资源简介

专题三 旋转问题
知识与方法
旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
旋转三要素
旋转中心(绕哪转)——定点还是动点
旋转方向(向哪转)——顺时针还是逆时针
旋转角度(转多少)——转了多少度
旋转的性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.举例：如图2-3-1，由旋转得与对应点有关的结论：
与对应线段有关的结论： 对应线段AB和A'B'所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补.
旋转中心可以看作对应点连线的垂直平分线的交点.当出现有一对相邻等线段，可构造旋转全等；相邻线段如不相等，也可构造旋转相似.
一、旋转全等变换
1. 共顶点旋转模型
有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等.
等边三角形共顶点旋转模型
反思与总结
共顶点旋转(即“手拉手”模型)可用于任意共顶点的等腰三角形旋转问题，均能通过旋转构造全等三角形.旋转过程中第三边所成的角是一个经常考查的内容.(由“8字型”可以证明角度问题)
模型的变形主要用于两个正多边形或等腰三角形夹角的变化，也可是等腰直角三角形与正方形的混用.(其他变形不再展示)
2. 半角模型
等腰直角三角形半角模型
正方形半角模型
反思与总结
旋转半角的特征是“相邻等线段所成角含一个二分之一角”，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，形成旋转全等.
3. 自旋转模型(Y型模型)
有一对相邻等线段，需要构造旋转全等.
构造方法：遇 60°旋60°，造等边三角形；遇 90°旋 90°，造等腰直角三角形；遇中点旋 180°，造中心对称；遇等腰旋含腰的三角形，造旋转全等.60°自旋转模型
中点旋转模型
反思与总结
“旋转出等腰，等腰可旋转”，当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共顶点旋转到另一位置，将分散的条件集中起来，从而解决问题.
4. 对角互补模型
等腰直角三角形对角互补模型
5. 费马旋转模型
费马旋转60°模型
二、旋转相似变换
1. 共顶点旋转模型
“一转成双”旋转模型
反思与总结
任意两个相似三角形旋转形成一定的角度，构成新的旋转相似.第三边所成夹角符合旋转“8 字型”的规律.
2. 对角互补模型
对角互补旋转模型
典例精析
例 1 如图2-3-17,在等腰直角三角形 ABC中,∠C=90°,AC=4,D,E分别是边AC,AB 的中点，连接 DE.将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转.则：(1)在旋转过程中，BE 的最大值为 ;
(2)当旋转至 B，D，E三点共线时，线段CD 的长为 .
答案:(1)6 或
【简析】(1)由相似三角形之“一转成双”知：△ADE∽△ACB,△ACD∽△ABE.
要求 BE 最大，则求 CD 最大.即可转化为点到圆的距离问题.
则可知CD最大为6，即 BE的最大值为6
(2)因为 B,D,E 三点共线,∠ADE=90°,所以∠ADB=90°.所以 BD 是⊙A 的切线.即本题分两种情况讨论.求CD 的长转化为求BE 的长.
不难得出 BE 的长分别为 和 则CD分别为 和
进阶训练
1. 如图2-3-20①②,在等边三角形 ABC 中,点D,E 分别在边AB,AC 上,AD=AE,连接BE,CD,M,N,P 分别是 BE,CD,BC 的中点.把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,则△PMN 的周长的最大值为 .
2. 如 图 2-3-21, 正方形ABCD 和正方形CEFG边长分别为 a 和b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给出下 列 结论：①BE=DG;②BE⊥DG;( 2b ，其中正确的结论是 (填序号).
典例精析
例2 如图2-3-22①,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,点 D,E分别在BC,AB上,DE⊥AB,连接AD,F是AD 的中点.
(1)∠CFE 的度数为 ;
(2)如图②，把△BDE 绕点 B 在平面内自由旋转得△BD'E',若 F 是AD'的中点,BD=2,BC=3，请直接写出△CFE'周长的最大值.
答案:(1)60° (2)△CFE'周长的最大值为 12.
【简析】(1)60°
(2)由上问可猜想△CFE'为等边三角形，如猜想成 立，只需 求 出 其 中 一 边 的 最 大 值 即 可 知△CFE'的周长最大值.
取 AB中点 G,连接 CG,FG,易得:CG=3=CB,FG=1=BE',△GCB 为等边三角形,即∠GCB=60°,易证△CFG≌△CE'B,即 CF=CE',由三角形全等 与 角 度 转 化 不 难 得 出. 即△CFE'为等边三角形.
即本题求△CFE'周长最大值转化为求CE'的最大值.再次转化为点到圆的距离问题.
易得，CE'的最大值为4，则△CFE'的周长最大值为12.
进阶训练
3. (1)如图2-3-25①,P 是等边三角形ABC 内一点,已知 PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.请补充下列解答过程.
分析：要直接求∠APB 的度数显然很困难，注意到条件中的三条线段长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三条线段集中到一个三角形内.
解:如图②,作∠PAD=60°,使AD=AP,连接 PD,CD,则△PAD是等边三角形.
∴ =AD=AP =3,∠ADP =∠PAD=60°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB,∠BAC=60°.
∴∠BAP= .
∴△ABP≌△ACD.
∴BP=CD=4, =∠ADC.
∵在△PCD 中,PD=3,PC=5,CD=4,
∴∠PDC= °.
中小学教育资源及组卷应用平台
∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC= °.
(2)如图③,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,P 是△ABC 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数.
(3)拓展应用:如图④,△ABC 中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P 是△ABC内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为 .
4. 如图2-3-26,在等边三角形 ABC中,P 为三角形外一点,且 PA=4,PB=5,PC=3,则∠APC= °.
5. 如图 2-3-27,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,点 P 为三角形内一点,且 PC= ,PB=1,PA= ,则∠BPC= °.
6. 如 图 2-3-28, 在 直 角 三 角 形 ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,P 为三角形内一点，且. 则∠BPC= °.
7. 如图 2-3-29,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,P 为三角形外一点,且 PC= ,则∠BPC= .
典例精析
例 3 如 图 2-3-30, 已 知△ABC中,AB=1,BC=2,在AC右侧构造等边三角形 ACD，连接 BD，则线段 BD 的最大值为 .
答案：3
【简析】解法一：“主从联动”
分析：如图2-3-31，将线段 BC 看成固定线段，则线段 BA 可理解为点A 在以点B 为圆心，半径为1的圆上运动.
如图2-3-32①,点 D 可看成点 A 绕定点 C 顺时针旋转60°所得，∵点 A 的轨迹是圆，∴点 D 的轨迹也是圆(可看成圆B 绕点 C 顺时针旋转60°所得).
那么点 D 所在圆的圆心和半径可以确定吗
易知，点B 绕点 C 顺时针旋转 60°即为 D 所在圆的圆心,因为 A 绕 C 旋转到 D 过程中,CA=CD，圆B'的半径与圆 B 相同，也为 1.则要求最大值，立即转化为求点 B 到圆B'的最大值，根据“点圆最值”可知，连接 BB'并延长交圆 B'于点D',则 BD'最长,如图2-3-32②.
可知 BD 的最大值为3.
解法二：“旋转变换”(阴影三角形绕点 C 顺时针旋转60°)
如图2-3-33,将△BAC 绕点C 顺时针旋转60°,
可得△B'DC,则 为等边三角形，则
在△BB'D 中,
可知1当 B,B',D三点共线时,BD 有最大值,为3.
同理也可绕点 C逆时针旋转60°去求.
解法三：“旋转变换”
如图2-3-34,将△BAD 绕点 A 顺时针旋转 60°,可得△B'AC,则 BD=B'C,△BAB'为等边三角形，则.
在△BB'C 中,当 B,B',C三点共线时,B'C 有最大值，为3.
∴BD 的最大值为3.
进阶训练
8. 如图 2-3-35,已知△ABC 中,AB=1,BC= ，在AC右侧构造等腰直角三角形ACD，其中∠ACD=90°,AC=CD,连接 BD,则线段 BD 的最大值为 .
9. 如图2-3-36,已知△ABC 中,AB=1,BC= ，在 AC 右侧构造含 30°角的直角三角形ACD,其中∠ACD=90°,∠ADC=30°,连接BD,则线段 BD 的最大值为 .
10. 如图 2-3-37,已知△ABC 中, ，在AC右侧构造如图所示的等腰直角三角形ACD,连接 BD,则线段 BD 的最大值为 .
11. 如图2-3-38,已知△ABC中,AB=1,BC= ，在AC右侧构造如图所示的正方形 ACDE，连接BD，则线段 BD的最大值为 .
12. 如图2-3-39,已知等边三角形ABC,点D在△ABC外,且 DA=3,DB=5,DC=4,则∠ADC 的度数为 .
13. 如图2-3-40,正方形 ABCD 的边长为 4,E为BC 上一点,且BE=1,F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边三角形 EFG,连接CG,则 CG 的最小值为
综合训练
1. 如 图 2-3-41, 在 正 方 形ABCD中,点 E,F 分别在边BC,CD 上,且∠EAF=45°,AE 交 BD 于 M 点,AF 交BD 于 N 点.
(1)若正方形的边长为2，则△CEF 的周长是
(2)下列结论:( ;②若 F是CD 的中点,则 tan∠AEF =2;③连接MF，则△AMF 为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是 (把你认为所有正确的都填上).
2. 如图 2-3-42,在正方形 ABCD 中,E 是 AB上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE.
(1)求证:CE=CF.
(2)图①中,若G 在AD 上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗 为什么
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图②，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=6,E是AB 上一点,且∠DCE=45°,BE=2,求 DE 的长.
3. 定义:如图2-3-43①,点 M,N 把线段AB 分割成AM,MN 和BN,若以AM,MN,BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的勾股分割点.
(1)如图②,已知点 C,D 是线段AB 的勾股分割点,若AC=3,DB=4,求CD的长.
(2)如图③,正方形ABCD中,点 M 在BC 上(不与B,C重合),点 N 在CD 上(不与C,D重合),且∠MAN=45°,AM,AN 分别交 BD于E,F.
①求证：E，F 是线段BD 的勾股分割点；②求 的值.
4. 如图 2-3-44①,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 为△ABC 内一点,将线段AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE,连接CE,BD的延长线与CE 交于点F.
(1)求证:BD=CE,BD⊥CE;
(2)如图②,连接 AF,DC,已知∠BDC=135°，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由.
5. 如图2-3-45,在等边三角形 ABC中,点 E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以 DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①,若点 D 在边BC 上,求证:CE+CF=CD.
【类比探究】
如图②，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段CE，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
6. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.
(1)尝试解决：如图2-3-46①，在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,M 是BC 上的一点,BM= 1 cm,CM=2 cm,将△ABM绕点 A 旋转后得到△ACN,连接MN,则AM= cm.
(2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中,AB=AD=a,CB=CD,AB⊥BC于点B,AD⊥CD 于点D,P,Q分别是AB,AD上的点,且∠PCB+∠QCD=∠PCQ,求△APQ的周长(结果用a 表示).
(3)拓展应用:如图③,已知四边形 ABCD,AD=CD,∠ADC=60°,∠ABC=75°,AB=2 ,BC=2,求四边形ABCD的面积.
7. 已知等边三角形ABC，过A 点作AC 的垂线l，点P 为l 上一动点(不与点 A 重合)，连接CP,把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到CQ,连接QB.
(1)如图2-3-47①,直接写出线段 AP 与BQ的数量关系；
(2)如图②,当点 P,B 在 AC 同侧且AP =AC时，求证：直线 PB 垂直平分线段CQ；
(3)如图③，若等边三角形 ABC 的边长为4，点 P,B分别位于直线AC 异侧,且△APQ的面积等于 求线段AP 的长度.
8. (1)【操作发现】
如图 2-3-48①,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ADE,连接 BD,则∠ABD= 度.
(2)【类比探究】
如图②，在等边三角形 ABC 内任取一点 P，连接PA,PB,PC,求证:以 PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形.
(3)【解决问题】
如图③，在边长为 的等边三角形 ABC 内有一点 P,∠APC = 90°,∠BPC = 120°,求△APC的面积.
(4)【拓展应用】
如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量 AC=4,BC=5,∠ACB = 30°, P 为△ABC内的一个动点,连接 PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
9. 如图 2-3-49①,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是 BC 边上一动点,连接AD,把 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°,得到AE,连接 CE,DE. F 是 DE 的中点,连接CF.
(1)求证:
(2)如图②所示，在点 D 运动的过程中，当BD=2CD 时,分别延长CF,BA,相交于点G，猜想 AG与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论.
(3)在点 D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点 P,使 PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP 的长为m，请直接用含 m的式子表示CE 的长.
答案
|进阶训练|
1. 6 [解析] 如图④,由图①易得 BD = CE,∠BFC=60°，则可通过三角形中位线定理(图②③)得△PMN为等边三角形.
故本题求△PMN周长的最大值，转化为求任意一边的最值问题，求PM 最大，则转化为求 CE 最大，再次转化为点到圆的距离问题.
即 CE最大为4(如图⑦),则 PM最大为2,∴△PMN周长的最大值为6.
2. ①②③ [解析] 设 BE,DG交于点O,
∵四边形ABCD和四边形EFGC 都为正方形，
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°.
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE= 90°+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE 和△DCG中,
∴△BCE≌△DCG(SAS).
∴BE=DG.
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠BOD=90°.
∴BE⊥DG.故①②正确.
连接BD,EG,如图所示,
故③正确.
故答案为:①②③.
3. 解:(1)PD ∠CAD ∠APB 90 150
(2)∵∠ABC=90°,BC=AB,
∴把△PBC绕 B点逆时针旋转 90°得到△DBA,连接DP,如图①.
∴AD=PC=3,BD=BP=2.
∵∠PBD=90°,
在△APD中,AD=3,PD=2 ,PA=1,
∴△APD为直角三角形.
∴∠APD=90°.
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°.
[解析] 如图②,将△ABP 绕点 B 逆时针旋转60°,得到△DBE,连接EP,CD,
∴△ABP≌△DBE.
∴∠ABP=∠DBE,BD=AB=4,∠PBE=60°,BE=BP,AP=DE.
∴△BPE是等边三角形.∴EP=BP.
∴AP+BP+PC=PC+EP+DE.
∴当点 D,点 E,点 P,点 C共线时,PA+PB+PC有最小值CD.
∴∠DBE+∠PBC=30°.
∴∠DBC=90°.
故答案为
4. 30 [解析] 如图.
5. 135 [解析] 如图.
6. 120 [解析] 解法一:
解法二:如图,作△ACP'∽△ABP.证△APP'∽△ABC.再证. .由∠APB+∠BPC+ 360°,可得
7. 75° [解析] 如图,将△CAP 绕点 C 逆时针旋转90°得到△CBD,过B点作BH⊥DP 于 H 点,由旋转的性质可得，DC=PC=2 ,DB=PA= 设 PH=x,
解得x=1.
∴∠BPH=60°.∴∠DPB=120°.
∵∠DPC=45°,∴∠BPC=120°-45°=75°.
8. 3 9. 3
10. 3 [解析] 如图.
11. 3
12. 30° [解析]如图.
13. [解析] 由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F 在线段AB 上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动.
将△EFB绕点 E 顺时针旋转 60°,使 EF 与 EG 重合,得到△EGH,则△EFB≌△EGH,
连接 BH，从而可知△EBH 为等边三角形，点 G在垂直于 HE 的直线 HN 上.
作CM⊥HN于点 M,则 CM的长即为CG的最小值.作 EP⊥CM于点 P,可知四边形 HEPM为矩形,则
故答案为
|综合训练|
1. (1)4 (2)①③ [解析](1)将 AF绕点A 顺时针旋转90°，F点落在G 点处，连接GB，如图所示：
由旋转的性质知∠FAG=90°,AF=AG.
∵∠EAF=45°,
∴∠EAG=45°.
∵四边形 ABCD为正方形，
∴AD=AB,∠BAD=90°.
∴∠1=∠2.
在△DAF 和△GAB中
∴△FAD≌△GAB(SAS).
∴DF=BG,∠ABG=∠ADF=90°.
∴G,B,E三点共线.
在△EAF 和△EAG中
∴△EAF≌△EAG.∴EF=GE.
∴C△CEF=EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=4.
(2)对于①:将 AM绕点A 逆时针旋转90°,M 点落在 H 点处,连接AH,HD,HN,如图所示,
∵∠1+∠2=45°,∠1+∠3=∠EAH-∠EAF=45°,
∴∠2=∠3.
在△BAM 和△DAH中
∴△BAM≌△DAH(SAS).∴∠ADH=∠ABM=45°,BM=DH.∴∠NDH=∠ADH+∠ADN=
在 Rt△HND 中,由勾股定理得:
在△MAN 和△HAN中,
∴△MAN≌△HAN.
∴MN=NH.
故①正确；
对于②:将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90°,F 点落在G 点处，连接GB，如图所示.由
(1)中可知:EF=BE+DF,
设正方形边长为2，当F为CD 中点时，
GB=DF=1,CF=1,设 BE=
x,则EF=x+1,CE=2-x,
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
解得 即
故②错误；对于③，如图所示：
∵∠EAF=∠BDC=45°,
∴A,M,F,D四点共圆.
∴∠AFM=∠ADM=45°.
∴△AMF 为等腰直角三角形，故③正确.
故答案为：①③.
2. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠B=∠CDA=∠CDF=90°.
∵DF=BE,∴△CEB≌△CFD.∴CE=CF.
(2)成立.理由如下：
∵∠GCE=45°,∴∠BCE+∠GCD=45°.
∵△CEB≌△CFD,∴∠BCE=∠DCF.
∴∠FCG=45°.
∵GC=GC,CE=CF,∴△CEG≌△CFG(SAS).
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)延长AD到F,使 DF=DE,过C作CG⊥DF于G,
同理得:DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD.
又∵
∴ +AD =8-AD.∴AD=3.∴DE=5.
3. 解:(1)当CD边最长时,( 当 BD边最长时， ∴CD的长为5 或
(2)①证明:如图①,将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90°,得 到 △ABF', 连 接 EF', 易 证 △AEF ≌△AEF',
易得△BEF'是直角三角形，在 Rt△BEF'中,
∴E，F 是线段BD 的勾股分割点.
②如图②,连接EN,易证△AEF∽△DNF,再证△ADF∽△ENF,得∠ENF=∠ADF=45°,
∴△AEN 为等腰直角三角形.
4. 解:(1)证明:如图①,设AC与BF 的交点为O,
∵线段 AD绕点A 逆时针旋转90°得到 AE,
∴AD=AE,∠DAE=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
又∠AOB=∠COF,
∴∠BFC=∠BAC=90°.
∴BD⊥CE.
(2)AF∥CD,理由如下:
如图②,过点 A作AG⊥BF于G,AH⊥CE于H,
由(1)知△ABD≌△ACE,
∴AG=AH.
又AG⊥BF,AH⊥CE,
∴FA平分∠BFE.
又∠BFE=90°,∴∠AFD=45°.
∵∠BDC=135°,∴∠FDC=45°.
∴∠AFD=∠FDC.
∴AF∥CD.
5. 解:【问题解决】证明:在 CD上截取CH=CE,连接HE,如图①所示:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH=60°.
∴△CEH是等边三角形.
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=FE,∠DEF=60°.
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°.
∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH 和△FEC中
∴△DEH≌△FEC(SAS).
∴DH=CF.
∴CD=CH+DH=CE+CF.
∴CE+CF=CD.
【类比探究】线段CE，CF与CD 之间的数量关系是FC=CD+CE.理由如下:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°.
过点 D作 DG∥AB,交 AC的延长线于点 G,如图②所示：
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°.
∴△GCD为等边三角形.
∴DG=CD=CG.
∵△EDF为等边三角形，
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°.
∴∠EDG=∠FDC.
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD(SAS).∴EG=FC.
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
6. 解:
(2)解法一:
把△CBP 绕点C 顺时针旋转 ∠BCD 的 度 数 得 到△CDP',使 CB 与 CD 重合，
则△CDP'≌△CBP,∴∠PCB=∠P'CD,∠CBP=∠CDP',CP=CP'.
∵∠PCB+∠DCQ=∠PCQ,
∴∠P'CD+∠DCQ=∠PCQ,即
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∴∠ABC=∠ADC=90°.
∴∠CDP'=90°.∴∠ADC+∠CDP'=180°.
∴Q,D,P'三点共线.
∵CQ=CQ,∴△CQP'≌△CQP.
∴QP=QP'.
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=
∵AB=AD=a,∴△APQ的周长=2a.
解法二：
延长AD到点 P'，使得 连接CP',
∵AB⊥BC于点 B,AD⊥CD 于点 D,
又CB=CD,
∴△CDP'≌△CBP.
∴∠PCB=∠P'CD,CP=CP'.
∵∠PCB+∠DCQ=∠PCQ,
∴∠P'CD+∠DCQ=∠PCQ,即
又CQ=CQ,∴△CQP'≌△CQP.∴QP=QP'.
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=
∵AB=AD=a,
∴△APQ的周长=2a.
(3)连接BD,
∵AD=CD,
∴把△DCB绕点 D 旋转到△DAB',使得 CD与 AD重合.
∴S△DAB' = S△DCB, ∠BDC = ∠ADB', ∠C =∠DAB',DB=DB',AB'=CB=2.
∵∠ABC=75°,∠ADC=60°,
∴∠C+∠BAD=225°,∠BDB'=60°.
过点 B'作B'M⊥BA 交 BA 的延长线于点 M,
在 Rt△AMB'中,
在 Rt△BMB'中,
∵DB=DB',∠BDB'=60°,
∴△BDB'是等边三角形.
∴等边三角形 BDB'的高为
7. 解:(1)AP=BQ. [解析] 在等边三角形 ABC中,AC=BC,∠ACB=60°,
由旋转可得,CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴∠ACB=∠PCQ.
∴∠ACP+∠PCB=∠BCQ+∠PCB,即∠ACP=∠BCQ.
∴△ACP≌△BCQ(SAS).
∴AP=BQ.
(2)证明:在等边三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=60°,
由旋转可得,CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴∠ACB=∠PCQ.∴∠ACP+∠PCB=∠BCQ+∠PCB,即∠ACP=∠BCQ.
∴△ACP≌△BCQ(SAS).
∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°.
∴BQ=AP=AC=BC.
∵AP=AC,∠CAP=90°,
∴∠BAP=30°,∠ABP=∠APB=75°.
∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=135°.
∴∠CBD=45°.∴∠QBD=45°.
∴∠CBD=∠QBD,即 BD平分∠CBQ.
∴BD⊥CQ,CD=DQ,即直线 PB 垂直平分线段CQ.
(3)①当点 Q在直线l 上方时，如图①所示，延长BQ交l于点E,过点 Q作QF⊥l于点F,
由(2)可知△ACP≌△BCQ,
∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°.
∵∠CAB=∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠ABE=30°.∴∠BEF=60°.
∵AB=AC=4,∴AE=BE=
设AP=t,则
在 Rt△EFQ中,
即
解得 或 即 AP的长为
②当点 Q 在直线 l 下方时，如图②所示，设 BQ交l 于点E,过点 Q作QF⊥l于点 F,
由(2) 可 知 △ACP ≌△BCQ,
∴AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=90°.
∵∠CAB=∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠ABE=30°.∴∠BEF=120°.
∵AB=AC=4,∴AE=BE=4
设AP=m,则
在Rt△EFQ中,
即
解得 舍去).
综上可得，AP 的长为
8. 解:(1)60
[解析] ∵△ADE 是由△ABC顺时针旋转所得,
∴△ADE≌△ABC.∴AD=AB.
∵旋转角为60°,∴∠DAB=60°.
∴△ABD是等边三角形.∴∠ABD=60°.
(2)证明:将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°得△AQB,连接 PQ,如图①所示:
∴PC=BQ,AQ=AP,∠PAQ=60°.
∴△AQP 是等边三角形.
∴AP=PQ.
∵存在△BPQ,
∴以 PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形.
(3)将△APC绕点 A 顺时针旋转 60°得△AQB,连接 PQ,如图②所示:
则△APQ是等边三角形且PC=QB,∠AQB=∠APC=90°,
∴AP=PQ,∠AQP=∠APQ=60°.
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=30°.
∵∠BPC=120°,
∴∠BPQ=360°-∠BPC-∠APC-∠APQ=90°.
在Rt△BPQ中,∠BPQ=90°,
设 则PC=2x.
在 Rt△APC中,由勾股定理知:
解得:x=1(负值已舍),
(4)将△APC绕点C 顺时针旋转60°得△A'QC,连接 PQ,A'B,如图③所示:
则△CPQ为等边三角形,AP=A'Q,∴PC=PQ.
故当 PB,PQ,A'Q 在同一条直线上时,PA+PB+PC的值最小,最小值为A'B 的长.
∵∠ACB=30°,∠ACA'=60°,
∵AC=4,
在 Rt△A'CB 中,BC=5,由勾股定理知：
∴PA+PB+PC的最小值为
9. [解析] (1) 通 过 证 明 △ABD≌△ACE 得到∠ABD=∠ACE,进而得到∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.因为 CF 是 Rt△EDC 的中线,所以 (2)连接 AF,DG,设 DG交AC 于点 M,由 AF = CF = DF = GF 可证得∠GDC=90°,从而得到△CDM和△BDG都为等腰直角三角形,BD=DG=2CD=2MG,故 BC= 问题得解;(3)当 AD⊥BC时,在AD 上存在点 P，满足条件. 此时，CE 的长为
解:(1)证明:由旋转知,∠DAE=90°,AD=AE.
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE.
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠ACB=45°.
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.
∵F是DE 的中点,
∵AD=AE,∠DAE=90°,
证明如下：
如图①,连接AF,DG,设 DG交AC于点M.
由(1)知,
∴∠FAC=∠FCA.
∵∠GAC=90°,∴∠FAG=∠FGA.
∴AF=GF.∴GF=DF=CF.
∴∠FGD=∠FDG,∠FDC=∠FCD.
∴∠FDG+∠FDC=90°.∴∠GDC=90°.
∵∠B=∠ACD=45°,∴BD=GD,CD= MD,∠AMG=45°.
∵∠CAG=90°,∴MG= AG.
∵BD=2CD,∴DG=2CD.
又∵DG=DM+MG=CD+MG,∴MG=CD.
即
[解析]如图②,将△BPC绕点 B 顺时针旋转60°得到△BNM,连接 PN,
∴BP=BN,PC=NM,∠PBN=60°.
∴△BPN 是等边三角形.
∴BP=PN.
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN.
∴当点 A、点 P、点 N、点 M 共线时,PA+PB+PC的值最小.
此时，如图③，连接MC，
易知△CBM是等边三角形，
∴BM=CM.
∵BM=CM,AB=AC,
∴AM 垂直平分BC.
∴AD⊥BC.
∵∠BPD=60°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴AD=BD.
由(1)可知:

展开更多......

收起↑