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第2招 三角形，有直角，常引斜边上的高
在题目给出的条件中，当涉及直角三角形的信息时，常要过直角顶点引斜边上的高，凸显直角边在斜边上的射影.这是因为直角三角形斜边上的高蕴含信息丰富,如图 2-1 所示,在 Rt△ABC 中,若∠ACB=90°,CD⊥AB,则有Rt△ABC∽Rt△CBD∽Rt△ACD,AC·BC=CD·AB, AB.因此，一旦作出了直角三角形斜边上的高这条辅助线，这些性质均可灵活使用.这招辅助线我们可将它表述为：
三角形，有直角，常引斜边上的高.
直角三角形的这一辅助线引出的结论： AD·BD,AC =AB·AD,BC =AB·BD,就是我们常见的直角三角形射影定理.
为了方便，我们将 即直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项简述为：高乘高，两个射影乘得到.
将 ，即直角三角形的两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项简述为：边乘边，对应射影乘斜边.
直角三角形斜边上中线也是常用的辅助线，它是该三角形外接圆的半径，它不仅等于其斜边的一半，而且还隐藏着两个等腰三角形.直角三角形的这些性质给我们研究直角三角形的问题增添了活力.为了把握好这一辅助线及其运用，我们可将它表述为：
三角形，有直角，斜边中线藏妙招.
例1 (1)【问题情境】
射影定理: 如图2-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果CD⊥AB,垂足为D,那么有:①CD =AD·BD;②AC =AB·AD;③ BC =AB·BD.
请你证明射影定理中的结论③，即.
(2)【结论运用】请直接使用射影定理解决下列问题.
如图2-2所示，正方形ABCD的边长为6，O是对角线BD 的中点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,
①求证:△BOF∽△BED;
②若 求OF 的长.
解析 (1) 证明:在图2-1中,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°.
又∠CBD=∠ABC,∴Rt△CBD∽Rt△ABC.
(2)①证明:如图2-3所示,连接OC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°,BC=CD.
∵O是BD的中点,∴OC⊥BD.(三线合一常用到)
故CO为Rt△BCD斜边BD 上的高. (※)
(三角形，有直角，常引斜边上的高)
(边乘边，对应射影乘斜边)
∵CF⊥BE,即CF 为 Rt△BCE斜边BE 上的高.
.(边乘边，对应射影乘斜边)
∴BO·BD=BF·BE,即
∵∠OBF=∠EBD,∴△BOF∽△BED.
②在Rt△BCE中,
在 Rt△OBC中,
∵△BOF∽△BED,∴BE=BOE,即
点评 本题主要考查了直角三角形中的射影定理、勾股定理、正方形的基本性质等,综合性强.第(1)问,先证 Rt△CBD∽Rt△ABC是解题的必经之路.第(2)问，先构建Rt△CBD斜边上的高OC，再用射影定理分析是解题的常规思路.若要使求解避开射影定理的叙述，则应在(※)处先简述一下：先证明△BOC∽△BCD，再用相似比分析.
例2 如图2-4所示,在 Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转，得到 Rt△ADE.
(1) 点 F 为BC 与DE 的交点,连接AF,求证:FA平分∠DFC.
(2) 对任意的△ABC，此结论是否成立 (不须证明)
(3) 在如图2-5所示的钝角三角形中，若. 30°,P为线段AB 的中点,G是线段 BC 上的动点,在△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转的过程中，点G对应的点是G ，直接写出线段 PG 的最大值与最小值.
解析 (1) 证明:过点A作AM⊥BC,垂足为M,作AN⊥DE,垂足为 N.
(三角形，有直角，常引斜边上的高)
如图2-6所示,根据旋转性质,得 Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AM=AN.(对应边上的高相等)
∴AF为∠DFC的平分线.
(2) 对任意的三角形ABC结论依然成立.
(3)线段
① 如图2-7所示,过点 A作AF⊥BC,垂足为 F.
因为△ABC 为钝角三角形，所以点 F在线段BC 上.
在 Rt△ACF中,
∵AB=8,P 为线段AB 的中点,∴AP=4.
显然当点G在BC 上运动到AG 与BC 垂直时，即点 F 与点G 重合时，AG取最小值3
此时点G的对应点G1在DE上，且AG1也取最小值
再绕点A 转动△ADE,易知,当A,P,G1三点共线,即AG ⊥DE时,PG1取得最小，
② 如图2-8所示，当点 G在BC 上移动至与点C 重合时，AG取最大值6
再绕点 A 旋转△ADE,易知,当A,P,G1三点共线，即点 G1在线段 BA 的延长线上时，PG1最大，
所以线段 PG1 的最大值为( 最小值为
点评 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形，考查数形结合思想方法的运用.综合题，是检测学生综合运用知识分析问题、解决问题的好题.第(1)问，先作出直角三角形斜边上高的辅助线，再用角平分线性质分析是解题的基本思路.第(2)问是第(1)问思路的拓展.第(3)问关键在于能否结合图形探究，并恰当地进行分类讨论，并对每一种情形，分别作平移、旋转两步探究.
例3 如图2-9所示,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD为AB 边上的高线,DE⊥AC,垂足为 E.
(1)若AD=BC,求证:DE=BD.
(2)若G是DE 的中点,延长AG交BC 于点F.求证:F是BC 的中点.
(3)在(2)的条件下,延长CG交AB 于点H,使AH=BH,当AC=4时,求 DE 的长.
解析 (1) 证明 ∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,如图2-11所示.
∵CD为AB 边上的高线,∴∠BDC=90°.
∴∠1+∠B=90°.∴∠BAC=∠1.
∵DE⊥AC,∴∠DEA=∠CDB=90°.
在△ADE和△CBD中,
∴△ADE≌△CBD(AAS).
∴DE=BD.
(2) 证明 ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵DE⊥AC ,∴DE∥BC.
∵G是DE 的中点,∴DG=GE,则 BF=FC.
∴F是BC 的中点.
(3) 连接 HF,过点 H 作 HM⊥AC,垂足为M,连接DM,如图2-12所示.(三角形,有直角,斜边中线藏妙招)
∵HM⊥AC,BC⊥AC,∴HM∥BC.
∵AH=BH,
∴H为AB 的中点,且M为AC 边的中点.
∵CD⊥AB,∴△ADC是直角三角形.
故 DM为Rt△ADC斜边AC 上的中线,
∵F是BC中点,∴HF∥AC,且
又
在Rt△EDM中,
点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线性质、勾股定理等知识，综合性强.第(1)(2)两问较基本.第(3)问有一定难度，解题关键在于构建Rt△ADC的斜边上中线 DM，并综合利用平行线的性质与相似三角形的性质进行分析.
跟踪训练
1. 如图所示,在△ABC中,∠BCA=90°,AM是BC 边的中线,在中线AM上是否存在一点N，使得∠1=∠2 若存在，请找出这个点 N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
2. 如图所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,在AB 边上是否存在一点E，使得等式 成立 若存在，请找出这个点；若不存在，请说明理由.
3. 如图所示,已知在正方形ABCD中,O为AB 的中点,E为AD 上一点，且 求证：
4. 如图所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D, 垂足为E.
(1)求证:AB·AC=BC·AD.
(2)在AC边上是否存在一点F,使得AD =BC·CF·BE 成立 若存在，试找出这个点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
答案
1. 存在，此时点 N是点C 在AM 上的投影.
证明 过点 C作CN⊥AM,垂足为 N,则MN为MC 在AM 上的投影.
由射影定理，得
又由题意知，
又在△BMN与△AMB中,∠BMN=∠AMB,
∴△BMN∽△AMB.∴∠1=∠2.
故在中线AM上存在一点N，使得∠1=∠2，且该点为点C在AM 上的投影.
2. 解法1 在边 AB上存在点E，使得 成立.探究如下：
过点A作AD⊥BC,垂足为D,又过点 D作DE∥AC交AB 于点E,如图所示,则有∠BAD+∠B=∠B+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△ADB∽△CDA.
7
①
又 ②
由①②,得 成立.
所以所作的点 E是所要找的点.
解法2 在边 AB上存在点E，使得 成立.
探究如下：
因为 AB为直角三角形直角边，由AB 可想到射影定理.
于是,过点 A作AD⊥BC,垂足为 D,则有.
同理可得
从而可得，点E必满足：
由平行线截线段成比例的性质知D，E两点的连线必满足DE∥AC.
于是,过点 D作DE∥AC交AB于点E,则点E为所求.
3. 证法1 如图所示,连接OE,OC.
又∠A=∠B=90°,
∴△EAO∽△OBC.∴∠AEO=∠BOC.
又∠AEO+∠AOE=90°,
∴∠AOE+∠BOC=90°.∴∠EOC=90°.
在 Rt△EOC中,∵OK⊥EC,即OK 为 Rt△EOC斜边上的高,
(射影定理).
证法2 设AB=BC=4a,连接OE,OC,如图所示.
由题意知,AE=a,OA=OB=2a,ED=3a.
是直角三角形.
又 (射影定理).
4. (1) 证明:在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
(2)存在,因为式子AD =BC·CF·BE中的字母E,F具有对称性,
所以由点E为点D 在边AB 上的投影，可猜测点 F为点D 在AC边上的投影.
理由如下：过点 D作DF⊥AC，垂足为 F.(常引斜边上的高)
在Rt△ADB中,DE⊥AB,
由射影定理，得.
同理在 Rt△ADC中,
又在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
又由(1)知,AB·AC=BC·AD,

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