.
∴PA=BC.
∴PA+BQ=CB+BQ.
PA+BQ最小值为QC 的长.
过点 Q作QD⊥PF 交 PF 的延长线于 D.
在 Rt△PQD中, =18-8=10.
4. [解析] ∵E为CD中点,CD=AB=4,AD=
∵PQ=3,
∴要使四边形 APQE 的周长最小，只要AP+EQ最小.
将点 A 向右平移3个单位长度到点 M，作点 E 关于BC 的对称点 F,连接 MF 交BC 于Q,截取 PQ=3,如图所示.易知四边形 AMQP 为平行四边形，
∴AP=MQ.∴AP+EQ=MQ+EQ.
此时MQ+EQ最小.
过M作MN⊥BC于 N,
设CQ=x,则 NQ=8-3-x=5-x.
易知MN = AB = 4,CF = CE = 2,△MNQ∽△
解得： 即
故答案为：
5. (-0.4,0) [解析] 如图所示,作点 D关于x轴的对称点 H ,连接 EH,
∵D(0,4),∴H(0,-4),ED=EH.
将点 H 向左平移3 个单位长度，得到点 G(-3，-4),∴EF=HG,EF∥HG.∴四边形 EFGH 是平行四边形.∴EH=FG.∴FG=ED.∵B(-4,6), . 又 EF=3,∴四边形 BDEF 的周长=BD+DE+EF+BF=2 +FG+3+BF.要使四边形 BDEF 的周长最小,则应使 FG+BF的值最小.而当 F,G,B三点共线时FG+BF的值最小.设直线 BG的解析式为：y= kx+b(k≠0).
∵B(-4,6),G(-3,-4),∴{-4k-b=b=-4,
当y=0时,x=-3.4,∴F(-3.4,0).∴E(-0.4,0).
[解析] 作点 B 关于直线CF 的对称点B'，将点 B'沿射线CD 方向平移2 个单位长度到点B",连接 BB",交 CF 于点 E',将点 E'沿 EC 方向平移2 个单位长度到点 D',连接 BD',B'D',此时△BD'E'的周长最小.
由 易得BB'=6,由勾股定理易得，则△BDE 的周长的最小值为
7. ( ,1)[解析]如图,将点 B(0,4)沿射线 AE方向平移线段AE 的长度得点 M，则点 M 的坐标为(2,5).连接BM,ME',易证四边形 BME'A'是平行四边形,则A'B=E'M.
∵点 E 的坐标为(0,1),将△AEO沿x 轴向右平移得到△A'E'O'.
设AA'=n,则 EE'=n,∴点 E'(n,1),即点 E'在直线y=1上.
作点 M关于直线y=1的对称点 M',连接 E'M',则点 M'坐标为(2,-3).
当点 B,E',M'在同一条直线上时,BE'+E'M'最小，即此时A'B+BE'取得最小值.设直线 BM'的表达式为y= kx+b,
则 解得
∴直线 BM'的表达式为
当y=1时,
解得
∴点E'的坐标是( (,1).
8. 18 [解析] 解法一：作点 D 关于直线l 的对称点D'，将点 D'沿射线 AC 方向平移AC 的长度到点D”，连接 DD”，再将点 C 沿平行于 l 方向平移交DD"于点 C',将 AB 沿直线 l 向左平移到A'B'位置,且使∠A'B'C'=90°,连接 DA',A'C',A'D'.
因为D，D'两点关于l对称，易得 由平移易得四边形 A'D'D"C'为平行四边形，所以. .由两点之间线段最短知 DC'+D'C'最短,为DD",即 DA+DC 的最小值为DD"的长,因为四边形 ABCD有两条定边，即此时周长最短.
过 D"作D"E⊥DD',易得 D"E=6,D'E=2,在 Rt△DED"中易得DD"=10,即四边形 ABCD 周长的最小值为18.
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解法二：乾坤倒转 两动点看成定点——先对称再连接
将动点A，C看作定点，则本题迅速变为我们熟知的“两定一动型”饮马问题，易得下图，可得四边形ABCD周长的最小值为18.
9. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为 A,B(-3,0),
∴A(1,0).
∴可以设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).
把C(0,-3)代入,得a=1,
∴抛物线的解析式为
∵直线y=-2x+m经过点A(1,0),
∴0=-2+m. ∴m=2.
(2)如图①,
∵直线 AF 的解析式为y=-2x+2,交 y轴于 D,与抛物线交于点 E,∴D(0,2).
由 解得 或 ∵E点在第二象限,∴E(-5,12).
过点 E作EP⊥y轴于 P.
∵∠EPD=∠AOD=90°,∠EDP=∠ODA,
∴△EDP∽△ADO.∴P(0,12).
过点 E 作EP'⊥DE 交 y 轴于 P',
同法可证△P'DE∽△ADO,
∴∠EP'D=∠DAO.
∴P'(0,14.5).
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(0，12)或(0，14.5).
(3)∵E,F为定点,∴线段 EF的长为定值.
∴当EM+FN的和最小时,四边形 MEFN 的周长最小.
如图②，画出直线y=1，将点 F 向左平移2个单位得到 F',
作点 E 关于直线y=1的对称点 E',连接 E'F'与直线y=1交于点 M,连接 FN,
由作图可知,EM=E'M,FN=F'M.
∵E',M,F'三点共线,
,此时EM+FN的值最小.
∵点 F 为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点,
∴F(-1,4).∴F'(-3,4).
∵E(-5,12),∴E'(-5,-10).
如图②,延长 FF'交线段EE'于 W,
∵FF'∥直线 y=1,
∴FW⊥EE′.
在 Rt △WEF 中,
在Rt△E'F'W 中,.
∴四边形 MEFN 的周长的最小值=ME+FN+
10. 解:抛物线 (a,c为常数,a≠0)经过点C(0,-1),则c=-1.
(1)当a=1时，抛物线的表达式为
故抛物线的顶点坐标为(1，-2).
故顶点 D(1,-a-1),
由 得： 即 解得 或 故抛物线的表达式为 y= 或
(3)如图，将点 D 向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点 D'(-2,-a),
作点 F 关于x 轴的对称点 F'，则点 F'的坐标为(0,a-1),连接D'F',
当满足条件的点 M落在F'D'上时，由图象的平移知 DN=D'M,故 FM+ND最小,
此时
则 解得 舍去)或(·
则点 D'，F'的坐标分别为
由点 D'，F'的坐标得直线D'F'的表达式为y=
当y=0时,
解得
则
点 M 的坐标为 点 N 的坐标为

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