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第11招 切线弦切角牵连，切点半径是关键
在题目给出的条件中，当涉及圆的切线时，往往要考虑相应的弦切角、圆周角与过切点的半径等辅助线.一般说来，这类辅助线就是为正确运用弦切角定理及其性质而创建的.因此，对一些与圆的切线有关的问题的求解，一旦作出了这些辅助线，立马就能将有关切线的信息转换为解题所需要的角、或垂直等关系的信息，促使解题思路活跃起来，从而迅速地分析问题、解决问题.此招辅助线我们可将它表述为：
切线弦切角牵连，切点半径是关键.
例1 如图11-1 所示,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,弦BC∥OP,OP 交⊙O于点D,连接PB.
(1) 求证:PB是⊙O的切线.
(2) 若 PA=3,PD=2,求⊙O 的半径R的长.
解析 (1) 证明:连接OB,如图11-2所示.
(切点半径是关键)
∵OP∥BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠C=∠OBC.
∴∠AOP=∠BOP.
∵OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP.
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA切⊙O于点A,
∴∠A=90°.
从而可得∠OBP=90°,即OB⊥PB.
故 PB是⊙O的切线.
(2) ∵PA是圆的切线,∴OA⊥AP.
∴△AOP 是直角三角形.
在 Rt△AOP 中,由勾股定理,得( 解得
点评 本题主要考查了圆的切线性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理等基本知识的综合运用，难度不大.第(1)问，要证 PB为⊙O的切线，通过连接OB，即为切点半径，构造全等三角形是解题的基本途径.第(2)问，亦可用切线定理求解，读者不妨试试.
例2 如图11-3 所示,已知 AB 是⊙O的直径,BC,EF是⊙O的弦,且 EF⊥AB,垂足为G,交BC于点H,CD与FE 延长线交于点D,CD=DH.
(1) 求证:CD是⊙O的切线.
(2)若H 是弦BC 的中点,AB=10,EF=8,求CD的长.
解析 (1)如图11-4所示，连接OC.(切点半径是关键)
∵∠ACB=90°,OC=OA,
∴ ∠ACO = ∠CAO, ∠CAO + ∠B = 90°,∠BHG+∠B=90°.
∴∠CAO=∠BHG.
∵CD=DH,∴∠DCH=∠ACO.
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°.
∴OC⊥DC.
故CD是⊙O的切线.
(2) 解法1 连接OH,OF,如图11-5 所示.
∵AB=10,EF=8,EF⊥AB,在 Rt△OGF 中，由勾股定理与垂径定理，
∴EG=FG=4,OG=3.∴BG=2.
∵O为圆心,H 为弦BC 中点,
∴OH⊥BC,BH=CH.
由此可得GH为 Rt△OHB斜边上的高，由射影定理,得BH =BG·BO=2×5.∴BH= 10.
∵HG =OG·GB=2×3=6,∴HG= ( *)
过点 D作DM⊥CH,垂足为M.
∵∠DHM=∠BHG,∠DMH=∠BGH=90°,
∴△DHM∽△BHG.
即 得
解法2 上接解法1中的(*)，如图11-6所示.
设CD=DH=x.
在 Rt△ODC和Rt△ODG中,
即 解得
故CD的长为
点评 本题主要考查圆的切线的证明，及切线长的求法，考查图形思维、逻辑推理能力.第(1)问亦可用∠OBC+∠BHG=90°,推出∠OCB+∠DCH=90°来处理.一般地，证明一条直线是圆的切线，只要证明该直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径即可.第(2)问,解法 1 通过作 DM⊥CH,垂足为 M,再用△DHM∽△BHG的相似比来突破的，是解题的基本思路；解法2 通过发现OD 是 Rt△OCD和Rt△ODG公共斜边，充分利用勾股定理进行探究，颇有创意.
例 3 如图11-7所示,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,连接AC,BC,OD⊥BC,垂足为E,交⊙O于点 D,连接CD,AD,AD与BC 交于点F，CG与BA 的延长线交于点G.
(1)求证:△ACD∽△CFD.
(2) 若∠CDA=∠GCA,求证:CG为⊙O的切线.
(3)若 求tan∠CDA 的值.
解析 (1) 证明:
∴∠CAD=∠FCD.(等圆周角等弧、弦)
又∠ADC=∠CDF,
∴△ACD∽△CFD.
(2) 证明:连接OC,如图11-8所示.
(切线弦切角牵连，切点半径是关键)
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC+∠CAB=90°.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∵∠CDA=∠OBC,∠CDA=∠GCA,
∴∠OCB=∠GCA.
∴∠OCG = ∠GCA +∠OCA =∠OCB+∠OCA=90°.
∴CG⊥OC.
∵OC 是⊙O 的半径,∴CG 是⊙O的切线.
(3) 连接BD,如图11-9所示,则有∠CAD=∠CBD,OD⊥BC.
(直径垂弦平分弦，平分两弧图体现)
设DE=x,OD=OB=r,则OE=r-x,BD=3x.
于是,在 Rt△BDE中,有
在 Rt△OBE中,(
即 整理得r= x,∴AB=2r=9x.
在 Rt△ABC中,
整理得AC=7x.
点评 本题是圆的综合题目，考查了圆的有关概念及性质，切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识.本题综合性强，第(1)(2)两问关键在于熟练掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理.第(3)问关键难就难在：一、能否将∠CAD 的正弦值表示为线段 DE 与 BD 的比，二、能否创设辅助量DE=x,挖掘BD=3x,AB=9x,AC=9x,再利用正切比求得∠CDA 的值.
跟踪训练
1. 如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,直线l∥AC交线段BC 于点 D,交线段 AB 于点E,交⊙O于点G,F,交⊙O在点A 的切线于点P.若 PE=6,ED=4,EF=6,则 PA 的长为
2. 如图所示,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.
3. 如图所示,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,过点 A 作OP 的垂线AB,垂足为C,交⊙O于点B,延长 BO与⊙O交于点D,与PA 的延长线交于点E.
(1) 求证:PB为⊙O的切线.
(2)若 求 sin E 的值.
4. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，C是AB 延长线上一点，CD与⊙O相切于点E,AD⊥CD,垂足为D.
(1) 求证:AE平分∠DAC.
(2)若AB=4,∠ABE=60°.
①求AD的长.②求图中阴影部分的面积.
答案
1. 2 由图易知,△BDE∽△PAE,记 PG=y,则 ∴EB·EA=EP·ED,即EB·EA=6×4.
又由相交弦定理,得EB·EA=EG·EF,
即EB·EA=(6-y)·6,∴y=2.
由切割线定理，得
所以 故填
2. 证法1 ∵AD⊥CD,则∠DAC+∠DCA=90°.
又 CD为切线,则∠ECB=∠BAC.(切线弦切角牵联)
而∠BCE+∠ACD=90°,∴∠BCE=∠CAD.
∴∠BAC=∠CAD,即AC平分∠DAB.
证法2 连接OC，如图所示，
∵CD为切线,∴OC⊥CD.(切点半径是关键)
又AD⊥CD,∴OC∥AD.
从而∠DAC=∠ACO.
又∠ACO=∠OAC,∴∠OAC=∠CAD,即AC平分∠DAB.
3. (1) 证明：连接OA，(切点半径是关键)如图1所示.
∵PA为⊙O的切线,∴∠PAO=90°.
∵OA=OB,OP⊥AB,垂足为C,
∴BC=CA,PB=PA.(三线合一常用到)
在△PBO和△PAO中
∴△PBO≌△PAO(SSS).
∴∠PBO=∠PAO=90°.
故 PB为⊙O的切线.
(2) 解法1 连接OA,AD,如图2所示.
∵BD是直径,∴∠BAD=90°.
由(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP.
∵BC=CA,OB=OD,
∴OC 是△ABD的中位线.∴AD=2OC.
设OC=2t,则 BC=3t,AD=4t.
∵∠OBC+∠PBC=90°,∠BOC+∠OBC=90°,∴∠BOC=∠PBC.
∵∠OCB=∠BCP,∴△PBC∽△BOC.
即
设EA=8m,EP=13m,则PA=5m.
解法2 由(1)知,∠EBC=∠EAD,如图2所示.
又∠BEA=∠AED,∴△BEA∽△AED.
由此可得 .(r为⊙O的半径)
又
即 故
又在 Rt△OEA中,
4. (1) 证明:连接OE,如图所示,
∵CD与⊙O相切于点E.∴OE⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OE∥AD.∴∠DAE=∠AEO.
∵AO=OE,∴∠AEO=∠OAE.
∴∠OAE=∠DAE,即AE平分∠DAC.
(2)①∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,∠ABE=60°,∠EAB=30°.
在 Rt△ADE中,∠DAE=∠BAE=30°.
在 Rt△ABE中,有
从而可得
②∵OA=OB,∴∠AEO=∠OAE=30°,∠AOE=120°,
由此可得，阴影部分的面积为：

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