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第6招 平行四边形，常连对角线
平行四边形是平面几何中最常见的中心对称图形，它具有两组对边分别平行且相等，对角对应相等的特征.当题设中有平行四边形的条件时，往往要主动连接其对角线，由此获得全等三角形，如图6-1所示.对于只有一组对边平行的四边形，常要设法构建平行四边形进行分析，如图6--2所示.灵活运用平行四边形的性质，可解决许多角的相等、线段的相等、面积的相等问题.这招辅助线我们可将它表述为：
平行四边形，常连对角线.
为了方便，我们将平行四边形的性质归纳为：
对角线，互平分，对边平行且相等.
正方形、菱形、矩形都是特殊的平行四边形，因此，平行四边形的这些性质在正方形、菱形、矩形等特殊的四边形中也是适用的.
例1 如图6-3所示，在平行四边形ABCD中，已知AC与BD 交于点O,E为AD 延长线上的一点,OE 交CD 于点F,EO延长线交AB 于点G,求证:
解析 证明 延长CB与EG,设其交点为 H,过点 H作HP∥AB,且HP=AB,连接AP,如图6-4所示,则四边形ABHP 为平行四边形.(对边平行且相等)
在△EHP中,
从而
在△OED 与△OBH 中,OD=OB,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,
∴ △OED≌△OHB(AAS).
从而
点评 本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解，考查平行四边形的性质的运用.题设条件虽简洁，但求证式中的各线段又过于“分散”，因此，解题的关键是利用平行四边形的性质，延长CB 与EG 交于点 H，添加 BA 的平行线 HP 的辅助线，构造平行四边形APHB，将有关线段转移，“集中”到一个三角形△EHP 中来探究，充分体现了构建平行线给解题带来的活力.
例2 如图6-5所示,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点.
(1) 求证:四边形 ENFM 是平行四边形.
(2) 若2∠ABC=∠A,求∠A 的度数.
解析(1) 证法1 连接AC,BD,设AC,BD交于点O,如图6-6所示.(平行四边形，常连对角线)
连接ON,MO,OF,OE,AF,CE.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OC=OA,O为中心.
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF 是平行四边形.
由此可得点O也是平行四边形AECF 的中心.
∴E,O,F三点共线,O是EF 的中点. ①
又M是DE 的中点，
∴MN是△EDF 的中位线.
同理可得
又EB=DF,∴ON∥EB∥OM,故M,O,N三点共线,点O是MN 的中点.②
由①②，得点O是四边形MFNE 的对称中心.
∴四边形 MFNE 是平行四边形.
证法2 ∵四边形ABCD 是平行四边形，如图6-6所示.
∴AD=BC,∠A=∠C.(对边平行且相等)
又AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠AED=∠CFB,DE=BF.
又四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB.∴∠CFB=∠ABF.
∴ME∥FN.
又M,N分别是DE,BF的中点,且DE=BF,
∴ME=FN.
∴四边形 ENFM是平行四边形.
(2) ∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠A+∠ABC=180°.
又2∠ABC=∠A,∴3∠ABC=180°.
∴∠ABC=60°,∠A=120°.
点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线性质，考查逻辑推理能力.第(1)问，证法1通过连接对角线AC，BD，构建平行四边形ABCD的中心O，进而挖掘O也是EF的中点，再利用三角形中位线分析，又挖掘O也是MN 的中点，由此得出四边形ENFM是平行四边形，体现了“对角线，互平分，对边平行且相等”的基本思想.解法2
是从全等三角形的角度来分析的，也是常见的思路.第(2)问，充分利用平行四边形两邻角互补的性质分析，是解题的常规思路.思维清晰、自然.
例3 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图6-7所示的位置摆放(点E，A,D在同一条直线上),发现BE=DG且BE⊥DG.
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)将正方形AEFG绕点A 按逆时针方向旋转(如图6-8所示)，还能得到BE=DG，DG⊥BE吗 若能，请给出证明；若不能，请说明理由.
(2) 把背景中的正方形分别改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD，将菱形AEFG绕点 A 按顺时针方向旋转(如图6-9 所示),试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立 请说明理由.
(3) 把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且 AB= ,AE=4,AB=8,将矩形 AEFG绕点A 按顺时针方向旋转(如图6--10所示)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中， 的值是定值，请求出这个定值.
解析 (1) 能得到 BE=DG,DG⊥BE.
证明 延长 DG,设 DG与BE 交于点M,如图6-11所示,
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE=AG,∠EAG=90°. ①
又四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°. ②
∴∠EAB=∠GAD. ③
由①②③,得△AEB≌△AGD(SAS).
∴BE=DG,∠ABM=∠MDA. ④
又由④,得A,M,B,D四点共圆.
∴∠DMB=∠DAB=90°,即 DG⊥BE.
(2) 当∠EAG=∠BAD时,BE=DG.
理由如下：
∵∠EAG=∠BAD,如图6-12所示,
∴∠EAB=∠GAD.
又四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为菱形，
∴AE=AG,AB=AD.
∴△AEB≌△AGD(SAS).
∴BE=DG.
(3) 解法1 如图6-13所示,设BE与DG交于点Q,BE与AG交于点P,连接BD，EG.(平行四边形，常连对角线)
∴AG=6,AD=12.
∵四边形AEFG和四边形ABCD 为矩形,
∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAB=∠GAD.
∴∠AEB=∠AGD.
∴A,E,G,Q四点共圆.
∴∠GQP=∠PAE=90°,GD⊥EB.
解法2 如图6-14所示.过点 E作EM⊥DA,交 DA 的延长线于点 M,过点G作GN⊥AB,垂足为 N.
由题意知,AE=4,AB=8.
∴△AME∽△ANG.
设EM=2a,AM=2b,故( 得
则GN=3a,AN=3b,从而 BN=8-3b.
2,
=13×4+208=260.
解法3 如图6-15 所示.记∠GAB=∠3,∠DAB=∠1=∠EAG=∠2=90°,
连接 BD，EG，(平行四边形，常连对角线)
则∠EAB=∠2+∠3=∠3+∠1=∠GAD.
( *)
∴△ABE∽△ADG.
设BE与DG 交于点 H,则∠ADH=∠ABH,
故A，H，B，D四点可构成一个圆.
∴∠DAB=∠DHB=90°.
由题意知,AE=4,AB=8,
结合( *),得AG=6,AD=12.
点评 本题主要考查正方形、菱形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键.不难发现，在第(3)问中,也有 BE:DG=2:3,读者不妨试试.
跟踪训练
1. 如图所示,已知 M 为□ABCD 的边AB的中点，DM交AC 于点E，则图中阴影部分的面积与□ABCD面积的比值是( ).
A. B.
C. D.
2. 已知,如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE 的中点,G为CD 上的一点,连接DF,EG,AG,且∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求 BE的长.
(2)求证:
3. 如图所示，E是平行四边形ABCD 中AB 延长线上的一点，ED交BC 于点F,求证:S△ABF=S△CEF.
4. 如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB= ,E,F分别是AB,BC边的中点,连接AF,CE交于点M,连接BM并延长交CD 于点N,连接DE交AF 于点 P,下列结论:
①∠ABN=∠CBN; ②DE∥BN;
是等腰三角形； ④
其中，正确的有( ).
A. 5个 B. 4个
C. 3个 D. 2个
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答案
1. A 依题意知,
易知△EMA∽△EDC,过点E作EH⊥AM,垂足为 H,交CD于点G，如图所示.
则点 E到MA，CD的距离分别为：
又设点 D到AB 的距离为h，
则 由此可得：
所以图中阴影部分的面积与 ABCD面积的比值是
故选 A.
2. (1) ∵CE=CD,点 F 为CE的中点,CF=2,
∴DC=CE=2CF=4.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=4.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
(2) 证明 过点G作GM⊥AE,垂足为 M.
∵AE⊥BE,GM⊥AE,∴GM∥BC∥AD.
在△DCF和△ECG中.
∴△DCF≌△ECG(AAS).
∴CG=CF.
∵CE=2CF,∴CD=2CG,即G为CD 的中点.
∵AD∥GM∥BC,∴M为AE 中点.∴AM=EM.
∵GM⊥AE,AG=EG,
∴∠AGM=∠EGM,从而∠AGE=2∠MGE.
3. 证法1 连接BD(平行四边形，常连对角线)，过点D作DH⊥BC，垂足为 H，如图1所示.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以点 A，点 D到BC 的距离都等于DH.
由图易得 (同底等高)，
同理可得 (同底等高).
证法2 分别过点 D,E作DH⊥BC,EG⊥BC,垂足为G，H，如图2所示.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BE∥CD.
∴△BEF∽△CDF.
证法3 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD.
过点 E作EQ⊥CD,垂足为Q,如图3所示.
行四边形ABCD。
平行四边形ABCD.
平行四边形ABCD ,
4. B 连接DF,AC,EF,如图所示.
(平行四边形，常连对角线)
∵AD∥BC,AB=BC=2AD,F为CB 的中点,
∴AD=FC,且AD∥FC.
∴四边形ADCF 为平行四边形.
∵E,F分别为AB,BC的中点,且AB=BC,
∴AE=EB=BF=FC.
对①:在△ABF和△CBE中
∴△ABF≌△CBE(SAS).
∴∠BAF=∠BCE,AF=CE.
在△AME 和△CMF中
∴△AME≌△CMF(AAS).∴EM=FM.
在△BEM和△BFM中
∴△BEM≌△BFM(SSS).∴∠ABN=∠CBN,故①正确.
对②:∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△AED为等腰直角三角形.∴∠AED=45°.
∵∠ABC=90°,∴∠ABN=∠CBN=45°.
∴∠AED=∠ABN=45°.∴ED∥BN,故②正确.
对③：∵四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC.又AF=CE,∴DC=EC,则△CED为等腰三角形，故③正确.
对④:∵EF为△ABC的中位线,∴EF∥AC,且
∴∠MEF=∠MCA,∠EFM=∠MAC.∴△EFM∽△CAM.
∴EM:CM=EF:CA=1:2.
设EM=x,则有MC=2x,EC=EM+MC=3x.
设EB=y,则有 BC=2y.
在 Rt△EBC中，根据勾股定理，得
即. ，故④正确.
对⑤:∵E为AB 的中点,EP∥BM,∴P为AM 的中点.
又S△AEM=S△BEM,且
∵四边形 ABFD为矩形,
又
故⑤错误.
正确的有4个.故选 B.

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