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第9招 遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联
当题目给出的条件中涉及弦的概念时，往往要把握其中点与两端点，并将它们直接与圆心相连，促使隐藏的直角三角形、等腰三角形及其对称轴(圆的直径)等相关图形显露出来，以便我们从中获得更多的、有用的隐含信息，快速地找到题眼，合理地运用等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理来分析、求解有关角、弦及弦心距的度量关系，或图形的全等、相似等问题.此招辅助线我们可将它表述为：
遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联.
由于垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”与弦有着密切关联，为了方便，我们可将它简述为：直径垂弦平分弦，平分两弧图体现.这样更有益于我们把握与弦有关的辅助线的添加，有益于促进解题的开拓性.
例1 如图9-1所示，已知 F 是以O 为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是弧 BF 的中点，AD⊥BC,垂足为 D,AD交BF 于点E.
(1) 求证:
(2) 试比较线段 BD 与 AE 的大小,并说明理由.
解析 (1) 证明 连接OA,交BF于点G,如图9-2所示.
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
因为A 是 的中点，O为圆心，
所以OA⊥BF,从而
(直径垂弦平分弦，平分两弧图体现)
∵AD⊥BC,∴∠ADO=∠BGO=90°.
在△OAD与△OBG中 ∴△OAD≌△OBG,从而可得AD=BG.
(2)AE>BD.理由如下:
连接AC,AB,如图9-3所示,
∵BC 为直径,∴∠CAB=90°.(直径直角互关联)
∵A是BF的中点,∴∠ABF=∠ACB.
∵∠ACB+∠ABC=90°,∠DAB+∠ABC=90°.
∴∠BAD=∠ACB=∠ABF.
∴BE=AE.
∵BE>BD,∴AE>BD.
点评 本题主要考查了垂径定理及其推论，考查相似三角形的判定及圆周角定理.一般地，一个圆中有一条不过圆心的弦，若另一条直线具备①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧这五个条件中任意两个，其他三个条件亦成立.
例2 如图9-4 所示,已知:⊙O的半径为5,P 为弦CD 的中点,且CD=8.
(1)若⊙O内有一异于点 P 的点Q，过点 Q 的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ 的长.
(2)若过 P 点任作弦MN,AB,试比较 PM·PN与PA·PB 的大小关系，且写出比较过程.你能用一句话归纳你的发现吗
(3) 若过P点的弦 求 PC,PD的长.
解析 过点 P 作直径ST,如图9-5 所示.
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
由垂径定理,得CD⊥ST,则CD⊥OP,连接OD.
依题意知CD=8,OD=5.
∵P为CD的中点,∴PD=4.
在 Rt△OPD 中,根据勾股定理,得OP=3. ①
(1) 设过点 Q 的最短的弦为EF,
则Q为EF 的中点，如图9-5所示.
因为 EF∥CD,
据平行线性质和垂线性质，知O，P，Q三点共线.
同理可得OQ=4.
由此可得 PQ=1或7.
(2) 连接AM,BN,如图9-6所示.
∵∠A=∠N,∠M=∠B,
∴△APM∽△NPB.
从而可得 即PM·PN=PA·PB.
易知，此结论可归纳为：
过圆内一定点 P 任意作圆的弦，该弦被 P 点分割的两线段的积为定值.
(3) 作直径ST,如图9-7所示.
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
由(2)的结论(即相交弦定理)，得
PC·PD=PS·PT=(5-3)(5+3)=16.
又 设PC=x,则
从而可得 解得
即 或
点评 本题的综合性强，命题极为开放，综合考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定及性质.考查观察、归纳能力.解题关键在于抓住题设信息，先挖掘OP=3这一结论，再进行各个击破，体现了“借前结论攻后题”的战术思想.第(1)问就是顺着①的思路来分析的.第(2)问实质上是相交弦定理的证明，语句的归纳也可为：过P 引圆的动弦，所得线段积不变.第(3)问先构建直径ST，利用第(2)问的结论分析是解题的基本思想.
例3 已知AB是⊙O的一条弦,P是⊙O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为M，并交射线 AB于点N，⊙O的半径为5,AB=8.
(1) 当 P 是优弧 的中点时(如图9-8所示)，求弦AP 的长.
(2) 当点N与点B 重合时，试判断：以点O为圆心， 为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由.
(3) 当∠BNO=∠BON,且⊙N与⊙O相切时,求⊙N半径的长.
解析 (1) 连接 PO并延长交弦AB于点 H,交⊙O于点Q,如图9-9所示.
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∵P是优弧AB的中点，PH经过圆心O，
∴PH⊥AB,AH=BH.
在△AOH中,∠AHO=90°,
在△APH中,∠AHP=90°,
PH=OP+OH=5+3=8,
(2) 当点N与点B 重合时，以点O为圆心， 为半径的圆与直线AP相交.
理由如下：
作OG⊥AB,垂足为G,如图9-10所示:
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∵∠OBG=∠ABM,∠OGB=∠AMB,
∴△OBG∽△ABM.
即 解得
因为 所以当点N与点B 重合时，以点O为圆心， 为半径的圆与直线 AP 相交.
(3) ① 当点 N 在线段AB 延长线上时,当⊙N 与⊙O相外切时,作OD⊥AB，垂足为D，如图9-11所示.(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∵∠BNO=∠BON,∴BN=OB=5.
∴DN=DB+BN=9.
在 Rt△ODN中,由勾股定理,得
因为⊙N与⊙O相切，
所以⊙N 半径为
当⊙N与⊙O相内切时，
同理可得，⊙N半径为
② 当点 N 在线段AB 上时，此时点 P 在弦AB 的下方,如图9-12 所示,点 N 在⊙O 内部,作OE⊥AB,垂足为 E.
(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∵∠BNO=∠BON,∴BN=OB=5.
∴EN=BN-BE=1.
在 Rt△OEN中,由勾股定理,得
故圆 N 的半径为！ 或
综上所述,当∠BNO=∠BON,且⊙N与⊙O相切时,⊙N半径的长为 或 或 或
点评 本题是圆的综合题，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识.第(1)问，由优弧 的中点，想到作直径 PQ，并综合垂径定理与勾股定理分析是解题的必由之路.第(2)问是探究题，解题关键是要找出圆心O到直线AP 的距离OM 与半径 的大小关系.由此考查辅助线OG⊥AB，利用相似三角形来探究，此作法颇有创意.第(3)问，利用分类讨论，先求得ON 的长，再利用两圆相切的性质来确定解.但无论哪种讨论都离不开作弦AB的中点与圆心的连线的辅助线，这就是解题的关键所在.
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1. 如图所示,已知AB,CD 是半径为a 的⊙O的两条弦，它们相交于AB 的中点P， 30°,则
2. 如图所示，已知BC为⊙O的直径，A，F是半圆上异于B,C的两点,A 是弧BF 的中点,AH⊥BC,垂足为D,BF交AH 于点E.
(1) 求证:AE=BE.
(2) 若BE·EF=32,AD=6,求DE,BD的长.
3. 如图所示，圆中两条弦AC，BD 相交于点 P.D是 的中点,连接AB,BC,CD,若 则线段CD 的长为( ).
B. 2
4.如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，点 A的坐标为( 点B 的坐标为(8,0),以AB为直径的⊙M 交y 轴于C,D两点,点 P是 的中点，连接CP.
(1) ①求弦CD的长.② 求CP 的长.
(2) 如图2所示,设Q是 上一点,连接QP,QA,QB,若 PQ=4,求QA-QB 的值.
(3)如图3所示，过点M作x轴的垂线l，在第一象限⊙M上取一点N(在直线l的右侧)，在x轴上取一点G(在点M的右侧)，使NM=NG，过M，N两点的( 交直线l于另一点E,作EF∥NG交⊙O 于点F,求EF的长.
答案
因为P为AB的 中点，连接OP，OA，如图所示，
则OP⊥AB.(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
在 Rt△OPA 中,易求得
由相交弦定理,得BP·AP=CP·DP,
即 解得
故填
2. (1) 证法1 连接AB,AF,如图所示.
∵BC是⊙O的直径,且
(直径垂弦平分弦)
∵A是BF的中点,.
∴∠BAE=∠ABE.
从而AE=BE.(等圆周角等弧、弦)
证法2 连接AF,AB,AC.如图所示.
∵A是BF的中点,∴∠ABE=∠AFB.
又∠AFB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB.
∵BC为直径,∴∠BAC=90°.
又AH⊥BC,∴∠ABE=∠BAE.
∴BE=AE.
(2)∵AH⊥BC,BC是直径,∴DH=AD=6.(直径垂弦平分弦)
从而可得AE=6-DE, EH=6+DE.
由相交弦定理,得AE·EH=BE·EF,即(6-DE)(6+DE)=32,解得 DE=2.
在Rt△BDE中,BE=AE=AD-DE=4,DE=2.
由勾股定理，得
3. A 连接OD交AC 于点H，如图所示.(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∵D是AC的中点,
∴OD⊥AC,AH=CH=2,从而可得 PH=1.
在Rt△PDH中,
在 Rt△CDH中,
故选 A.
4. (1) ①由题意得OA=2,OB=8,
∵AB⊥CD,∴OC=OD.(直径垂弦平分弦)
∴OC=4.∴CD=2OC=8.
②连接PM，过点C作CH⊥PM交PM的延长线于点H，再连接CM，如图1所示.(遇弦须抓中、端点，连接圆心找关联)
∴∠OMH=∠H=∠COM=90°.
∴四边形OMHC 是矩形.
∴OM=CH=3,OC=MH=4,从而CM=5,故PM=5.
∴PH=MH+MP=4+5=9.
故在 Rt△PCH中,
(2) 如图2所示,在线段QA上取一点W,使得QW=QB,连接BW.
∵AB是直径,∴∠AQB=∠APB=90°.
又
∴QA-QB=QA-QW=AW=4
(3) 如图3所示,连接EN,FM,FG,NF,设EF交MN 于点J.
∵EF∥GN,∴∠MNG=∠MJF.
∴∠MNF+∠FNG=∠JEM+∠JME.
∵∠JEM=∠MNF,
∴∠JME=∠FNG. ①
∵∠EMG=90°,∴∠JME+∠JMG=90°. ②
∵NM=NG,∴∠NMG=∠NGM. ③
由①②③,得∠FNG+∠NGM=90°,则FN⊥MG.
∴FN∥EM.∴∠MEF=∠EFN.
∴EF=MN=5.

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