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专题三 隐圆最值问题
知识与方法
一、定点与圆的距离的最值
说明：如图3-3-1①，圆外一点 P 到圆的最短距离为PA,最长距离为 PB(P,A,O,B 四点在同一条直线上).
理由如下：如图②，由三角形三边关系可知：PC+CO>PO,即 PC+CO>PA+OA,因为CO=AO,所以可知 PC>PA 始终成立,即线段PA 为圆外一点 P 到圆的最短距离.
同理，如图③，由三角形三边关系可知：PC说明：如图3-3-2①，圆内一点 P 到圆的最短距离为PA,最长距离为 PB(P,A,O,B 四点在同一条直线上)，理由同上.
二、隐圆模型
1. 定点定长型(如图3-3-3)
2. 定边对定角型(如图3-3-4)
3. 四点共圆型(如图3-3-5)
4. 米勒问题
如图 3-3-6,已知 A,B 是∠MON 的边 ON上的两个定点，P是边OM 上的动点，则当点P 在何处时,∠APB最大
对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.
米勒定理:已知 A,B 是∠MON 的边ON 上的两个定点，P是边OM 上的动点，则当且仅当三角形 ABP 的外接圆与边 OM 相切于点P 时,∠APB 最大.
证明:如图3-3-7,设 P'是边OM 上不同于点P 的任意一点,连接 P'A,P'B,P'A 与圆交于点C，连接CB，根据三角形外角的性质，可知∠ACB>∠AP'B，根据圆周角定理推论可知,∠APB=∠ACB,因此∠APB>∠AP'B,也就是当且仅当三角形ABP 的外接圆与边OM 相切于点 P 时,∠APB 最大.
典例精析
例 1 如图3-3-8,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点 F在边AC 上,并且CF=2,E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 .
答案:1.2
解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.
思考：定点是谁 定长有吗 轨迹如何
△CEF 沿直线EF 翻折时,点 F 为定点,
∵CF=PF,∴PF=2,即动点 P 到定点 F 的距离始终不变，
即点 P 在以 F 为圆心，PF 长为半径的圆上运动.
——转化为圆上一点到直线的最短距离问题.
【简析】延长 FP 交 AB 于 M,当 FP⊥AB 时,点 P 到AB 的距离最小.
∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°,
∴△AFM∽△ABC.
∵CF=2,AC=6,BC=8,
∴FM=3.2.
∵PF=CF=2,∴PM=1.2.
∴点 P 到边AB 距离的最小值是1.2.
例2 如图3-3-9,正方形ABCD的边长为6,G为CD边的中点，动点 E，F分别从 B，C同时出发，以相同速度向各自终点A，B移动，连接CE，DF 交于点 P,连接 BP,则 BP 的最小值为 .
答案：
解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.
思考：定角是谁 定长有吗 轨迹如何
点 E,F 分别沿线段 BA,CB 运动时,始终有△EBC与△FCD全等,
可利用角的关系推出∠DPC=90°，
即出现定角，∵DC 为定线，即点 P 在以G 为圆心，PG长为半径的圆上运动.
——转化为圆外一点到圆的最短距离问题.
【简析】如图3-3-10,连接BG,
∵BE=CF,∠EBC=∠DCF,BC=DC,
∴△EBC≌△FCD.
∴∠ECB=∠FDC.
∵∠ECB+∠DCP=90°,
∴∠FDC+∠DCP=90°,即∠DPC=90°.
∴点 P 在以 DC 为直径的圆上运动.
∴当 B,P,G三点共线时BP 长度最小.
由勾股定理可知
∴BP 的最小值为
例3 如图3-3-11,在边长为6的等边三角形 ABC中,E,F分别是边 AC，BC上的动点,且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP 的最小值为 .
答案：2
解题核心思路：由结论入手：求CP 的最小值，C是定点，P是动点，P的轨迹如何
由△ABE≌△CAF(SAS)可得∠APB=120°,定弦定角(AB,∠APB),即点 P 在圆上运动.
【简析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠CAB=∠ACB=60°.
在△ABE 和△CAF 中.
∴△ABE≌△CAF(SAS).∴∠ABE=∠CAF.
∴ ∠BPF = ∠PAB + ∠ABP = ∠CAP +∠BAP=60°.∴∠APB=120°.
如图 3-3-12,过点 A,点 P,点 B 作⊙O,连接CO,PO,AO,BO,∴点 P 在AB.上运动.
∵AO=OP=OB,∴∠OAP=∠OPA,∠OPB = ∠OBP,∠OAB=∠OBA.
∴∠AOB = 360°--∠OAP-∠OPA--∠OPB-∠OBP=120°.∴ ∠OAB = 30°.
∴∠CAO=90°.
∵AC=BC,OA=OB,
∴CO垂直平分AB.∴∠ACO=30°.
在△CPO中,CP≥CO--OP,∴当点 P 在CO 上时，CP 有最小值，CP 的最小值 2
进阶训练
1. 如图 3-3-13,Rt△ABC 中,∠ACB=90°, .点 P 为△ABC 内一点,且满足 .当PB 的长度最小时,△ACP 的面积是 ( )
A. 3
2. 如图 3-3-14,点 A,B 的坐标分别为(2,0),(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点 M为线段AC 的中点，连接OM，则OM 的最大值为 ( )
3. 如图3-3-15,在四边形 ABCD中,AD∥BC,AB=AC=AD=2.5,CD=3,则BD的长为
4. 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为 .
5. 如图3-3-16,在正方形 ABCD 中,AB=2,E为边 AB 上一点，F为边 BC 上一点.连接DE 和AF 交于点G,连接BG.若AE=BF,则 BG的最小值为 .
6. 如图3-3-17,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,P 是平面内一个动点,且AP=3,Q 为BP 的中点,在 P 点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 .
7. 如图 3-3-18,四边形 ABDC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥BD 于点 D.若 BD=2, ,则线段 AB 的长为 .
8. 如图3-3-19,已知正方形ABCD的边长为6,点 F 是正方形内一点，连接 CF，DF，且∠ADF=∠DCF,点 E 是AD 边上一动点,连接EB,EF,则 EB+EF 长度的最小值为
9. “隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆.
“隐圆”现身，“圆”来如此简单.
【小试牛刀】如图 3-3-20,在四边形 ABCD中,AB = AC = AD,若∠CAD = 70°, 则∠DBC= 度.
【大显身手】如图3-3-21,△ACD 是等腰直角三角形,∠CAD=90°,过点 A 的直线a 与CD 平行，点B 是直线a 上的一个动点，且∠CBE=90°.
(1)如图①,当 BE与AD 的交点 P 在边AD上时,BC,BP 的数量关系是 .
(2)如图②,当BE与AD 的交点 P 在AD 的延长线上时，上述结论是否成立 请说明理由.
(3)如图③,当BE与AD 的交点 P 在 DA 的延长线上，且BP=5 ,AD=8时,求AB 的长.
10. 如图3-3-22①,已知点 O在四边形ABCD的边AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,与 BD 交于点G,AC 分别与BD,OD 交于点E,F.
(1)求证:OC∥AD;
(2)如图②,若DE=DF,求 的值；
(3)当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 的值.
11. 如图 3-3-23①,在钝角三角形 ABC 中,∠ABC=30°,AC=4,D 为边AB 中点,E 为边 BC 中点,将△BDE 绕点 B 按逆时针方向旋转α(0≤α≤180)度.
(1)如图②,当0<α<180时,连接AD,CE.求证:△BDA∽△BEC.
(2)如图③,直线CE,AD 交于点G.在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化 如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数.
(3)将△BDE 从图①位置绕点 B 按逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程.
12. (1)如图3-3-24①,点 A,B,C在⊙O上,点D在⊙O外,比较∠A 与∠BDC 的大小,并说明理由；
(2)如图②,点 A,B,C在⊙O上,D 在⊙O内，比较∠A 与∠BDC 的大小，并说明理由；
(3)利用解答上述两题获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点 M(1,0),N(4,0),点 P 在y轴上,试求当∠MPN度数最大时点 P 的坐标.
13. 发现问题:
(1)如图3-3-25①,AB 为⊙O 的直径,请在⊙O上求作一点 P,使∠ABP=45°(不必写作法).
问题探究：
(2)如图②,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=3 ,D是AB上一点,AD=2 ,在 BC边上是否存在点 P,使∠APD=45° 若存在，求出 BP 的长度；若不存在，请说明理由.
问题解决：
(3)如图③，为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米,球门 EF=8米,且 EB=FA.P,Q 分别为BC,AD 上的点,BP=7 米,∠BPQ=135°,一位左前锋球员从点 P 处带球，沿PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处射门才能使射门角度(∠EMF)最大 求出此时 PM 的长度.
14. 如图3-3-26,O是坐标原点,过点 A(-1,0)的抛物线 与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为 D 点.
(1)求b的值;
(2)连接 BD,CD,动点 Q的坐标为(m,1).连接OQ,CQ,当∠CQO 最大时,求出点 Q的坐标.
15. 如图3-3-27,抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点 C作CD⊥y轴交抛物线于另一点 D，函数 的图象经过点 D，连接BD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大 (请直接写出结果)
答案
|进阶训练|
1. D [解析] 由. ，根据勾股定理的逆定理得∠APC=90°，则根据圆周角定理的推论可判断点 P 在以AC 为直径的圆上，如图，取AC的中点O，以点O为圆心，AC为直径画圆，连接 BO，点 P 为BO与⊙O的交点时,PB 最小, BC=3,∴∠BOC=60°.∴PC= ,AP=3.
∴△ACP 的面积为
2. B [解析] 因为点 C为坐标平面内一点,BC=1,所以点 C在以点 B 为圆心、1为半径的圆上，在x轴上取 连接A'B,当A',B,C三点共线时,A'C 最大, 所以 OM 的最大值为 因此本题选 B.
3. 4 [解析] 如图,以 A 为圆心,AD为半径作⊙A,延长 DA 交⊙A 于E,连接EB,
∵AD∥BC,∴EB=CD.
∵ED=5,∴BD=4.
[解析] 如图所示.
∵∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆O,连 接OA,OB,OC,∴当O,D,C三点共线且D 在O,C之间时,CD的值最小.∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∴△AOB 为等腰直角三角形.∴AO=BO= sin 45°·AB= .∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,∴∠OBC=45°.作OE⊥BC 于点 E,∴△OBE 为等腰直角三角形.∴OE=BE= sin 45°·OB=1.∴CE=BC-BE=3-1=2.在 Rt△OCE中,OC= 当O，D，C三点共线且D 在O,C 之间时,CD 最小,此时CD=OC- 因此本题答案为
[解析] 由正方形 ABCD 的性质和AE=BF 可以证明△ABF≌△DAE,从而可以得出∠AGD=90°,由于 90°的圆周角所对的弦是直径,所以点G在以AD 为直径的圆上运动.如图所示，当点G运动到O，G，B三点共线的时候，BG的值最小,在 Rt△OAB中,可以求出 由于圆的半径为1，所以 BG的最小值为
[解析] 如图，取AB的中点 M，连接QM,CM.
在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵M是AB 的中点,
∵Q是PB 的中点,M是AB 的中点,
∴QM是△APB的中位线. 在△CMQ中,CM-MQ∵C,M 是定点,Q是动点,且点 Q 在以点 M 为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当C,M,Q三点共线,且点 Q在线段CM 上时,m取得最小值
当C，M，Q三点共线，且点 Q在线段CM 延长线上时，m取得最大值
综上，m的取值范围为
[解析] 如图,过C 作CE⊥CD,再截取CE=CD,连接DE,则∠CDE=∠CED=45°.
∵AD⊥BD,AC⊥BC,∴∠ADB=∠ACB=90°.
∴A,C,D,B四点在同一个圆上.
∴∠ADC=∠ABC.
∵AC=BC,∴∠CAB=∠ABC=45°.
∴∠ADC=∠ABC=45°.
180°.∴B,D,E三点在同一直线上.
∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠BCE=∠ACD.
∵BC=AC,CE=CD,∴△BCE≌△ACD.
∴BE=AD.
∵CD=4 ,∴DE=8.∴BE=10.∴AD=10.
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°.∴∠ADF+∠FDC=90°.
∵∠EDF=∠DCF,
∴∠FDC+∠FCD=90°.
∴∠DFC=90°.
∴点 F 在以 DC 为直径的半圆上移动.
记 DC的中点为O，作正方形 ABCD 关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则 B 的对应点是 B'，连接OB'交AD 于E,交半圆O于点 F,则线段 B'F 的长即为EB+EF长度的最小值.
∵正方形 ABCD 的边长为 6,
在 Rt△B'C'O中,.
9. 解:【小试牛刀】 35 [解析] ∵AB=AC=AD,
∴点 B,C,D在以A 为圆心,AB为半径的圆上.
故答案为：35.
(1)BC=BP [解析] ∵a∥ CD,
∴∠BAC=∠ACD.
∵△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°.∴∠BAC=45°.
∵∠CBP=∠CAP=90°,
∴点 A,B,C,P在以CP 为直径的圆上.
∴∠BPC=∠BAC=45°.
∴△BCP 是等腰直角三角形.∴BC=BP.
故答案为:BC=BP.
(2)成立.理由如下：
如图①,连接 PC,
同理可得:点 A,B,C,P在
以CP 为直径的圆上，
∴∠BCP=∠BAP.
∵a∥CD,
∴∠BAP=∠ADC=45°.
∴∠BCP=45°.
∴△BCP 是等腰直角三角形.
∴BC=BP.
(3)如图②,连接 PC,取 PC 的中点O,连接 OB,OA,过点 P 作 PH⊥AB于 H.
∵∠CBP=∠CAP=90°,OP=OC,
∴OB=OP=OC=OA.
∴A,C,B,P四点共圆.
∴∠BCP=∠BAP.
∵AB∥CD,∴∠BAP=∠D=45°.
∴∠PCB=∠BPC=45°.∴BC=PB=5
∵∠PAH=45°,∠PHA=90°,
在 Rt△PBH 中,
10. 解:(1)证明:∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BOD是△AOD的外角,
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD.
∵OC平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠BOC.
∴∠BOC=∠OAD.∴OC∥AD.
(2)如图①，以O为圆心，OA 为半径作圆.
∵DE=DF,∴∠DFE=∠DEF.
∵OA=OB=OC=OD=2,
∴点 A,D,C,B共圆.∴AB是⊙O的直径.
∴∠ADB=90°.∴∠DEF+∠DAE=90°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵OC∥AD,∴∠DAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
又∠DFE=∠AFO,
∴∠OAC+∠AFO=90°.
∵∠AOF=∠ADB=90°,∠DAC=∠OAC,
∴△ADE∽△AOF.
如图②，以O为圆心，OA 为半径作圆，延长BC,AD,交于点 H.
∵OA=OB=OC=OD=2,
∴点 A,D,C,B共圆.∴AB是⊙O的直径.
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵OC∥AD,∴∠DAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
在△ACB和△ACH 中,∠ACB=∠ACH,AC=AC,∠BAC=∠HAC,
∴△ACB≌△ACH.∴AB=AH=4,BC=HC.
又 CB=CH.
∵点 A,D,C,B共圆,∴∠HCD=∠HAB.
又∠H=∠H,
∴△HCD∽△HAB.∴HC=HDB,即
设BC=x,四边形ABCD的周长为y,则y=AB+
∴当x=2时,y有最大值.
当BC=x=2时(图③),AD=CD=BC,
且它们所对圆心角都为60°.
∴OD⊥AC,∠DAC=30°.
∴在Rt△ADE中, 在 Rt△ADF中,
11. [分析] (1)在题图①中，利用三角形的中位线定理推出DE∥AC,可得 在题图②中，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似即可.
(2)利用相似三角形的性质求解即可.
(3)点G的运动路径是一段弧，求出圆心角、半径，利用弧长公式计算即可.
解:(1)证明:如题图①,
∵D为边AB 中点,E为边 BC 中点,
∴DE∥AC.
在题图②中,∵∠DBE=∠ABC,
∴∠DBA=∠EBC.∴△DBA∽△EBC.
(2)∠AGC的大小不发生变化,∠AGC=30°.
理由:如图①中,设 AB交CG 于点 M.
∵△DBA∽△EBC,∴∠DAB=∠ECB.
∵∠DAB+∠AMG+∠AGC=180°,∠ECB+∠CMB+∠ABC=180°,∠AMG=∠CMB,
∴∠AGC=∠ABC=30°.
(3)如图②,设 AB的中点为 K,连接 DK,以 AC为边向左作等边三角形ACO，连接OG，OB.
以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC=30°,∠AOC=60°,
∴点G在⊙O上运动.
以 B为圆心,BD为半径作⊙B,当直线 AG与⊙B相切时,BD⊥AD,∴∠ADB=90°.
∵BK=AK,∴DK=BK=AK.
∵BD=BK,∴BD=DK=BK.
∴△BDK 是等边三角形.
∴∠DBK=60°.∴∠DAB=30°.
∴∠GOB=2∠DAB=60°.
∴BG的长
观察图形可知，点G的运动路程是BG长的2倍，为8π3.
12. 解:(1)∠A>∠BDC,理由如下:
设CD交⊙O于点E,连接BE,如图①所示:
∠BEC=∠BDC+∠DBE,
∴∠BEC>∠BDC.
∵∠A=∠BEC,∴∠A>∠BDC.
(2)∠A<∠BDC,理由如下:
延长CD交⊙O于点 F,连接 BF,如图②所示:
∵∠BDC=∠BFC+∠FBD,
∴∠BDC>∠BFC.
又∵∠A=∠BFC,
∴∠A<∠BDC.
(3)由(1)(2)可得:当点 P 是经过M,N 两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大.
①当点 P 在y 轴的正半轴上时，如图③所示：
连接O'P,O'M,O'N,过点 O'作O'H⊥MN 于 H,则四边形OPO'H 是矩形,MH=HN,
∵M(1,0),N(4,0),∴OM=1,MN=3.
∴OP=2.
∴点 P 的坐标为(0,2).
②当点 P 在y 轴的负半轴上时，如图④所示：
同理可得(
∴点 P 的坐标为(0,-2).
综上所述，当∠MPN度数最大时点 P 的坐标为(0,2)或(0,-2).
13. 解:(1)如图①所示,点 P 或P′即为所求.
(2)存在.如图②③所示:
在△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=AC=3 AD=2 ,∴∠B=∠C=45°,BD= ,BC=
AB=6.∴∠BDP+∠BPD=135°.
∵∠APD=45°,∴∠APC+∠BPD=135°.
∴∠BDP=∠APC.
设 BP=x,则
解得
或
(3)如图④,过点 E,F作圆与 PQ 相切于点 M',圆心为点 O,连接 FM',EM',此时∠FM'E 的度数最大.
理由：在⊙O上取一点 G，连接 FG 并延长交 PQ于点M,连接EG,EM,
∵∠FGE=∠FM'E,∠FGE>∠FME,
∴∠FM'E>∠FME.
∴∠FM'E 的度数最大.
作线段 EF 的中垂线l，l经过圆心O，且交 EF 于点N,交 PQ于点K,过点 K 作KH⊥BC于 H,连接OE,OM'.
设⊙O的半径为r，则(
∵∠BPQ=135°,∴∠KPH=45°.∴△PHK是等腰直角三角形.∴PH=KH.
∵AB=66,EF=8,∴BN=33,EN=4.
∴PH=KH=33.∴BH=33+7=40.
∴KN=40.
在等腰直角三角形 OKM'中，( r,∴ON=NK-OK=40- r.
在 Rt△ONE中,
解得 (舍去),
7
∴当射门角度最大时，PM 的长度为 7 )米.
14. 解:(1)把A(-1,0)代入 可得1+b-3=0,解得b=2.
(2)如图,记△OQC的外心为M,则 M 在OC 的垂直平分线MN 上(设 MN 与y 轴交于点 N).
连接 OM,CM,MQ,则 ∠OMN,MC=MO=MQ,
∴sin∠CQO的值随着OM 的增大而减小.
又∵MO=MQ,
∴当 MQ取最小值时,sin∠CQO最大,即 MQ垂直直线y=1时,∠CQO最大,此时，⊙M与直线y=1相切.
∴点 Q坐标为(2,1).
根据对称性，点(-2，1)也符合题意.
综上可知,Q点坐标为(2,1)或(-2,1).
15. 解:(1)易得C(0,3).
∵CD⊥y轴,∴D点纵坐标是3.
∵点 D在 的图象上，
点坐标为(2,3).
解得
∴抛物线的解析式为
[解析]解法一：
如图，作△PBD的外接
圆⊙N,当⊙N 与 y轴相
切时，∠BPD的度数最大.
易得 P(0,t),N(r,t),D(2,
3),B(3,0).∵PN=ND,
∴t -6t-4r+13=0.①
由①②解得 (舍去),∴t的值为
解法二：如图，作△PBD的外接圆⊙G,⊙G与y 轴相切时∠BPD最大,延长BD交 y轴于点 H.
由 B(3,0),D(2,3)可求得直线 BD 的解析式为y=-3x+9,
∴H(0,9),
易得HP =HD·HB=60,
(舍负).

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