资源简介

第13招 垂线、角平分线，翻折集结等角与等线
在题目给出的条件中，若含有垂线或角平分线的信息，往往要主动联想到将有关图形翻折 180°. “翻折”的方式常有两种：一是直接以某线段的垂线，或某角平分线为轴线将图形翻折180°得到；二是作某点关于轴的对称点，采用连线、截取等手段构造图形的全等来实现.图形的翻折，可以有效地让题目的显性信息集中到一起，促使隐性的信息凸显出来，使我们直接获得相等的角、相等的线段，从而降低解题的难度，顺利而快速地分析问题、解决问题.此招辅助线我们可将它表述为：
垂线、角平分线，翻折集结等角与等线.
例1 先阅读下面的材料，然后解答问题：
已知:如图 13-1 所示,在等腰三角形 ABC 中,∠B=90°,AD 是∠BAC的平分线,交 BC边于点D.求证:AC=AB+BD.
证明 如图13-1所示,在AC上截取AE=AB,连接DE.
由已知条件易知:△ADB≌△ADE(SAS),
∴∠AED=∠B=90°,BD=DE.
在等腰三角形ABC中,∠B=90°,
∴∠C=45°.∴∠EDC=∠C=45°,则有 DE=CE.
∴AC=AE+EC=AB+BD.
我们将这种证明一条线段等于另两条线段和的方法称为“截长法”.
解决问题：现将原题中“AD是∠BAC的平分线，且交 BC边于点D”换成“AD是△ABC外角∠BAF的平分线，交CB边的延长线于点 D，如图13-2所示”其他条件不变，请你猜想线段AC，AB，BD 之间的数量关系，并证明你的猜想.
解析猜想:线段AC,AB,BD之间的数量关系是:BD=AB+AC.证明 如图13-3所示，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE.(垂线、角平分线，翻折集结等角与等线)
∵AD 是∠BAC 的外角平分线,
∴∠BAD=∠EAD.
在△ADB 和△ADE中,
∴△ADB≌△ADE(SAS).
∴DE=DB,∠AED=∠ABD=90°.
在等腰三角形ABC中,∠C=45°,
∴△DEC 是等腰直角三角形.∴DE=CE.
∴BD=DE=CE=AB+AC,即BD=AB+AC.
点评 本题题型开放，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，考查学生的类比、探究、猜想能力，读懂题目信息，注重类比联想是解题的关键.本解法也凸显了“垂线、角平分线，翻折集结等角与等线”的战术思想.
例2 如图13-4所示,在△ABC中,AB>AC,AD为∠BAC的平分线,且AD的垂直平分线和BC 的延长线交于点 E，垂足为 F.求证：
解析 证明 连接AE,如图13-5 所示,易知 Rt△DEF≌Rt△AEF.
(垂线、角平分线，翻折集结等角与等线)
∴AE=DE,∠2+∠3=∠4.
又∠4=∠1+∠B,∠1=∠2,∴∠3=∠B.
又∠AEC=∠BEA,
∴△AEC∽△BEA.
从而 即
又AE=DE,∴DE =BE·CE.
点评 抓住角平分线、中垂线的信息分析，联想到连接AE 这一辅助线是求解本题的最佳思路.易知，作出辅助线AE 颇有动一发而牵动全身之感.另外，由于∠3=∠B 是弦切角与圆周角的模型，由此可发现新命题：题设条件不变，证明①AE是过A，B，C三点的外接圆的切线.②2∠FEC=∠ACB--∠B.
例3 (2020·大连)如图13-6所示,在△ABC中,点 D,E,F 分别在AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD 上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE.
(1) 填空:与∠CAG相等的角是 .
(2) 用等式表示线段AD与BD 的数量关系，并证明.
(3)若∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACD,如图13-7所示,求 的值.
解析 (1) ∵CA=CG,∴∠CAG=∠CGA.
故答案为∠CGA.
理由是：
如图13-8所示,在CG上取一点M,使GM=AF,连接AM，EM.(中点、中线想中位线)
∵∠CAG=∠CGA,AG=GA,
∴△AGM≌△GAF(SAS).
∴AM=GF,∠AFG=∠AMG.
∵GF=DE,∠AFG=∠CDE,
∴AM=DE,∠AMG=∠CDE.
∴AM∥DE,则四边形AMED为平行四边形.
∴AD=EM,AD∥EM.
∵BE=CE,即E为BC 的中点,
∴ME为△BCD的中位线.
从而可得
(3) 延长BA 至点N,使AD=AN,如图13-9所示,连接CN.(垂线、角平分线，翻折集结等角与等线)
∵∠BAC=∠NAC=90°,∴AC是DN 的中垂线.
∴CD=CN,∠ACD=∠ACN.
设∠ACD=∠ACN=α,则∠ABC=2α,从而可得
∴BN=BC,即△BCN 为等腰三角形.
设AD=1,则AN=1,BD=2,∴BC=BN=4,AB=3.
从而可得
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，解题的关键是根据题意构造平行四边形，转化已知条件.第(1)问，从给出的图形中可直接得出.第(2)问，关键在于：一、能否从图中猜想到它们可能是2倍的关系.二、能否先由 E 为BC 的中点想到中位线EM，得出四边形ADEM为平行四边形,由此只需 DE=AM,进而需要GF=AM,故需要△AGM≌△GAF，由此便得到我们所要的辅助线 GM，且GM=AF.第(3)问,关键在于延长BA 至点N,使AD=AN,此作法充分体现了“垂线、角平分线，翻折集结等角与等线”的战术思路.
例4 如图13-10 所示,已知AD为△ABC的角平分线,AB解析 证法1 连接BE,记BE中点为 F,连接 FN,FM,如图13-11所示.
∵FN为△EAB的中位线,
(中点、中线想中位线)
∵FM为△BCE的中位线,
(中点、中线想中位线)
∵CE=AB,∴FN=FM.∴∠3=∠4.
∵∠4=∠5,∴∠3=∠5.
又∠1+∠2=∠3+∠5,而∠1=∠2,∴∠2=∠5.
∴MN∥AD.
证法2 ∵AD为△ABC的角平分线,过点 B作BP⊥AD,交AC于点P，交AD于点Q，如图13-12所示.(垂线、角平分线，翻折集结等角与等线)
∴AP=AB,BQ=QP.
又 BM=MC,连接QM,
则 QM为△BCP 的中位线.
∴QM∥PC,且 ( * )
又EC=AB,∴AP=EC.
从而可得AE=AC-EC=AC-AP=PC.
又N为AE 的中点， (* * )
而AN与PC都是AC 边上的线段，
结合(*)(**),得QM=AN,且QM∥AN.
故四边形AQMN 为平行四边形.
∴MN∥AD.
点评 本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线定理，解决问题的关键是正确画出辅助线.证法1是从中点的信息入手探究，通过构建BE，FN，FM等辅助线，将已知条件集结于△FMN之中，侧重于角的等量交换利用“同位角相等，两直线平行”的性质来突破.证法2 是从角平分线的条件入手分析，通过作点 B关于直线AD 的对称点P，将已知条件集结于AC边上，侧重于线段的计算.挖掘四边形AQMN 为平行四边形来完成证明，凸显了“垂线、角平分线，翻折集结等角与等线”的战术思想.
跟踪训练
1. 如图所示,在正方形 ABCD 中,已知 AE=BC+CE,AF 平分∠BAE,求证:BF=FC.
2. 如图所示,在△ABC中,AB=8cm,AC=4 cm,∠BAC的平分线AD 与BC 的垂直平分线DG 交于点D,过点 D 作DE⊥AB,垂足为 E, ，垂足为F(或AC延长线).
(1) 求证:.
(2)求证:.
(3) 求 AE的长.
3. 已知在△ABC中,AB+AC=x,点 D 为平面内一点.
(1) 如图1所示，当D为BC边的中点时，求证：
(2)如图2所示,当点 D 在△ABC的外部,且满足 BD+CD=x,若 的外角平分线与∠BDC 的外角平分线交于点 F，求证：∠AFB=
(3) 如图3所示,当 时，在直线 BC的下方取点 D，且满足 ,过点A作AN⊥CD,垂足为N,若CD=a,BD=b，请求出 CN的长度(用含有a，b的式子表示).
中小学教育资源及组卷应用平台
4. 在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CDB=120°,∠CAB= E是AC上一点,F是AB 延长线上一点,且CE=BF.
(1) 求证:ED=DF.
(2)如图1所示,若点G在AB 上且∠EDG=60°,试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明.
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α, ，点G在AB 上，当∠EDG满足什么条件时，(2)中结论仍然成立 (只写结果不要证明)
(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2所示,在四边形ABCD中,∠CAB=∠CAD=30°,∠ABC=90°,点E在AB上， 且 ,若AE=3,求BE的长.
答案
1. 证明 因为AF平分∠BAE,所以把 Rt△ABF绕AF 翻折 即过点 F作FG⊥AE，垂足为G，如图所示.
(垂线、角平分线，翻折集结等角与等线)
∴Rt△AGF≌Rt△ABF.
∴BF=FG,AB=AG.
连接 FE，由图可得(
由此可得 Rt△EGF≌Rt△ECF(HL).
∴FG=FC.
∴BF=FC.
2. (1) 证明 ∵点D在∠BAC的平分线上,且 DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在 Rt△AED与 Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF.
(2)证明:连接BD,CD.
∵点 D在BC 的垂直平分线上,∴DB=DC.
在 Rt△DCF与 Rt△DBE 中,
∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL).∴CF=BE.
(3) ∵AB=8cm,AC=4cm,CF=BE,AE=AF=AC+CF,
∴AB=AE+BE=AC+BE+CF=AC+2BE.
∴BE=2cm.∴AE=AB一BE=6cm.
3. (1)如图1所示,延长AD,使DE=AD,连接CE.
∵D为BC边的中点，
∴BD=CD,且DE=AD,∠ADB=∠EDC.
∴△ABD≌△ECD(SAS).∴AB=EC.
∵AC+CE>AE,
∴AC+AB>2AD.∴AD<π/2.
(2) 如图2所示,延长BA 至点M,使AM=AC,连接FM,延长CD至点N,使 DN=BD,连接FN.
∵AF平分∠MAC,
∴∠MAF=∠CAF.
∵AM=AC,AF=AF,∴△MAF≌△CAF(SAS).
∴MF=CF,∠MFA=∠AFC.
同理可得 FN=FB,∠NFD=∠BFD.
∵BD+CD=x,AB+AC=x,
∴BD+CD=AB+AC.
∴BM=CN,且MF=CF,FN=FB.
∴△BFM≌△NFC(SSS).
∴∠MFB=∠CFN.
∴∠MFA+∠AFB=∠NFD+∠CFD.
∴∠AFC+∠AFB=∠BFD+∠CFD.
∴∠BFC+∠AFB+∠AFB=∠BFC+∠CFD+∠CFD.
∴∠AFB=∠CFD.
(3)若BD>CD,过点 A作AM⊥BD,垂足为M,连接AD,如图3所示.
又∠ACD+∠ACN=180°,
∴∠ABM=∠ACN.
∵∠ABM=∠ACN,∠AMB=∠ANC=90°,AB=AC,
∵AM=AN,AD=AD,
∴Rt△AMD≌Rt△AND(HL).∴MD=DN.
∵CN=DN-CD=MD-CD=BD-BM-CD=BD-CN-CD,
若BD∵∠BAC+∠BDC=180°,∠BAC+∠BDC+∠ABD+∠ACD=360°,
∴∠ABD+∠ACD=180°.
又∠ABD+∠ABM=180°,∴∠ABM=∠ACD.
∵∠ABM=∠ACN,∠AMB=∠ANC=90°,AB=AC,
∴△ABM≌△ACN(AAS).∴BM=CN,AM=AN.
∵AM=AN,AD=AD,
∴Rt△AMD≌Rt△AND(HL).∴MD=ND.
∵CN=CD-DN=CD-MD=CD-MB-BD=CD-CN-BD,
4. (1) 证明:∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°,
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°.
又∵∠DBF+∠ABD=180°,∴∠C=∠DBF.
在△CDE和△BDF中
∴△CDE≌△BDF(SAS).∴DE=DF.
(2)如图1所示,连接AD,猜想CE、EG、BG之间的数量关系为:CE+BG=EG.
证明:在△ABD和△ACD中
∴△ADB≌△ADC(SSS).
∵∠EDG=60°,∴∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG.
由(1),可得△CDE≌△BDF,∴∠CDE=∠BDF.
∴∠BDG+∠BDF=60°,即∠FDG=60°.
∴∠EDG=∠FDG.
在△DEG和△DFG中
∴△DEG≌△DFG(SAS).∴EG=FG.
又CE=BF,FG=BF+BG,∴CE+BG=EG.
(3) 要使CE+BG=EG仍然成立,
则 即
故当 时,CE+BG=EG仍然成立.
(4) 如图2所示,∵∠CAB=∠CAD=30°,∴AC为∠DAB的平分线.
故过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，(垂线、角平分线，翻转集结等角与等线)
在△ACB和△ACF中
∴△ACB≌△ACF(AAS).∴AB=AF,CB=CF.
于是,由(2)可得 BE+DF=DE.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.
又∵∠CAB=∠CAD=30°,
∵AD+DF=AE+BE,∴6+DF=3+BE,DF=BE-3.
又

展开更多......

收起↑