资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题五 型的最值问题
知识与方法
“PA+k·PB”型的最值问题,当k值为1时,即可转化为“PA+PB”型的最值问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则难以进行，因此必须转换思路.
此类问题的处理通常以动点 P 所在图形的不同来分类.一般分为两类研究，即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动.
其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题，点P 在圆上运动的类型称之为“阿氏圆”问题.
一、点 P 在直线上运动——“胡不归”问题
如图 3-5-1 所示,已知 sin∠MBN=k, P 为∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线BM,BN 的同侧,连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定
【简析】本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,如图3-5-2①,过点 P 作 PQ⊥BN,垂足为Q,则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ.
所以本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值,即A,P,Q三点共线时取得最小值(如图②)，本题得解.
思考:当k值大于1时, “PA+k·PB”的值该如何转化呢 提取系数k 即可.
【数学故事】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图3-5-3所示)，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 ”.这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家 倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢 这就是风靡千年的“胡不归问题”.
设在驿道上行走的速度为 v ，在沙砾地上行走的速度为 ，在AC上选取一点D，设小伙子从A 到D 的路程为AD，从 D 到 B 的路程为BD,则沿A→D→B行走所用时间:
所以该题就转化为在 AC 上选取一点 D，使得 值最小即可.这就是古老的胡不归问题的模型.
二、点P 在圆上运动——“阿氏圆”问题
如图3-5-4所示,⊙O的半径为r,点 A,B 都在⊙O外,P 为⊙O上的动点,已知r=k·OB.连接 PA,PB,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定
【简析】本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,如图 3-5-5①,在线段 OB 上截取 OC,使OC=k·r,则可证明△BPO 与△PCO 相似,即k·PB=PC.
所以本题求“PA+k·PB”的的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即 A,P,C 三点共线时最小(如图②)，本题得解.
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步:如图3-5-5①,连接OP;
第二步：计算出两条线段OP，OB 的长度；
第三步：计算这两条线段长度的比
第四步:如图 3-5-5①,在 OB 上取点 C,使得
第五步：如图3-5-5②，连接AC，与圆O交点即为所求点 P.
“阿氏圆”构造共边共角型 相似(△POB∽△COP).
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A,B,则所有满足 PA=kPB(k≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
典例精析
例 1 (胡不归问题)如图3-5-6,四边形 ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M 为对角线BD(不含 B 点)上任意一点，则 的最小值为 .
答案：2
【简析】如何将 BM转化为其他线段呢 本题k值为 ，可转化为某一角的正弦值，即转化为30°角的正弦值.
思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直 BC 于点 N,则 即 最小转化为AM+MN最小，本题得解.
解:如图3-5-7,作 AN⊥BC,垂足为 N,AN 交BD 于点M,
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°,
即 的最小值为AN 的长.
在 Rt△ABN 中,AN=AB·sin∠ABC=4×
的最小值为2
变式思考:(1)本题若求“2AM+BM”的最小值,你会求吗
(2)本题若求“AM+BM+CM”的最小值,你会求吗
答案：((1)4 (2)4
例2 (阿氏圆问题)如图3-5-8,点 A,B 在⊙O上,OA=OB=6,OA⊥OB,C是OA的中点,点 D在OB上,且OD=4,动点 P 在⊙O上,则2PC+PD的最小值为 .
答案：
【简析】如何将2PC 转化为其他线段呢 不难发现本题出现了中点，即2 倍关系，套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似.
解:如图 3-5-9,连接OP,在射线 OA 上截取AE=6,连接DE交⊙O于点 P,此时2PC+PD的值最小.
易知△OPC∽△OEP.
∴PE=2PC.
∴2PC+PD=PE+PD.
即P,D,E三点共线时,2PC+PD最小.
在 Rt△OED 中,
即2PC+PD的最小值为
变式思考：(1)本题若求 的最小值，你会求吗
(2)本题若求 的最小值，你会求吗
答案：((1)2
进阶训练
1. 如图3-5-10,矩形 ABCD 中,AB=1,AD= ,E是BD 上一点,则 的最小值为 ( )
A. 1 B.
C. 2
如图3-5-11,在正方形 ABCD 中,AB=8,P是正方形ABCD 内部的一点，且满足 BP=4,则 的最
小值为 ( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
3. 如图 3-5-12, ABCD 中,∠DAB = 60°,AB=6,BC=2,P 为边CD 上的一动点,则 的最小值为( )
A. 4
C. 3
4. 如图 3-5-13,△ABC 中,AB = AC=10, tan A=2,BE⊥AC于点E,D 是线段 BE 上的一个动点，则
的最小值是 ( )
A. 2 B. 4
D. 10
5. 如图 3-5-14,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点 C 为圆心,6为半径的圆上有一个动点 D,连接AD,BD,CD,则 BD的最小值为 ( )
6. 如图3-5-15,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2.若 D 是 BC边上的动点,则2AD+DC的最小值为 .
7. 如图3-5-16,在菱形 ABCD 中,AB=AC=10,对角线AC,BD 相交于点O,点 M 在线段AC 上,且AM=3,点 P 为线段BD 上的一个动点，则 的最小值是 .
8. 已知抛物线 与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,C为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交x轴于点 D，连接 BC，且 如图3-5-17 所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设P 是抛物线的对称轴上的一个动点.
①过点 P 作x 轴的平行线交线段 BC 于点E，过点 E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB,FC,求△BCF 的面积的最大值;
②连接 PB,求 的最小值.
9. 在平面直角坐标系中，抛物线 3与x轴交于点A(--3,0),B(1,0),交 y轴于点 N，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图 3-5-18①,连接 AM,点 E 是线段AM 上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点 F,过点 E作EH⊥x轴于点H,交 AM于点D.点 P 是 y 轴上一动点，当EF 取最大值时：
①求 PD+PC的最小值;
②如图②，点Q为y 轴上一动点，请直接写出 的最小值.
10. 如图3-5-19，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A 和C(1,0),交 y轴于点 B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为 连接，AE',BE',求 的最小值.
答案
|进阶训练|
1. A
2. C [解析]如图,在 BC边上取一点 E,使 BE=2,连接 PE,DE,则 △PBE∽△CBP,则 (当D，P，E三点共线时，等号成立)，故 的最小值为
3. C [解析]如图,过点 P 作 PE⊥AD交 AD 延长线于点E,在 Rt△PDE中,易得 所以PB+ 当B,P,E三点共线时,PB+PE=BE的值最小，此时 即 的最小值为3 ,故选 C.
4. B [解析]如图,作 DH⊥AB于 H,CM⊥AB于 M.
∵BE⊥AC, tan A=2,∴BE=2AE.
∵AB=AC=10,
∴在 Rt△ABE中,
(负值舍去).∴
∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=4
故选 B.
5. B [解析]在线段 CA 上截取CM,使得CM=4,连接 BM,DM,易得△DCM∽△ACD,
所以 即
因为 DM+BD≥BM,所以 在 Rt△CBM中，由勾股定理得 4 ，所以 的最小值为
6. 6 [解析] 在 Rt△ABC 中,因为∠B= 60°,所以∠ACB=30°.因为AB=2,所以 BC=4,AC=2 作 A 点关于 BC 的对称点A',连接 AA'交 BC 于 H点,作A'E⊥AC于点 E,在Rt△CDE中,∠ACB=30°,所以 易求 3，所以 的最小值为A'E 的长.因为2AD+ 所以2AD+DC的最小值为6.
[解析] 如图,过点 P 作PE⊥BC于E,
∵四边形ABCD是菱形,AB=AC=10,
∴AB=BC=AC=10,∠ABD=∠CBD.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ABC=∠ACB=60°.∴∠CBD=30°.
∴当点 M,点 P,点 E 共线且 ME⊥BC 时,PM+PE有最小值,为 ME.
∵AM=3,∴MC=7.∵sin∠ACB=ME=
的最小值为
8. [解析](1)先根据抛物线的对称性求出对称轴与x轴的交点D 的坐标，再由 求出点C的坐标，用待定系数法设交点式，将点 C的坐标代入即可求解.
(2)①先求出直线 BC的解析式为 再设点 E 坐标为 由二次函数关系式用t 表示点F 的坐标，进而用t 表示出△BCF 的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大值；
②连接AC,过点 P作 PG⊥AC于G,由 PG=PC· 可得 再过点 B作BH⊥AC于点 H,由此可知,当 B,P,G三点共线时， 的值最小，即线段 BH 的长就是 的最小值，根据面积法求高即可.
解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-5),
∵CD所在直线是抛物线的对称轴，∴D(2，0).又
∴CD=BD·tan∠CBD=4,即C(2,4).
代入抛物线的解析式,得4=a(2+1)(2-5),解得
∴二次函数的解析式为 即
(2)①设直线 BC的解析式为y= kx+m,将点 B，C的坐标代入得 解得 即直线 BC的解析式为 设点 E坐标为 则点 F 坐标为
∴当 时，△BCF的面积最大，且最大值为 ②如图,连接AC,
根据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD,AC=BC=
过点 P作 PG⊥AC于点G,过点 B作BH⊥AC于点 H,则在 Rt△PCG中,
由此可知，当B，P，G三点共线时， 的值最小，即线段 BH的长.
即
的最小值为
9. 解:(1)将 A(-3,0),B(1,0)代入二次函数 y= 得
解得
∴二次函数的解析式为
(2)①将二次函数 配方得 y=
设直线 AM 的解析式为y= px+q,将 A(-3,0),M(-1，4)代入直线解析式可得
解得
∴直线 AM的解析式为y=2x+6.
过E作直线l 平行于直线AM，设解析式为 y=2x+m,∵E在直线AM 上方的抛物线上，
当直线l与AM 距离最大时，EF取得最大值，
∴当l与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值.
化简得
由题意可得△=16-4×1×(m-3)=0,
解得m=7，将m=7代入上述方程可得 即 E点的横坐标为-2.将x=-2代入 得y=3,
∴E(-2,3).又∵ED⊥x轴,
将xD=-2代入直线 AM解析式,得 D(-2,2).
连接PB,∵C(--1,0),B(1,0),∴B,C两点关于y轴对称.∴PB=PC.
∴PC+PD=PB+PD.
当 P,B,D三点不共线时,PB+PD>BD,
当 P,B,D三点共线时,PB+PD=BD,
∴当 P,B,D三点共线时PC+PD取得最小值.
在Rt△BHD中,DH=2,BH=3,
∴PC+PD的最小值为
[解析]过点
O 作 直 线 OK, 使
过点 D 作
DK⊥OK 于点 K,交 y轴
于点Q，则点 Q为所求点.
为最小值，
则直线OK 的表达式为
∵DK⊥OK,∴设直线 DK 的表达式为 y =
将点 D 的坐标代入上式并解得：
则直线 DK 的表达式为 故点
由直线 KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角(设为α)的正切值为 则
则
而
则 的最小值为
10. 解:(1)把C(1,0),B(0,3)代入 中，得
∴抛物线的解析式为
(2)在 OE 上取一点 D,使得 连接 DE',BD,
抛物线的对称轴为直线x=-1，∴E(-1,0),OE=1.
又∵∠DOE'=∠E'OA,∴△DOE'∽△E'OA.
当B,E',D三点共线时， 最小为BD，
的最小值为

展开更多......

收起↑