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2025年江苏省宿迁市泗洪县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列实数中，无理数是( )
A. 2 B. 0 C. D.
2.一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为( )
A. 2 B. C. 6 D.
3.从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是( )
A. B. C. D. 1
4.如图，AB为的直径，C、D为上两点，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，的中位线，把沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.若，则的值为( )
A. 82 B. 81 C. 42 D. 41
8.直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.计算的结果是______.
10.有理数的绝对值等于______.
11.地球上的海洋面积约为，将数据361000000用科学记数法表示为______.
12.若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为______.
13.博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么张三最后的成绩为______分．
14.若、是方程的两个实数根，则______.
15.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且，动点P从B点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿做匀速运动.设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是______.
16.已知m是的小数部分，则的值为______.
17.一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是28L，则每次倒出的液体是______.
18.设k为正整数，直线和直线与x轴围成的三角形面积为，则的值等于______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.先简化，再求值：，其中
四、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题8分
解方程：
；
21.本小题8分
某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食.为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.
这次被调查的同学共有______名；
请把条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是______度.
团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出.据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？
22.本小题8分
已知：如图，，，点E在AD上，求证：
23.本小题10分
一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，和
从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______；
先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率.
24.本小题10分
如图，正方形ABCD的边长为
尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边CD相切；保留作图痕迹，不写作法；
求的半径.
25.本小题10分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点，若的面积为
分别求出和的值；
求B点坐标；
结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______.
26.本小题10分
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.
求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
27.本小题12分
用同样大小的正方体木块依次堆放成如图、图、图所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个.
填表：
n 1 2 3 4 …
s ______ ______ ______ ______ ______
已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式.
第10个图形中的正方体木块有多少个？
是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由.
28.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的的内接四边形，点A，B在x轴上，是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交于点E，且点D平分
求过A，B，E三点抛物线的函数表达式；
求证：四边形AMCD是菱形；
请问在抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于4？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：无理数是无限不循环小数，
是无理数，2，0，是有理数．
故选
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数的定义，即初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数．
2.【答案】A
【解析】解：数据2，，x，6，的众数为6，
，
则数据重新排列为、、2、6、6，
所以中位数为2，
故选：
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3.【答案】C
【解析】解：红桃，2黑桃的牌共3，
这3牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是
故选
让黑桃张数除以总张数3即可求得从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率．
本题主要考查了概率的计算方法：概率=所求情况数与总情况数之比，难度适中．
4.【答案】B
【解析】解法一：连接AD，如图1，
为的直径，
，
，
解法二：连接OD，如图2，
根据圆周角定理，，
和OB均为的半径，
，
，
在中，
故选：
解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算的度数．
解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可的胡结论．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
5.【答案】B
【解析】解：是的中位线，
，；
由折叠的性质可得：，≌，
，
，
，
∽，
，
故选：
根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：
根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7.【答案】D
【解析】解：当时，
，
当时，
，
两式相加可得，
则，
故选：
将代入可得，将代入可得，将两式相加计算即可．
本题考查代数式求值，将和代入原等式中计算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，对称轴位于y轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：
根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：
故答案为：
合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
根据绝对值的定义即可解答．
本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：361000000用科学记数法可以表示为，
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】12
【解析】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得，
解得
即该圆锥的母线长为
故答案为
设该圆锥的母线长为l，则根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于l的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13.【答案】93
【解析】解：张三最后的成绩为：分，
故答案为：
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】8
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为：
根据、是方程的两个实数根，可以得到，，然后将所求式子变形，即可求出相应的数值．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，当，且时，四边形PQED是平行四边形，
，，且点P、点Q的速度都是，
当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形，
，且，
，
解得，
的取值范围是，
故答案为：
结合所给的条件，观察图形可知，当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形，由，且，得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：是的小数部分，
，
原式
，
，即，
原式
故答案为：
先估算得到，则，即，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式，去绝对值得原式，然后把m和的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】21L
【解析】解：设每次倒出的液体是xL，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去
故答案为：
设每次倒出的液体是xL，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是28L，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：联立两直线的解析式组成方程组，
解得：，
直线与直线交于点
当时，，
解得：，
直线与x轴交于点；
当时，，
解得：，
直线与x轴交于点
，
…
…
故答案为：
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两直线的交点及两直线与x轴的交点坐标，结合三角形的面积公式，可求出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出的值是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
【解析】先对分解因式，再通分、约分，进行化简求值．
考查分式的化简求值，比较简单．
20.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，，
【解析】利用直接开方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查解一元二次方程-直接开方法，因式分解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
21.【答案】100 90
【解析】解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：100；
“剩少量”的人数为：人，
补充统计图，如图：
“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是，
故答案为：90；
人，
答：该校4000名学生一餐浪费的食物可供800人食用一餐．
根据“没有剩”的人数除以占比即可求解；
根据总人数减去其他类型的人数，然后补全统计图即可求解；
根据“剩一半”的人数除以总人数乘以，即可求解；
用4000除以100乘以20即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：，，
是线段BC的垂直平分线，
点E在AD上，

【解析】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，
从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是
故答案为：
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中x与y的乘积是有理数的结果有：，，，共3种，
与y的乘积是有理数的概率为
由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，利用概率公式可得答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及x与y的乘积是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24.【答案】解：如图，为所作；
解：设的半径为r，过O点作于E点，OE交AB于F点，连接OB，如图，
与边CD相切，，
，
，
四边形BCEF为矩形，
，
，
在中，，
解得，
即的半径为
【解析】先作AB的垂直平分线交AB于F点，交CD于E点，再作BE的垂直平分线交EF于O点，然后以O点为圆心，OE为半径作圆即可；
设的半径为r，过O点作于E点，OE交AB于F点，连接OB，如图，根据切线的性质得到，易得四边形BCEF为矩形，所以，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的性质和切线的判定与性质．
25.【答案】或
【解析】解：点C坐标为，
轴，且的面积为4，
，
，
点A的坐标为
将点A坐标代入得，；
将点A坐标代入得，
由知，
一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
则，
解得，，
经检验，是原方程的解．
当时，，
所以点B的坐标为
由函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为：或
故答案为：或
根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题．
将中所得函数解析式，组成方程即可解决问题．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
26.【答案】解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价是元．
根据题意：，
解这个方程，得：，
经检验，是原方程的根，
，
答：A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元；
设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，
购买A型和B型机器人模型共花费w元，
由题意得：，
解得：，
，
即：，
随m的增大而增大．
当时，w取得最小值11200，
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【解析】根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．
27.【答案】1 6 15 28
【解析】解：第1叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；
第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；
第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个；
第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个；
…
第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有…个，
二次函数的表达式为；
故答案为：1；6；15；28，；
当时，，
答：第10个图形中的正方体木块有190个；
当时，即，
解得：负值舍去，
存在，它是第30个图形．
由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…由此规律得出第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有…个，进一步代入求得答案即可；
把代入函数解析式即可得到结论；
把代入函数解析式，解方程即可得到结论．
此题考查了二次函数的应用，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
28.【答案】解：由题意可知，是边长为2的等边三角形，点A，B，C，E均在上，
则，
又，
，
，，，
设过A，B，E三点抛物线的函数表达式为，
把E的坐标代入，
，
，
过A，B，E三点抛物线的函数表达式为：；
证明：如图所示，连接DM，
为等边三角形，
，
点D平分，
，
，
，是等边三角形，
，
四边形AMCD为菱形；
解：存在．理由如下：
，，
，
设点P的纵坐标为n，
，，
，
，
解得：，
当时，，
解得：，，
即点P的坐标为，，
当时，，
解得：，
即点P的坐标为，
综上，所求点P坐标为或或
【解析】首先根据等边三角形的性质和同圆的半径相等确定点A、B、E的坐标，再利用交点式求出函数解析式；
连接DM，利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出，得出，从而证得结论；
首先表示出的面积，进而求出n的值，再代入函数关系式即可求出P点坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，等边三角形的性质，三角形的面积，菱形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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