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4.3 探索三角形全等的条件
第2课时 利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”.（重点）
2.会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．（难点）
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适 你能说明其中理由吗
3
2
1
由前面的讨论我们知道,如果给出一个三角形三条边的长度,那么由此得到的三角形都是全等的.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢
有两种情况:一种是两角及其夹边,另一种是两角及其中一角的对边.
探究一：三角形全等的判定（“角边角”）
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢 小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形.比如三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2cm.你作的三角形与同伴作的一定全等吗
2 cm
60°
80°
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,
简写成“角边角”或“ASA”.
几何语言：
三角形全等的判定方法二：“角边角” （ASA）
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
AB=DE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
解:△AEC≌△AED.
理由:∵AB平分∠CAD,
∴∠CAE=∠DAE.
∵∠1=∠2,∠AEC=180°-∠1,∠AED=180°-∠2,
∴∠AEC=∠AED.
例1 如图所示,AB平分∠CAD,点E在AB上，∠1=∠2，△AEC和△AED全等吗 试说明理由.
在△AEC≌△AED中，
∠CAE=∠DAE，
AE=AE,
∠AEC=∠AED
∴△AEC≌△AED(ASA).
1.如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.
试说明：BC＝ED.
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD.
在△BAC和△EAD中，
∴△BAC≌△EAD(ASA)．
∴BC＝ED.
∠BAC＝∠EAD，
AB=AE，
∠B=∠E，
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A =∠α，
∠B =∠β，AB = c.
β
c
α
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
作法：
（1）作∠DAF =∠α．
（2）在射线AF上截取线段AB=c；
（3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C．△ABC就是所要作的三角形.
A
F
D
B
A
D
F
C
A
B
D
F
E
议一议：(1)如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢 你能将它转化为探究一中的条件吗
探究二：三角形全等的判定（“角角边”）
解:(1)如果两个角都确定了，那么第三个内角一定是确定的，如此一来，可将“两角及其中一角的对边”转化为“两角及其夹边”.
你能证明你的结论吗？
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
在△ABC和△DEF中，
(2)在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
又∠A＝∠D，∠B＝∠E,
∴∠C＝∠F.
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
A
B
C
D
E
F
文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （简写成“角角边”或“AAS”）
几何语言：
A
B
C
D
E
F
三角形全等的判定方法三：“角角边” （AAS）
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，
∠B＝∠E.
BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
证明：∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠BAC=∠DAE.
∴△BAC≌△DAE(AAS).
在△BAC和△DAE中,
例2 如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE.
∠BAC=∠DAE,
∠C=∠E,
AB=AD,
说明三角形全等时寻找等角的方法：
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等；
(2)等角加(减)等角,其和(差)相等；
(3)同角(或等角)的余角(或补角)相等；
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
知识归纳
解:△ABC≌△ADE.
理由:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
2.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗 试说明理由.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE,
∠C=∠E,
AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
B
D
2.如图所示,D是AB延长线上一点,DF交AC于点E，AE=CE, FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是(　　)
A.0.5 B.1
C.1.5 D.2
1.如图所示,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则直接判定△ABD≌△CBD的依据是 (　　)
A.SSS B.ASA
C.AAS D.以上均不正确
3.如图所示,AE=AD,∠B=∠C,则△ABD≌　　　　,理由是　　 .
△ACE
AAS
4.如图所示,∠1=∠2,BC=EC,请补充一个条件:　 　　　，能直接根据“AAS”判定△ABC≌△DEC.
∠A=∠D
5.如图所示，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，AD⊥AB于点A.若BC=AE，AD=5，则AB=　　　　.
5
第5题
第6题
第7题
解:∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°.
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
∵∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE.
6.如图所示,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.
试说明:BD=CE.
解:(1)∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.
又∵AD∥BC,∴∠BAD=90°,
即∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AC,∴∠DEA=90°,
∴∠DAE+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠BAF.
∵BF⊥AC,∠ABF=63°,
∴∠ADE=∠BAF=90°- 63°=27°.
7.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度数;
(2)DE=BF+EF.
理由:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠BFA=∠AED=90°.
在△ABF和△DAE中,
∵∠BFA=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=DA,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE,AF=DE.
∵AF=AE+EF,
∴DE=BF+EF.
(2)请写出线段BF,EF,DE三者之间的数量关系,并说明理由.
利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等
三角形全等的判定方法二
说明三角形全等时寻找等角的方法
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等;
(2)等角加(减)等角,其和(差)相等;
(3)同角(或等角)的余角(或补角)相等;
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
三角形全等的判定方法三
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.

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