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专题二 翻折问题
知识与方法
折叠问题的实质是轴对称问题，是全等变换，其性质如下：
1. 图形的全等：图中必有全等图形，对应边相等、对应角相等；
2. 点的对称性：对称点连线被对称轴(折痕所在直线)垂直平分.
典例精析
例 1 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图 2-2-1①,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1.第一步,在 AB 边上找一点D,将纸片沿CD 折叠,点 A 落在A'处,如图②;第二步，将纸片沿CA'折叠，点D 落在 D'处，如图③.当点 D'恰好落在直角三角形纸片的边上时,线段A'D'的长为 .
答案： 或：
【简析】①当点 D'恰好落在直角三角形纸片的AB 边上时,设A'C 交 AB 边于点 E,如图2-2-2①,由题意得:△ADC≌△A'DC≌△A'D'C,A'C垂直平分线段DD'，
则 易求
从而可得.
②当点 D'恰好落在直角三角形纸片的 BC 边上时，如图②，
由 题 意 , 得 △ADC≌△A'DC ≌ △A'D'C, 则 可得
综上，线段A'D'的长为 或2
例2 (沿中位线折叠)如图2-2-3,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点 A 折叠到点C 处，则折痕DE的长度为 .
答案：
【简析】由折叠的性质可知，DE 是△ABC 的中位线，
变式 1 (沿边的垂直平分线折叠)如图 2-2-4,在直角三角形 ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点 A 折叠到点 B 处，则折痕 DE的长度为 .
答案：
【简析】解法一：(相似处理)
易知△ADE∽△ABC,∴AE=DE,即 解得
解法二：(勾股定理处理)
设CD=x,则. x) . 解 得 则
解法三：(面积处理)
变式 2 (沿角平分线折叠)如图 2-2-5，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点C折叠到AB 边上的点 E 处,折痕为 BD,则 DE的长度为 .
答案： (可用变式1中三种方法)
变式3 (沿斜边中线折叠)已知，如图2-2-6，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点B 沿斜边AB 上的中线CD 折叠到点 E 处，连接AE,则AE的长度为 .
答案：
【简析】解法一：(隐圆处理)
本题出现了斜边上的中线，可知CD=AD=BD，又由折叠可知DE=BD,则可得A,E,C,B 四点共圆，转化为圆的内接四边形处理.
如图2-2-7,延长 AE,BC 交于点 G,由折叠可知:CE=BC,
则 等于BC,∴∠GAC=∠BAC. 则可由ASA 证得△GAC≌△BAC,即 GA=BA=5.设AE=x,则GE=5-x,
易知△GEC∽△GBA,则 即 即
解法二：(面积处理)
如图2-2-8,连接 BE,由折叠性质可知CD 垂直平分BE，则 2S△BCD=S△ABC,
∴BE×CD=BC×AC.∴BE= 由解法一可知∠AEB=90°,
解法三：(勾股定理处理)
如图2-2-9,过点 D 作DG⊥AE于G,连接BE交CD 于点 F,易得△DAG≌△BDF,利用等积法可求出 利用勾股定理 求出 则 AE=
解法四：(旋转处理)
如 图 2-2-10,将△AEC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转∠ECB 的度数可得△A'BC,
由解法一,知∠AEC+∠ABC=180°,
∴∠ABC+∠A'BC=180°.则 A',B,A 三点共线.
过点C作CF⊥AA',垂足为 F,
即
变式 4 如图2-2-11,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点 A 折叠到点 A′处,且EA'⊥BC,则折痕 DE 的长度为 .
答案：
变式5 如图2-2-12,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点 A 折叠到点 A'处,且A'B=1,则折痕 DE的长度为 .
答案：
变式6 如图2-2-13,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点 A 折叠到点A′处,使四边形 ADA'E 为菱形,则折痕 DE 的长度为 .
答案：
例3 (沿对角线折叠)如图2-2-14，将矩形纸片ABCD沿AC 折叠,点 B 的对应点为E,线段CE交AD于点 F,已知AB=3,BC=4,则线段AF的长为 .
答案：
【简析】矩形折叠一般都会形成等腰三角形，是解题的突破口. “角平分线+平行线→等腰三角形”(知2 推1很重要).
解法一:(勾股定理处理)设 AF=x,则 CF=x,DF=4-x,在 Rt△DFC 中,
解得
解法二：(三角函数处理)
如图2-2-15,过点 F作 FG⊥AC于点G,则 AG=
即
变式 1 (沿对角线的垂直平分线折叠)如图2-2-16,折叠矩形纸片ABCD,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,已知AB=3,BC=4,则 EF=
答案：
【简析】解法一：(勾股定理处理)
如图2-2-17,连接BD交EF 于点O,设 BF=x,则 DF=x,CF=4--x,在 Rt△DFC 中,. 解得 即 由折叠可知 则由勾股定理可得
解法二：(相似处理)
如图2-2-18,连接 BD 交 EF 于点O,过点 E 作EG⊥BC于点G,
则可得△EGF∽△BCD(矩形中的“十字”必相似),
即
解法三：(面积处理)
“角平分线+平行线→等腰三角形”(知2 推1很重要).
连接BE,BD,易得四边形BEDF 为菱形,则 BF×
即
变式2 (直角顶点折叠到某一边上)如图2-2-19，在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,沿过点 C的直线折叠，点B 落到AD 边上的点 E 处，折痕为CF,则折痕CF 的长为 .
答案：
【简析】解法一：(相似处理)
由折叠可知,CE=CB=5,则 DE=4,由“一线三直角”可得:△AEF∽△DCE,可得
由勾股定理可知
解法二：(构造等腰三角形处理)
如图 2-2-20,延长 DA,CF 交于 点 G, 易得△ECG为等腰三角形,∴EG=5.
由解法一可得DE=4,则 DG=9,由勾股定理可得：( 又∵△GAF∽△CBF,相似比为
变式 3 (直角顶点折叠到矩形外侧)如图2-2-21,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=7,将点B 折叠到E 处,折痕为 PC,PE交AD 于点F,且AF=2,则PB= .
答案：
【简析】解法一：(勾股定理)
如图2-2-22,连接CF.
∵AF=2,∴DF=5.
由勾股定理可知
由折叠可知CE=7，则由勾股定理可得EF=1.设 PB=x,则PE=x,PF=x-1,AP=5-x,
解得 即
解法二：(构造等腰三角形法，“角平分线+平行线→等腰三角形”)
如图2-2-23,延长 PE,CD 交于点G.
可知△CPG为等腰三角形,且GP=CG.
由△APF∽△DGF,得
设AP=2x,GD=5x,则 PB=5-2x,
∴PE=5-2x.
∵GC=5+5x,
∴GE=7x.由勾股定理得:( 解得 (舍去).(为什么会产生两个解呢 留个悬念读者自行解决)
变式 4 (直角顶点折叠到矩形外侧)如图2-2-24,在矩形 ABCD中,AB=8,BC=10,将点B 折叠到E 处,折痕为 PC,PE交AD 于点F,且AF=EF,则PB= .
答案：
【简析】(勾股定理+全等处理)如图2-2-25，设CE 交AD 于点G,在 Rt△CDG中,由勾股定理可得
变式 5 (二次折叠)已知,如图2-2-26①,在矩形ABCD中,AB=3,对折矩形纸片,将 BC边与AD 边重合，折痕为 MN，再将矩形纸片展开；如图②，将点 A 折叠到 MN 上，并使折痕经过点B,同时得到线段A'B,则折痕 BE= .
答案：2
反思与总结
由上述题型可知，我们应抓住折叠的一个本质即折叠是一种全等变换，会藏有相等的角和边，这些条件恰恰是我们解题的关键.我们还要树立方程思想，运用已知关系构造等式求解.一般来说，折叠问题求长度均可通过勾股定理、相似、三角函数、面积法求解，我们解题时要学会灵活运用.
折叠问题中的“一二一”：
“一个本质+二项归类+一种思想”.
一个本质——折叠问题的本质是全等变换；
二项归类——折叠问题通常用于求角度和长度；
一种思想——方程思想.
进阶训练
1. 如图 2-2-27,将 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使点 A 落在点 E 处,交 BC 于点 F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E的度数为( )
A. 102° B. 112°
C. 122° D. 92°
2. 如图2-2-28,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 与点A 重合,折痕为 EF,EF 与AC 交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为 ( )
A. C. 2 D. 4
3. 如图 2-2-29,在△ABC 中,D 是AC 边上的中点,连接 BD,把△BDC 沿 BD 翻折,得到△BDC',DC'与AB 交于点E,连接AC'.若 ,则点 D 到 BC'的距离为 ( )
C.
4. 如图2-2-30,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将边 BC沿CN 折叠,使点 B落在AB 上的点 B'处,再将边 AC 沿 CM 折叠，使点 A 落在CB'的延长线上的点A'处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 N，M，则线段A'M 的长为 ( )
A. B. C. D.
5. 如图2-2-31,在 Rt△ABC 纸片中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 D,E分别在AB,AC上,连接 DE,将△ADE 沿 DE 翻折,使点 A的对应点 F 落在 BC 的延长线上.若FD 平分∠EFB,则AD的长为 ( )
A. B. C. D.
6. 如图2-2-32,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将△ABE 沿AE 折叠,点 B 落在点 B'处,过点B'作AD 的垂线,分别交AD,BC于M,N两点.当B'为线段MN 的三等分点时，BE 的长为 ( )
A.
C. 或 或
如图2-2-33,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在EF 上的点 A'处，得到折痕BM,BM与 EF 相交于点 N.若直线 BA′交直线CD 于点O,BC=5,EN=1,则OD 的
长为 ( )
8. 如图 2-2-34,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 P 在 BC 上,将△CDP 沿 DP 折叠,点C落在点E 处,PE,DE 分别交AB 于点O,F,且OP=OF,则cos∠ADF 的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图2-2-35,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=2 ,AC=6,点 E 在线段 AC 上,且AE=1,D是线段BC 上的一点,连接DE,将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形FGDE.当点 G 恰好落在线段 AC 上时,AF= .
10. 如图2-2-36 是一张矩形纸片 ABCD,M是对角线 AC 的中点,点 E 在 BC 边上,把△DCE 沿直线 DE 折叠,使点 C 落在对角线AC上的点 F处.若 MF=AB,则∠DAF= 度.
11. 如图 2-2-37①,在△ABC 中, ∠B=45°,∠C=60°.
(1)求 BC边上的高线长.
(2)E 为线段AB 的中点,点 F 在边AC 上,连接 EF, 沿 EF 将 △AEF 折 叠 得 到△PEF.
①如图2-2-37②,当点 P 落在 BC 上时,求∠AEP 的度数.
②如图2-2-37③,连接AP,当PF⊥AC时,求 AP 的长.
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12. 如图2-2-38,直线 与x轴交于点B,与 y轴交于点A,点 P 为线段AB 的中点，点Q 是线段OA 上一动点(不与点 O，A 重合).
(1)请直接写出点 A，点B，点P 的坐标.
(2)连接 PQ,在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点 O的对应点为点 E.若∠OQE=90°,求线段AQ的长.
(3)在(2)的条件下，设抛物线 的顶点为点 C.
①若点 C 在△PQE 内部(不包括边),求 a的取值范围.
②在平面直角坐标系内是否存在点 C，使|CQ-CE|最大 若存在,请直接写出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.
13. 如图 2-2-39①,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD 是斜边AB 上的中线,点E 为射线 BC 上一点,将△BDE 沿 DE 折叠，点B 的对应点为点 F.
(1)若AB=a,直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；
(2)若DF⊥BC,垂足为G,点 F 与点D 在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形 ADFC的形状，并说明理由；
(3)若 DF⊥AB,直接写出∠BDE的度数.
14. 在矩形ABCD中, 点E,F 分别是边AD,BC 上的动点,且 AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF 折叠,点C 落在点G处,点 D 落在点 H 处.
(1)如图2-2-40①,当 EH 与线段 BC 交于点 P 时,求证:PE=PF;
(2)如图②，当点 P 在线段CB 的延长线上时,GH 交 AB 于点 M,求证:点 M 在线段EF 的垂直平分线上；
(3)当AB=5时,在点 E 由点A 移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长.
15. 如图 2-2-41,已知正方形 ABCD,点 E 是BC 边上一点,将△ABE 沿直线AE 折叠,点 B 落在点 F 处,连接 BF 并延长,与∠DAF的平分线相交于点 H,与 AE,CD分别相交于点G，M，连接HC.
(1)求证:AG=GH.
(2)若AB=3,BE=1,求点 D 到直线 BH的距离.
(3)当点 E 在 BC 边上(端点除外)运动时,∠BHC的大小是否变化 为什么
答案
|进阶训练|
1. B [解析] ∵□ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
由折叠可得∠ADB=∠BDF,
∴∠DBC=∠BDF.
又∠DFC=40°,
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°.
又∠ABD=48°,
∴△ABD中,
∴∠E=∠A=112°.
故选 B.
2. C [解析] 由折叠可得∠AFO=∠CFO,AF=CF,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,∠B=90°.∴∠CFO=∠AEO.
∴∠AFO=∠AEO.∴AE=AF=5=CF.
∴由对折得： 故选 C.
3. B [解析] 如图,连接CC',则CC'⊥BD,垂足记为F.
∵D是AC边上的中点,∴DA=DC.
由折叠可知.
则 DA=DC=DC',∴∠AC'C=90°.
∴CC'=2 ,DF=1,BF=2,BC= .点 D到 BC'的距离等于点 D 到 BC 的距离，考虑用等积法.过点 D 作DH⊥BC交BC 于 H,
则 BD·CF=BC·DH,代入解得: 故选 B.
4. B [解析] ∵AC=8,BC=6,∠ACB=90°,∴AB=10.
∵△B'CN,△A'CM 分别由△BCN,△ACM 翻折得到，
∴△B'CN≌△BCN,△A'CM≌△ACM.
∴∠A'CM=∠ACM,∠B'CN =∠BCN,∠B 'NC=∠BNC=90°,B'C=BC=6,A'C=AC=8.
∴A'B'=8-6=2,∠MCN=45°.
∴∠NMC=45°.
∴∠AMC=∠A'MC=135°.
∴∠A'MB=∠CNM.∴A'M∥CN.
∴△CNB'∽△A'MB'.
设CN=x,MB'=a,则MN=x,NB'=x-a,
解得
在 Rt△BCN 中,
解得 (负值已舍).
5. D [解析] 如图,过点 D作DH⊥BC于 H,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,AC=4,BC=3,由 勾 股 定 理, 得 AB =
∵将△ADE沿DE 翻折得△FDE,
∴AD=DF,∠A=∠DFE.
∵FD平分∠EFB,
∴∠DFE=∠DFH.∴∠DFH=∠A.
设 DH=3x,在 Rt△DHF中,
∴DF=5x.∴BD=5-5x.
6. D [解 析]·①当 MB'= 时,如图,Rt△AMB'中,
∵AD∥BC,AB⊥BC,MN⊥AD,
∴四边形 ABNM是矩形.
设 BE=x,则
Rt△B'EN 中, B'E ,
解得
∴BE的长为
②当 时，如图.
设BE=y,同①可得
∴BE的长为
综上所述，BE的长为 或 故选:D.
7. B [解析] ∵EN=1,∴由三角形中位线定理,得AM=2.
由折叠的性质，可得.
∵AD∥EF,
∴∠AMB=∠A'NM.
∵∠AMB=∠A'MB,
过M点作 MG⊥EF于G,
∴NG=EN=1.∴A'G=1.
由勾股定理得
故选 B.
8. C [解析] 由题意得:Rt△DCP≌Rt△DEP,∴DC=DE=4,CP=EP.
在△OEF 和△OBP 中,∠EOF=∠BOP,∠E=∠B,OF=OP,
∴△OEF≌△OBP(AAS).∴OE=OB,EF=BP.
设EF=x,则 BP=x,DF=4-x,
又BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,
∴AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x.
在 Rt△DAF 中,
即
解得
∴在 Rt△DAF中,
[解析]如图,过点 F作FH⊥AC于H,∵将四边形 ABDE 沿直线DE 翻折,得到四边形 FGDE, EF=1,∠BAC=∠EFG=90°.
10. 18 [解析] 连接 DM,如图:
∵四边形 ABCD是矩形,∴∠ADC=90°.
∵M是AC 的中点,∴DM=AM=CM.
∴∠FAD=∠MDA,∠MDC=∠MCD.
∵DC,DF关于DE 对称,∴DF=DC.
∴∠DFC=∠DCF.
∵MF=AB,AB=CD,DF=DC,∴MF=FD.
∴∠FMD=∠FDM.
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM,
∴∠DFC=2∠FMD.
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM,
∴∠DMC=2∠FAD.
设∠FAD=x°,则.
∴∠MCD=∠MDC=4x°.
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°,
∴2x+4x+4x=180,∴x=18.
11. 解:(1)如图,过点 A 作AD⊥BC于D.
在 Rt△ABD中,
∴BC边上的高线长为4.
(2)①由折叠知△AEF≌△PEF,∴AE=EP.
∵E为线段AB 的中点,∴AE=EB.
∴BE=EP.∴∠EPB=∠B=45°.
∴∠PEB=90°.∴∠AEP=180°-90°=90°.
②由(1)可知:
∵PF⊥AC,
∴∠PFA=90°.
由折叠知△AEF≌△PEF,
∴∠AFE=∠PFE=45°.
∴∠AFE=∠B.
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB.
即
在 Rt△AFP中,AF=FP,
12. 解:(1)A(0,6),B(4,0),P(2,3).
(2)如图,过点 P作PF⊥OA 于 F.
∴QF=PF.
∵点 P(2,3),∴QF=PF=2,OF=3.∴OQ=5.
∵点A(0,6),∴AO=6.
∴AQ=6-5=1,即AQ的长为1.
a+1,
∴其顶点 C的坐标为(a,a+1).
∴点C是直线y=x+1(x≠0)上一点.
∵∠OQE=90°,OQ=5,
∴当y=5时,x=4.
又∵点 P(2,3)在直线 y=x+1上,
∴当点 C在△PQE 内部(不含边)时，a的取值范围是2②存在点C使|CQ-CE|最大,其坐标为(
13. 解:
(2)四边形 ADFC是菱形.理由如下：
由折叠的性质,得 DF=DB,
∵∠A=60°,∴∠B=30°.
∵DF⊥BC,∴AC∥DF.
∴四边形 ADFC是平行四边形.
∵AD=DB=DF,
∴平行四边形 ADFC是菱形.
(3)∠BDE=45°或∠BDE=135°.
[解析] 分两种情况：点E 在线段 BC 上，点E 在BC 的延长线上，如图①，图②.
14. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC.∴∠DEF=∠EFB.
由翻折变换可知,∠DEF=∠PEF,
∴∠PEF=∠PFE.∴PE=PF.
(2)证明:如图,连接 AC 交 EF 于O,连接 PM,PO.
∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO.
∵AE=CF,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE=OF.
∵PE=PF,∴PO平分∠EPF.
∵AD=BC,AE=FC,∴ED=BF.
由折叠的性质可知ED=EH,∴BF=EH.
∴PE-EH=PF-BF.∴PB=PH.
∵∠PHM=∠PBM=90°,PM=PM,
∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL).
∴PM平分∠EPF.∴P,M,O共线.
∵PO⊥EF,OE=OF,
∴点 M 在线段EF 的垂直平分线上.
(3)如图,连接AC,BD交于点O,由题意,点 E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中BC.
在 Rt△BCD中,
∴∠CBD=30°.∴∠ABO=∠OAB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OD=OB=OC=AB=5,∠BOC=120°.
∴点G运动的路线的长
15. 解:(1)证明:∵将△ABE沿直线AE 折叠,点 B 落在点 F 处,
B,F关于AE 对称,
∴AG⊥BF.∴∠AGF=90°.
∵AH平分∠
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAD=90°.
∵∠HGA=90°,∴∠GHA=45°=∠EAH.
∴GA=GH.
(2)如图,连接DH,由题意可知AF=AD,∠FAH=∠DAH,AH=AH,
∴△AFH≌△ADH.
∴ DH = FH, ∠AHD =∠AHF=45°.
∴∠DHF=90°.
∴DH 的长为点 D 到直线BH 的距离.
在 Rt△ABE中,
∵∠BAE=∠GAB,∠AGB=∠ABE=90°,
∴△AEB∽△ABG.
由(1)知GF=BG,AG=GH,
即点 D到直线BH 的距离为
(3)不变.
理由如下：
解法一:连接BD,DF,如图,
则△DHF 和△BCD 为等腰直角三角形.
在 Rt△HDF 中,
在 Rt△BCD中,
∵∠BDF+∠CDF=45°,∠FDC+∠CDH=45°,
∴∠BDF=∠CDH,∴△BDF∽△CDH.
∴∠CHD=∠BFD.
∵∠DFH=45°,∴∠BFD=135°=∠CHD.
∵∠BHD=90°,
∴∠BHC=∠CHD-∠BHD=135°-90°=45°.
∴∠BHC的大小不变.
解法二：
∵∠BCD=90°,∠BHD=90°,
∴点 B,C,H,D四点共圆.
∴∠BHC=∠BDC=45°.
∴∠BHC的大小不变.

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