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与平行或相似有关的线段倍分问题
知识与方法
一、与平行线有关的线段倍分
平行线分线段成比例是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段、线段倍分及相似图形的最基本、最重要的理论.运用平行线分线段成比例解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑过哪一个点作平行线，一般由成比例的两条线段启发而得.
1. 平行线分线段成比例
如图1-2-32,如果 l ∥l ∥l ,则
2. 平行线分线段成比例的推论
如图1-2-33,如果 DE∥BC,则
如图1-2-33，在相似三角形的判定中，我们通过作平行线，从而得出 A 字型或8字型相似.在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形.
3. 基本图形
条件:如图1-2-34,AF∥DE∥BC.
结论：
【简析】∵AF∥DE∥BC,
即
(两边同时除以 DE).
二、与相似三角形有关的线段倍分
在相似图形中出现的线段间的关系比全等图形中的等量关系更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差等.证明这类问题，一般需要通过比例的转换或中间量的过渡.相似基本图形如图1-2-35.
典例精析
例 1 如图 1-2-36,在△ABC 中,E,D 是 BC 边的三等分点，F是AC的中点,BF 分别交 AD,AE 于点 G,H,则 BG: GH :HF= .
答案:5:3:2
【简析】因条件中没有平行线，故需过 F 作 BC的平行线，构造基本图形.过点 F 作FM∥BC 交AE 于点M,则根据△BEH∽△FMH,利用 BF表示出 HF 的长度.过点 D 作 DN∥AC 交 BF于 点 N, 则 △BDN ∽△BCF 且 △DNG∽△AFG,依据△BDN∽△BCF 可以用 BF 表示出 BN 的长,然后依据△DNG∽△AFG 表示出NG 的长,则 BG,GH,HF 都可以利用 BF 表示出来，则比值即可求解.
如图 1-2-37, 过点 F 作FM∥BC 交 AE 于点 M,设 BC=6a,则BD=DE=EC=2a.
∵F是AC 的中点,
∵FM∥BC,
∴△BEH∽△FMH.
过点 D 作 DN∥AC 交 BF 于点 N,设AC=2b,则AF=CF=b,
∵DN∥AC,∴△BDN∽△BCF.
∵DN∥AC,
∴△DNG∽△AFG.
即
5:3:2.
例2 (1)如图 1-2-38①,在△ABC 中,AB>AC,点 D,E分别在边AB,AC上,且 DE∥BC,若 则 的值是 .
(2)如图②,在(1)的条件下,将△ADE绕点A 按逆时针方向旋转一定的角度，连接 CE 和 BD， 的值变化吗 若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值.
(3)如图③,在 Rt△ABC中, ,点M,N分别在边AB,AC上,且MN∥BC,现将△AMN 绕点 A 按逆时针方向旋转到△ADE的位置,连接BD,CE,CD.若∠BAC=∠ADC,MN=3,CD=6,请直接写出线段 BD的长度.
【简析】(1)由 DE∥BC，根据平行线分线段成比例即可求得
(2)由(1)可知 由旋 转 的 性 质 可知∠BAD=∠CAE,可得△ABD∽△ACE,根据相似三角形的性质可得结论；
(3)由旋转可知∠BAC=∠DAE,由已知∠BAC=∠ADC,可得∠EAD=∠ADC,则 AE∥DC,进而求得∠EDC=90°,由MN=ED 可求得EC,根据(2)的结论即可求得 BD.
.解： [解析]·
(2)不变.
由(1)可知DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
即
由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE.
∴△ABD∽△ACE.
[解析] ∵MN∥BC,∠ACB=90°,
∴∠ANM=90°.
由旋转的性质可知,∠AED=∠ANM=90°,ED=MN=3.
∵∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠ADC,
∴∠EAD=∠ADC.
∴AE∥CD.
∵DC=6,ED=3,
∴在 Rt△EDC中,
由(2)可知,
进阶训练
1. 如图1-2-39,在△ABC中,BC=2,P ,M 分别是AB,AC边的中点(图①),P ,M 分别是AP ,AM 的中点(图②),P ,M 分别是AP ,AM 的中点(图③)……按这样的规律下去,P M 的长为 .
2. 如图1-2-40,在四边形 ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,P 是 BC 上的一点,PE∥AB交AC 于点 E,PF∥CD 交 BD 于点 F.设PE,PF的长分别为m,n,x=m+n.那么当点 P 在边 BC 上移动时，x的值是否变化 若变化，求出 x的取值范围；若不变，求出x的值，并说明理由.
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3. 如图1-2-41,O是△ABC 的边 BC 上一点,过点O的直线分别交射线AB，线段AC 于点M,N,且
(用含 m的代数式表示)， (用含n的代数式表示)；
(2)若O是线段BC 的中点,求证:m+n=2;
(3)若 求m，n之间的关系(用含 k 的代数式表示).
4. 如图1-2-42,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BC=2AB=12,D,E分别是边BC,AC的中点，连接 DE，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
问题解决：
(1)①当α=0°时,
②当α=180°时,
(2)试判断:当( <360°时, 的大小有无变化 请仅就图②的情形给出证明.
问题再探：
(3)当△EDC 旋转至A,D,E三点共线时,线段 BD 的长为 .
5. (1)已知,点G,F,H,E分别在四边形ABCD的四条边上,且EF⊥GH.
①如图1-2-43①,若四边形 ABCD 是正方形,EF=a,则GH= ;
②如图②,若四边形ABCD 是矩形,AB=m,BC=n,求 的值.
(2)如图③,四边形 ABCD中,点 E,F 分别在BC,CD上,且AE⊥BF.若∠BCD=90°,AB=BC=10,AD=CD=5,求 的值.
6. 如图1-2-44,△ADE 由△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到，且点 B 的对应点 D恰好落在 BC的延长线上，AD，EC相交于点 P.
(1)求∠BDE的度数.
(2)F 是 EC 延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.
①判断 DF 和 PF 的数量关系，并证明；
②求证：
类型四答案
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1. [解析] 在△ABC中,BC=2,P ,M 分别是AB,AC的中点,P ,M 分别是AP ,AM 的中点,P ,M 分别是AP ,AM 的中点,
可得：
故
故
2. 解:x的值不变,x=3.
理由如下：
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CAB.
∵PF∥CD,
∴△BFP∽△BDC.
∵AB=DC,
∴m+n=3,即x的值不变,x=m+n=3.
3. 解:(1)1-m n-1 [解析] ∵AB=AM-BM,
(2)证明:设AM=a,AN=b.
∴MB=MA-AB=a-am=(1-m)a,CN=AC-AN= bn-b=(n-1)b.
如图①,过点 B作BH∥AC交MN 于 H,
∴∠OBH=∠OCN.
∵O是线段BC 的中点,∴OB=OC.
在△OBH与△OCN中,
∴△OBH≌△OCN(ASA).
∴BH=CN=(n-1)b.
∵BH∥AN,∴△BMH∽△AMN.
即
∴1-m=n-1. ∴m+n=2.
(3)若 设 AM=c,AN=d,则AB= cm,AC= dn,MB=(1-m)c,CN=(n-1)d.
如图②,过点 B 作BG∥AC交MN 于G,
∴∠OBG=∠OCN.
∵∠BOG=∠CON,
∴△OBG∽△OCN.
即
∵BG∥AN,
∴△MBG∽△MAN.
即
∴n=k-km+1.
4. 解: [解析] 当α=0°时,
∵BC=2AB=12,
∴AB=6.
∵D,E分别是边BC,AC的中点,
故答案为
② [解析] 如图①.当α=180°时,
∵将△EDC绕点C 按顺时针方向旋转，
∴CD=6,CE=3
故答案为：
(2)当 <360°时 的大小没有变化.
证明:如题图②,∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB.
由(1)可知,
∴△ECA∽△DCB.
(3)6 [解析] 如图②,
易知∠CDE=90°,AC=6 ,CD=6,∵A,D,E三点共线,∴∠ADC=90°.
∵AD=BC,AB=DC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴四边形 ABCD 是矩形.
如图③，
由(1)知,,AC=6 ,CD=6,∵CD⊥AD,
∵DE= AB=3,∴AE=AD-DE=12-3=9.
由(2)可得
综上所述， 或
故答案为：6
5. 解:(1)①a [解析] 如图①,过点 G作GM⊥CD于点M,过点 E作EN⊥BC于点 N,
∴∠GMH=∠ENF=90°,EN=AB,GM=BC.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠B=90°,AB=BC.
∴GM=EN.
∵EF⊥GH,∠B=90°,
∴∠BGH+∠BFE=180°.
∵∠BGM=90°,
∴∠MGH+∠EFN=90°.
∵∠ENF=90°,∴∠NEF+∠EFN=90°.
∴∠MGH=∠NEF.
在△MGH 和△NEF中
∴△MGH≌△NEF(ASA).
∴GH=EF=a.
故答案为a.
②如图②,过点 G 作GM⊥CD 于点 M,过点 E 作EN⊥BC于点N,
∴EN=AB,GM=BC.
同(1)得∠MGH=∠NEF.
∵∠GMH=∠ENF,
∴△FEN∽△HGM.
(2)如图③,过点 A 作GH∥BC,过点 B 作 BG⊥GH 于点G,延长CD交GH 于点 H,连接BD,则四边形 BCHG为矩形.
在△ABD和△CBD中 .∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠BAD=∠C=90°.∴∠BAG+∠DAH=90°.
∵∠DAH+∠ADH=90°,∴∠BAG=∠ADH.
又∠G=∠H=90°,∴△ADH∽△BAG.
设DH=x,∴AG=2x,BG=x+5.
在 Rt△ABG中,由勾股定理,得
(舍去),x =3.∴BG=8.
由(1)②得,
6. 解:(1)由旋转的性质可知,AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠ADB=45°,∠B=∠ADE.
∴∠ADE=45°.
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.
(2)①DF=PF.
证明:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°.
∴在 Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°.
∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,
∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP.∴DF=PF.
②证法一:如图①,过点 P 作PH∥ED交 DF 于点
∵∠DPF =∠ADE+∠DEP = 45°+∠DEP,∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,
∴∠DEP=∠DAC.
又∠CDF=∠DAC,∴∠DEP=∠CDF.
∴∠HPF=∠CDF.
又FD=FP,∠F=∠F,∴△HPF≌△CDF.
∴HF=CF.∴DH=PC.
又
证法二:如图②,过点 P 作 PQ∥DF 交BD 于点Q,显然
由(2)①知
易证△EDP≌△QDP,∴EP=PQ.

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