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第15招 角角有加减，拆并寻方便
在题目给出的条件中，当涉及角的和、差的信息时，往往要对图形中的相关角进行拆分或合并改造.因为将一角分割成两小角的和，或将一角的边绕顶点旋转使之等于另一角，或利用平行线的关系将一角转移到另一适当的位置，以便我们从中挖掘相关角与角相互间的内在关联，由此导出图形的相似，或图形的全等，或角的相等，从而促使问题迅速获得解决.此招辅助线我们可将它表述为：
角角有加减，拆并寻方便.
例1 如图 15--1 所示,四边形 ABEH,HEFM,MFCD 是三个相等的正方形.
(1) 求证:△AEF∽△CEA.
(2)求∠AFB+∠ACB= °.
解析 (1) 证明 设正方形 ABEH,HEFM,MFCD的边长为a,则AE= a,EF=a,EC=2a.
由此可得
又∠AEF=∠CEA,
∴△AEF∽△CEA.
(2) 解法 1 由(1)知 △AEF∽△CEA.
∴∠ACE=∠FAE.
∵四边形ABEH 为正方形，
∴AB=BE.∴△ABE为等腰直角三角形,故∠AEB=45°.
又∠AEB=∠EAF+∠AFB,∠EAF=∠ACE,∠ACE=∠CAD,
∴∠AFB+∠CAD=45°.
故填45.
解法2 为了方便，采用并角法构建新的等量关系进行转化.
以 BC为边,在∠ACB的外部作∠BCG=∠AFB,使CG交HE 的延长线于点G，连接AG，如图15-2所示.
(角角有加减，拆并寻方便)
由图可得∠AFB+∠ACB=∠ACG.
于是，问题等价于求∠ACG的度数.
由作图知,Rt△EGC≌Rt△BAF≌Rt△HAG.
∴GC=AG.
∵∠BCG=∠BFA=∠HGA,∠EGC=∠BAF=∠HAG,
∴∠AGC=∠EGC+∠HGA=∠HAG+∠HGA=90°.
故△AGC是等腰直角三角形.
∴∠AFB+∠ACB=45°.
故填45.
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义和性质、正方形的性质.第(1)问注重代数的运算，通过设正方形的边长为a,推证△AEF∽△CEA.第(2)问解法1注重(1)的结论的运用，体现了“借前结论攻后题”的解题策略；解法2是从并角的思路来突破的，体现了“角角有加减，拆并寻方便”的解题策略.
例2 如图 15-3 所示,在△ABC 中,已知∠B>∠C,AD 是BC 边上的高,AE平分∠BAC,求证：
解析 证法1 在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∵AE平分∠BAC,
∵AD是BC 边上的高,∴∠BAD=90°-∠B.
证法2 延长 AB 至点M,使AM=AC,连接 EM,如图15-4所示.
在△AEC与△AEM中,
∴△AEC≌△AEM(SAS).∴∠C=∠M,∠AEC=∠AEM.
记∠ABC=∠1,则∠ABC=∠M+∠BEM=∠C+∠BEM.
(角角有加减，拆并寻方便)
过点 A 作AH⊥ME,交 ME的延长线于点 H,又AD⊥DE,
∴A,D,E,H四点共圆,且AE 为直径.
∴∠BEM=∠DAH.
∵∠CEH=∠MEB,∴∠AEH=∠AED.
从而∠DAE=∠HAE=90°-∠AED.
∴∠DAH=2∠DAE,即
从而结论得证.
点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的高线，是基础题，准确识图是解题的关键所在.证法 1 侧重于等量代换.证法 2 侧重于角的转移，将∠ABC 转换成∠M 与·∠BEM之和，并活用了“圆内接四边形的一个外角等于它的内对角”这一性质.凸显了“角角有加减，拆并寻方便”的战术思想.
例3 如图 15 - 5所示，在平行四边形ABCD中,点E是AB 边上一点,CE=AB,DF⊥BC,垂足为 F,连接DE,EF.
(1) 求证:
(2) 若E是AB 边的中点,求证:
解析 (1) 证明:∵CE=AB,AB=CD,
∴CE=CD,故△CDE是等腰三角形.
(2) 证法1 延长DE,CB,设交点为 N,
过点E作EH∥AD交DC于点 H,如图15-6所示，
则∠DEF=∠N+∠1. (*)
(角角有加减，拆并寻方便)
∵E是AB 的中点,∴AE=BE.
由平行线截线段成比例的性质，得E也是DN 的中点，即DE=EN.
∵DF⊥BC,∴△DFN是直角三角形.
从而可得 EF=EN,∴∠1=∠N. ( * *)
由(*)(* *),得∠DEF=2∠1.
由此可得
证法 2 延长 DA,FE,设交点为 M,如图15-7所示,
则∠DEF=∠M+∠3.(角角有加减,拆并寻方便)
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,DF⊥BC.∴DF⊥AD,∠M=∠EFB.
∵E是AB 的中点,∴AE=BE.
又∠AEM=∠BEF,
∴△AEM≌△BEF(AAS).∴ME=FE.
又DF⊥DM,故△MDF是直角三角形,∴ME=DE=EF.
∴∠M=∠3.∴∠DEF=∠M+∠3=2∠M.
由此可得
点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，考查逻辑推理能力.第(1)问，关键在于挖掘△CDE是等腰三角形.第(2)问，证法1先延长 DE，CB，再由辅助线 EH 将∠DEF 分割成∠N 与∠1的和,挖掘△DFN是直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质证得∠1=∠N，颇有创意.证法2巧用辅助线 EM与平行线的关系将∠EFB 转移到∠M，构造全等三角形，并充分利用外角和定理进行探究，也是一种好的思路.两种证法都凸显了“角角有加减，拆并寻方便”的解题思想.
跟踪训练
1. 如图所示,在△ABC中,点 D 是BC 边上一点,已知∠DAC=α,∠DAB=90°-α/ ,CE平分∠ACB交AB 于点E,连接DE,则∠DEC的度数为( ).
A. α/ B. α2 D. 45°-α
2. 如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE 是角平分线,CF⊥AE,垂足为 F,连接 DF,给出以下结论:
①DF∥AB;
其中正确的是 .(填写序号)
3. 阅读与推理.
【阅读】三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例如:如图 1 所示,∠ACD 是△ABC 的一个外角,则有∠ACD=∠A+∠B.理由是:∠ACD+∠ACB=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°.
【实践】小轩在课外书上看到这样一题：在五角星形 ABCDE 中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.小轩思考:∠AFG是△FEC 的外角，根据“三角形的外角定理”可得∠AFG= + .
类似地,∠AGF= + ,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
【应用】如图3所示,∠MON=90°,点 A,B分别在OM,ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点 D.试问：随着点 A，B的运动，∠D 的大小会改变吗 如果不变，求∠D 的度数；如果改变，请说明理由.
答案
1. B 过点 E作EM⊥AC,垂足为M,EN⊥AD,垂足为 N,EH⊥BC,垂足为 H,如图所示.
∴AE平分∠MAD.∴EM=EN.
∵CE平分∠ACB,∴EM=EH.∴EN=EH.
∴DE平分
由三角形外角可得∠1=∠DEC+∠2,
而∠ADB=∠DAC+∠ACB,
故选 B.
2. ①③④ 对于①:延长CF 交AB 于点G,如图所示.
∵AE平分∠BAC,∴∠GAF=∠CAF.
∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC.
在△AFG和△AFC中
∴△AFG≌△AFC(ASA).
∴AC=AG,GF=CF.
又 D是BC的中点,∴DF是△CBG的中位线.
∴DF∥AB,故①正确.
对于②：无法得出 故②错(只有当AC⊥AB时才有可能).
对于③:∵DF是△CBG的中位线,
故③正确.
对于④:延长AD到点M使AD=DM,如图所示.
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB(SAS).∴BM=AC.
∵AB-BM故④正确.
故答案为①③④.
3.【实践】∠C,∠E,∠B,∠D,180°
在△CEF中,可得∠AFG=∠C+∠E.
在△BDG中,可得∠AGF=∠B+∠D.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AFG+AGF+∠A=180°.
故答案为∠E,∠C,∠B,∠D,180°.
【应用】设AD与BO 相交于点E,
故∠D的度数不发生改变，且∠D=45°.

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