2025年中考数学复习:几何图形变换专题一 平移问题(含解析)

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2025年中考数学复习:几何图形变换专题一 平移问题(含解析)

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几何图形变换专题一 平移问题
知识与方法
平移变换的定义:在平面内,把图形 M 上的所有点按一定方向移动一定的距离,形成图形 M'的几何变换,就是平移变换,简称平移.
平移变换的性质:①平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等(如图 2-1-1①,AB=A'B',AB∥A'B');
②平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变,即平移前后的图形全等(如图②,△ADE≌△BCE');
③平移前后图形的对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等(如图①, BB').
平移变换的要素:平移方向和平移距离.
典例精析
例 1 如图2-1-2,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD 沿射线 BD 方向平移,得到△EGF,连接EC,GC.则 EC+GC的最小值为 .
【简析】连接 ED,由平移的性质易得,四边形EGCD是平行四边形,∴EC+GC 的最小值=EC+ED 的最小值,点 E 在过点A 且平行于BD的定直线上,由将军饮马模型易得EC+GC的最小值为
进阶训练
1. 如图2-1-3,在边长为4 的正方形ABCD中,将△ABD 沿射线 BD 平移,得到△EGF,连接 EC,GC.则EC+GC的最小值为 .
2. 如图 2-1-4,将△ABC 沿着射线 BC 方向平移至△A'B'C',使点A'落在△ACB的外角平分线CD上,连接AA'.
(1)判断四边形 ACC'A'的形状,并说明理由;
(2) 在 △ABC 中,∠B = 90°, AB = 24, 求CB'的长.
答案:
典例精析
例 2 如 图 2-1-5, 在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CB,CA 边上的点,且AE=BC,BD=CE,BE 与AD 的交点为 P,则∠APE 的度数为
答案:45°
【简析】题目出现了2 组相等线段,显然必须设法将这些可用条件集中到特殊图形中去,进而利用新构造的特殊图形的特殊性质去解题.本题中的2 组相等线段还隐藏有特殊的位置关系——垂直,可猜想将一些线段进行平移后构造出等腰直角三角形进行解题,本题思路达成.
解法一:平移线段 BD.
如图2-1-6①,将线段 BD 沿射线DA 方向平移,得到线段AF,连接BF,EF.
∵由平移可知BD=AF,BD∥AF,
∴四边形ADBF 为平行四边形.
∴AD∥BF.
∴∠APE=∠EBF,∠C=∠EAF=90°.
∵BD=CE,∴AF=CE.
在△BCE 和△EAF中,
∵AF=CE,∠C=∠EAF=90°,AE=BC,
∴△BCE≌△EAF(SAS).
∴∠AEF=∠CBE,EF=BE.
∵∠CBE+∠CEB=90°,
∴∠AEF+∠CEB=90°,即∠BEF=90°.
∴△BEF 为等腰直角三角形.
∴∠EBF=45°.∴∠APE=45°.
本题基本图形有图2-1-6②③④.
解法二:平移线段CE.
如图2-1-7①,将线段CE 沿射线CB 方向平移,得到线段 BF,连接AF,EF,PF,DF.
由平移可得四边形 BCEF 为矩形,还可得△BDF 和△AEF 为等腰直角三角形,由相似之“一转成双”可知,△ADF∽△EBF,即∠DAF=∠BEF,由“8字型”可得∠APE=∠AFE=45°.本题基本图形有图2-1-7②③④.
本题还有很多平移构造法,如平移线段 AE 或平移线段 BC 等,自行尝试一下还有哪些方案可行,此处不一一赘述.
反思与总结
平移可以把分散的线段、角相对集中起来,从而使已知条件相对集中起来,让条件具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形.这样我们就可以利用平移后产生的图形性质对图形进行研究,从而使问题得到转化.
进阶训练
3. 如图2-1-8,在 Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点D,E,满足AE= ,BE 与 AD 交于点 P,则tan∠APE的值为 .
4. 如图2-1-9,在 Rt△ABC中,∠C=90°,如果在线段CB,CA上分别有点 D,E,满足BC= BE与AD 交于点 P,则tan∠APE= .
5. 已知∠ABC=90°,D 是直线 AB 上的点,AD=BC.
(1)如图2-1-10①,过点 A 作AF⊥AB,并截取AF=BD(点C,F 在直线AB 的两侧),连接 DF,CF.
①依题意补全图①;
②判断△CDF 的形状并证明.
(2)如图②,E 是直线 BC 上的一点,直线AE,CD 相交于点 P,且∠APD=45°.求证:BD=CE.
6. 已知:在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点F(点 F 不与B,C 重合),连接 AF,一条与AF垂直的直线l(垂足为点 P)沿 AF 方向,从点 A 开始向下平移,交边AB于点E.
(1)当直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 D时,如图2-1-11①所示.求证:AE=BF;
(2)当直线 l 经过AF 的中点时,与对角线BD 交于点 Q,连接 FQ,如图②所示.求∠AFQ的度数;
(3)直线l继续向下平移,当点 P 恰好落在对角线BD 上时,交边CD于点G,如图③所示.设AB=2,BF=x,DG=y,求y与x 之间的函数关系式.
第二篇 几何图形变换答案
|进阶训练|
1. 4
2. 解:(1)四边形 ACC'A'是菱形.
理由如下:由平移的性质得到:AC∥A'C',且AC=A'C',
∴四边形 ACC'A'是平行四边形.
∴AA'∥CC'.
∵点 A'落在△ACB 的外角平分线CD 上,
∴AC=AA'.
∴四边形 ACC'A'是菱形.
(2) ∵ 在 △ABC 中, ∠B = 90°, AB = 24,

∴AC=26.
又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,
由平移的性质得到:
[解析]解法一:平移线段 BD.如图①,将线段BD沿射线DA 方向平移,得到线段 AF,连接EF,BF,则四边形AFBD为平行四边形,可证得△AEF,可得△BEF为直角三角形,

解法二:平移线段 AE.如图①,将线段 AE 沿射线EB 方向平移,得到线段 BF,连接AF,DF,则四边形AEBF为平行四边形,可证得△BFD∽△CBE,相似比为 ,可得△ADF 为直角三角形,且 则
此解法基本图形如图:
(本题还有很多平移构造法,不再一一展示)
5. 解:(1)①补全图形,如图①所示.
②结论:△CDF 是等腰直角三角形.
证明:∵∠ABC=90°,AF⊥AB,
∴∠FAD=∠DBC.
在△FAD和△DBC中
∴△FAD≌△DBC.
∴FD=DC,∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠3=90°,
即∠CDF=90°.
∴△CDF 是等腰直角三角形.
(2)证明:如图②,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接 DF,CF.
由(1)②可知△CDF是等腰直角三角形,
∴∠FCD=∠APD=45°.
∴FC∥AE.
∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
∴AF=CE.∴BD=CE.
6. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=90°.
∵DE⊥AF,
∴∠APD=90°.
∴∠PAD+∠ADE=90°,∠PAD+∠BAF=90°.
∴∠BAF=∠ADE.
∴△ABF≌△DAE(ASA),
∴BF=AE.
(2)如图①,连接AQ,CQ.
∵四边形 ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABQ=∠CBQ=45°.
∵BQ=BQ,
∴△ABQ≌△CBQ(SAS).
∴QA=QC,∠BAQ=∠QCB.
∵EQ垂直平分线段AF,∴QA=QF.
∴QF=QC.
∴∠QFC=∠QCF.∴∠QFC=∠BAQ.
∵∠QFC+∠BFQ=180°,∴∠BAQ+∠BFQ=180°.
∴∠AQF+∠ABF=180°.
∵∠ABF=90°,∴∠AQF=90°.
∴∠AFQ=∠FAQ=45°.
(3)如图②,过点 E 作 ET⊥CD 于 T,则四边形BCTE是矩形.
∴ET=BC,∠BET=∠AET=90°.
∵四边形 ABCD是正方形,
∴AB=BC=ET,∠ABC=90°.
∵AF⊥EG,∴∠APE=90°.
∴∠AEP+∠BAF=90°,∠AEP+∠GET=90°.
∴∠BAF=∠GET.
∵∠ABF=∠ETG,AB=ET,
∴△ABF≌△ETG(ASA).∴BF=GT=x.
∵AD∥CB,DG∥BE,
∵GT=CG-CT,

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