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广西壮族自治区百色市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2024八上·百色期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、∵（0， 1）在y轴上，∴A不符合题意；
B、∵（1， 2）在第四象限，∴B不符合题意；
C、∵（ 3， 4）在第三象限，∴C符合题意；
D、∵（ 5，3）在第二象限，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
2．（2024八上·百色期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵图形不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵图形不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵图形不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．（2024八上·百色期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，5
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、5+6＜12，不能组成三角形，A错误；
B、4+4=8，不能组成三角形，B错误；
C、此组合能组成三角形，C正确；
D、2+3=5，不能组成三角形，D错误.
故答案为：C.
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，A、B、D均错误.
4．（2024八上·百色期末）在中，若，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及∠A＝∠B＋∠C，可得2∠A＝180°，求出∠A＝90°，即可得到△ABC是直角三角形.
5．（2024八上·百色期末）点关于轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A1（5， 7）关于x轴对称的点A2的坐标为（5，7）．
故答案为：A．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）求解即可.
6．（2024八上·百色期末）如图， 一次函数y=ax+b(a， b是常数， a≠0) 的图象与x轴交于点(2， 0)，则关于x的不等式ax+b>0的解集是（　　）
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：ax＋b＞0的解为x＝2，
则关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜2，
故答案：B．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
7．（2024八上·百色期末）如图， 点A， D， C， F在同一条直线上， AB∥DE， BC∥EF，AB=DE， AC=7， AF=11， 则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，
∴AC CD＝DF CD，
∴AD＝CF，
∵AC＝7，AF＝11，
∴CF＝AF AC＝4，
∴AD＝4，
∴CD＝AC AD＝3．
故答案为：B．
【分析】先利用“AAS”证出△ABC≌△DEF，可得AC＝DF，再利用线段的和差及等量代换可得AD＝CF，再结合AC＝7，AF＝11，利用线段的和差求出CD＝AC AD＝3即可．
8．（2024八上·百色期末）如图， 在△ABC中， ∠A=36°， ∠C=72°， ∠ABC的角平分线交 AC于点D，则图中共有等腰三角形（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝72°＝∠C
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°＝∠C
∴△BDC是等腰三角形
∴共有3个等腰三角形
故答案为：D．
【分析】先利用角的运算求出三角形中的角，再利用等腰三角形的定义分析求解即可.
9．（2024八上·百色期末）已知正比例函数y=kx(k≠0) 的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx＋k的一次项系数小于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x＋k的图象经过第二、三、四象限．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．（2024八上·百色期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
11．（2024八上·百色期末）如图，点、、在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：A点坐标为（ 1，2＋m），B点坐标为（1， 2＋m），C点坐标为（2，m 4），D点坐标为（0，2＋m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0， 2＋m），G点坐标为（1，m 4）．
∴DE＝EF＝BG＝2＋m m＝m （ 2＋m）＝ 2＋m （m 4）＝2，
∵AD＝BF＝GC＝1，
∴图中阴影部分的面积和等于×2×1×3＝3．
故答案为：D．
【分析】先求出DE＝EF＝BG＝2＋m m＝m （ 2＋m）＝ 2＋m （m 4）＝2，再结合AD＝BF＝GC＝1，最后利用三角形的面积公式求解即可.
12．（2024八上·百色期末）如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠A1B1O＝30°，
∴OA1＝A1B1
可求得OA2＝2OA1＝2，
同理可求得OAn＋1＝2OAn＝4OAn 1＝…＝2n 1OA2＝2nOA1＝2n，
在△OBnAn＋1中，∠O＝30°，∠BnAn＋1O＝60°，
∴∠OBnAn＋1＝90°，
∴BnAn＋1＝OAn＋1＝×2n＝2n 1，
即△AnBnAn＋1的边长为2n 1，
∴△A2023B2023A2024的边长为22023 1＝22022，
故答案为：C．
【分析】利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质求出OA2＝2OA1＝2，再求出OAn＋1＝2OAn＝4OAn 1＝…＝2n 1OA2＝2nOA1＝2n，从而可得规律△AnBnAn＋1的边长为2n 1，再求解即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.请将答案填在答题卡上.）
13．（2024八上·百色期末）在中，，，则的度数是　 　.
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠C＝180° ∠A ∠B＝180° 50° 60°＝70°．
故答案为：70．
【分析】利用三角形的内角和的性质（三角形的三个内角的度数之和为180°）分析求解即可.
14．（2024八上·百色期末）函数的自变量的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x＋5≠0，
解得：x≠ 5．
故答案为：x≠ 5.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
15．（2024八上·百色期末）如图，、相交于点，，要使，还需添加的一个条件是　 　.（填上你认为适当的一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，
∴当添加OB＝OD时，△ABO≌△DCO（SAS），
当添加∠A＝∠D时，△ABO≌△DCO（ASA），
当添加∠B＝∠C时，△ABO≌△DCO（AAS）．
故答案为：OB＝OD（或∠A＝∠D或∠B＝∠C）．（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
16．（2024八上·百色期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组
的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
17．（2024八上·百色期末）在平面直角坐标系中，点，，平行于轴，则点坐标为　 　.
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：1＋5＝6，1 5＝ 4，
∴点D的坐标为（2，6）或（2， 4），
故答案为：（2，6）或（2， 4）．
【分析】利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式及点坐标的表示方法分析求解即可.
18．（2024八上·百色期末）如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为　 　cm时， 线段CQ+PQ的和最小.
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，如图所示：
∵△ABC是周长为12cm的等边三角形，
∴BC＝×12＝4（cm），
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），
∵BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
∴CQ＝AQ，
∴CQ＋PQ＝AQ＋PQ，
∵AQ＋PQ≥AP，
∴当AQ＋PQ＝AP且AP的值最小时，AQ＋PQ的和最小，此时CQ＋PQ的和最小，
∴当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，
∴BP＝BE＝2cm，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，先求出BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），再结合当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，即可得到BP＝BE＝2cm，从而得解.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2024八上·百色期末） 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，.
（1）画出向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的；
（2）画出关于轴对称的.
【答案】（1）解：如图，为所求.
（2）解：如图，为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
20．（2024八上·百色期末） 已知点，根据下列条件求点的坐标.
（1）点在轴上；
（2）点在轴上.
【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为.
（2）解：∵点在轴上，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为.
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征（纵坐标为0）可得，再求解即可.
（2）利用y轴上点坐标的特征（横坐标为0）可得，再求解即可.
21．（2024八上·百色期末） 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且.
（1）图中有哪几对全等三角形？请用全等符号分别表示出来；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.
【答案】（1）解：图中有三对全等三角形，分别为：
，，.
（2）解：选择证明如下：
∵是的中点，
∴.
∵，，
∴
在和中，
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据图形及三角形全等的定义直接分析求解即可；
（2）利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
22．（2024八上·百色期末）如图， 已知△ABC.
（1） 作边AB的垂直平分线， 交 BC于 D， 交 AB于 E； (要求： 尺规作图并保留作图痕迹， 不写作法，标明字母)
（2） 在 (1) 的条件下， 连接AD， 若∠B=40°， ∠C=80°， 求∠DAC的度数.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：连接AD，如图所示：
∵∠B=40°， ∠C=80°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C=180°- 40°-80°=60°，
∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA
∴∠BAD=∠B=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法及步骤作出线段AB的垂直平分线即可；
（2）连接AD，先利用角的运算求出∠BAC的度数，再结合∠BAD=∠B=40°，利用角的运算求出∠DAC的度数即可.
23．（2024八上·百色期末）【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）x（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y/cm 68.0 74.0 78.0
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
把（37，68）和（40，74）代入，得：
．
解得：
∴y＝2x﹣6．
∵当x＝42时，y＝78，
∴第三档符合上述函数解析式，
∴y与x的函数关系式为：y＝2x﹣6．
（2）解：当x＝45.0时，y＝2×45.0﹣6＝84.0，
∴被污染的数据为84.0．
（3）解：不配套，理由如下：
方法一：在y＝2x﹣6中，当x＝32时，y＝2×32﹣6＝58，
∴61﹣58＝3（cm），
∴把小丽的桌子高度降低3cm就可以配套了．
方法二：在y＝2x﹣6中，当y＝61时，61＝2x﹣6，解得：x＝33.5，
∴33.5﹣32＝1.5（cm）．
∴把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
24．（2024八上·百色期末） 如图， 在等边△ABC中， D是 AC的中点， E是 BC延长线上的一点， 且CE=CD.
（1） 求∠E的度数；
（2） 若 DM⊥BC于点 M， 求证： M是 BE 的中点；
（3） 若 MC=1， 求 BE 的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠A=60°
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠ACB=30°.
（2）解：连接BD
∵AB=AC=BC，D是AC的中点
∴∠DBC=∠ABC=30°
∴∠DBC=∠E
∴DB=DE
又∵DM⊥BE
∴M是BE的中点
（3）解：∵DM⊥BE，∠ACB=60°，
∴∠MDC=30°，
∴DC=2MC=2，
∴CE=CD=2，
∴BE=2ME=2×(1+2)=6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=∠A=60°，再结合∠ACB=∠E+∠CDE，求出∠E=∠ACB=30°即可；
（2）连接BD，先证出∠DBC=∠ABC=30°，证出DB=DE，再结合DM⊥BE，即可证出M是BE的中点；
（3）先求出∠MDC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CE=CD=2，最后求出BE=2ME=2×(1+2)=6即可.
25．（2024八上·百色期末）如图1，在和中，与相交于点，，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是8cm，设长为cm，长为cm，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围；
（3）在图2的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象.
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴是等腰三角形.
（2）解：由（1）得，
∵的周长是8cm，，，
∴，
∴.
由，得，
解得，
∴自变量的取值范围是.
（3）解：由得函数图象如图所示.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；等腰三角形的判定；描点法画函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用”SAS“证出，可得，再利用等角对等边的性质可得，即可证出是等腰三角形；
（2）根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质列出不等式，再求解即可；
（3）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可.
26．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
图1 图2 图3
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
1 / 1广西壮族自治区百色市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2024八上·百色期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·百色期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·百色期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，5
4．（2024八上·百色期末）在中，若，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2024八上·百色期末）点关于轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·百色期末）如图， 一次函数y=ax+b(a， b是常数， a≠0) 的图象与x轴交于点(2， 0)，则关于x的不等式ax+b>0的解集是（　　）
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2
7．（2024八上·百色期末）如图， 点A， D， C， F在同一条直线上， AB∥DE， BC∥EF，AB=DE， AC=7， AF=11， 则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
8．（2024八上·百色期末）如图， 在△ABC中， ∠A=36°， ∠C=72°， ∠ABC的角平分线交 AC于点D，则图中共有等腰三角形（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2024八上·百色期末）已知正比例函数y=kx(k≠0) 的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·百色期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
11．（2024八上·百色期末）如图，点、、在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　）
A．1 B． C． D．3
12．（2024八上·百色期末）如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．2022 B．2023 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.请将答案填在答题卡上.）
13．（2024八上·百色期末）在中，，，则的度数是　 　.
14．（2024八上·百色期末）函数的自变量的取值范围是　 　.
15．（2024八上·百色期末）如图，、相交于点，，要使，还需添加的一个条件是　 　.（填上你认为适当的一个条件即可）
16．（2024八上·百色期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　 　.
17．（2024八上·百色期末）在平面直角坐标系中，点，，平行于轴，则点坐标为　 　.
18．（2024八上·百色期末）如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为　 　cm时， 线段CQ+PQ的和最小.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2024八上·百色期末） 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，.
（1）画出向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的；
（2）画出关于轴对称的.
20．（2024八上·百色期末） 已知点，根据下列条件求点的坐标.
（1）点在轴上；
（2）点在轴上.
21．（2024八上·百色期末） 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且.
（1）图中有哪几对全等三角形？请用全等符号分别表示出来；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.
22．（2024八上·百色期末）如图， 已知△ABC.
（1） 作边AB的垂直平分线， 交 BC于 D， 交 AB于 E； (要求： 尺规作图并保留作图痕迹， 不写作法，标明字母)
（2） 在 (1) 的条件下， 连接AD， 若∠B=40°， ∠C=80°， 求∠DAC的度数.
23．（2024八上·百色期末）【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）x（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y/cm 68.0 74.0 78.0
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在表格中，第四档的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为61cm，椅子的高度为32cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套．
24．（2024八上·百色期末） 如图， 在等边△ABC中， D是 AC的中点， E是 BC延长线上的一点， 且CE=CD.
（1） 求∠E的度数；
（2） 若 DM⊥BC于点 M， 求证： M是 BE 的中点；
（3） 若 MC=1， 求 BE 的长.
25．（2024八上·百色期末）如图1，在和中，与相交于点，，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是8cm，设长为cm，长为cm，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围；
（3）在图2的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象.
26．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
图1 图2 图3
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、∵（0， 1）在y轴上，∴A不符合题意；
B、∵（1， 2）在第四象限，∴B不符合题意；
C、∵（ 3， 4）在第三象限，∴C符合题意；
D、∵（ 5，3）在第二象限，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵图形不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵图形不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵图形不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、5+6＜12，不能组成三角形，A错误；
B、4+4=8，不能组成三角形，B错误；
C、此组合能组成三角形，C正确；
D、2+3=5，不能组成三角形，D错误.
故答案为：C.
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，A、B、D均错误.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及∠A＝∠B＋∠C，可得2∠A＝180°，求出∠A＝90°，即可得到△ABC是直角三角形.
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A1（5， 7）关于x轴对称的点A2的坐标为（5，7）．
故答案为：A．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）求解即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：ax＋b＞0的解为x＝2，
则关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜2，
故答案：B．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，
∴AC CD＝DF CD，
∴AD＝CF，
∵AC＝7，AF＝11，
∴CF＝AF AC＝4，
∴AD＝4，
∴CD＝AC AD＝3．
故答案为：B．
【分析】先利用“AAS”证出△ABC≌△DEF，可得AC＝DF，再利用线段的和差及等量代换可得AD＝CF，再结合AC＝7，AF＝11，利用线段的和差求出CD＝AC AD＝3即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°
∴∠ABC＝180° ∠A ∠C＝72°＝∠C
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°＝∠C
∴△BDC是等腰三角形
∴共有3个等腰三角形
故答案为：D．
【分析】先利用角的运算求出三角形中的角，再利用等腰三角形的定义分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx＋k的一次项系数小于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x＋k的图象经过第二、三、四象限．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：A点坐标为（ 1，2＋m），B点坐标为（1， 2＋m），C点坐标为（2，m 4），D点坐标为（0，2＋m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0， 2＋m），G点坐标为（1，m 4）．
∴DE＝EF＝BG＝2＋m m＝m （ 2＋m）＝ 2＋m （m 4）＝2，
∵AD＝BF＝GC＝1，
∴图中阴影部分的面积和等于×2×1×3＝3．
故答案为：D．
【分析】先求出DE＝EF＝BG＝2＋m m＝m （ 2＋m）＝ 2＋m （m 4）＝2，再结合AD＝BF＝GC＝1，最后利用三角形的面积公式求解即可.
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠A1B1O＝30°，
∴OA1＝A1B1
可求得OA2＝2OA1＝2，
同理可求得OAn＋1＝2OAn＝4OAn 1＝…＝2n 1OA2＝2nOA1＝2n，
在△OBnAn＋1中，∠O＝30°，∠BnAn＋1O＝60°，
∴∠OBnAn＋1＝90°，
∴BnAn＋1＝OAn＋1＝×2n＝2n 1，
即△AnBnAn＋1的边长为2n 1，
∴△A2023B2023A2024的边长为22023 1＝22022，
故答案为：C．
【分析】利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质求出OA2＝2OA1＝2，再求出OAn＋1＝2OAn＝4OAn 1＝…＝2n 1OA2＝2nOA1＝2n，从而可得规律△AnBnAn＋1的边长为2n 1，再求解即可.
13．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠C＝180° ∠A ∠B＝180° 50° 60°＝70°．
故答案为：70．
【分析】利用三角形的内角和的性质（三角形的三个内角的度数之和为180°）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x＋5≠0，
解得：x≠ 5．
故答案为：x≠ 5.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，
∴当添加OB＝OD时，△ABO≌△DCO（SAS），
当添加∠A＝∠D时，△ABO≌△DCO（ASA），
当添加∠B＝∠C时，△ABO≌△DCO（AAS）．
故答案为：OB＝OD（或∠A＝∠D或∠B＝∠C）．（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
16．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把P（n，3）代入y＝ x＋4得3＝ n＋4，
∴n＝1，
∴P点坐标为（1，3），
∵直线y＝ x＋4与y＝2x＋m相交于点P（1，3），
∴关于x，y的方程组
的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点P的坐标，再将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题求解即可.
17．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：1＋5＝6，1 5＝ 4，
∴点D的坐标为（2，6）或（2， 4），
故答案为：（2，6）或（2， 4）．
【分析】利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式及点坐标的表示方法分析求解即可.
18．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，如图所示：
∵△ABC是周长为12cm的等边三角形，
∴BC＝×12＝4（cm），
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），
∵BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线BD对称，
∴CQ＝AQ，
∴CQ＋PQ＝AQ＋PQ，
∵AQ＋PQ≥AP，
∴当AQ＋PQ＝AP且AP的值最小时，AQ＋PQ的和最小，此时CQ＋PQ的和最小，
∴当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，
∴BP＝BE＝2cm，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥BC于点E，连接AQ、AP，先求出BE＝CE＝BC＝×4＝2（cm），再结合当AP与AE重合，且A、Q、P三点在同一条直线上时，CQ＋PQ的和最小，即可得到BP＝BE＝2cm，从而得解.
19．【答案】（1）解：如图，为所求.
（2）解：如图，为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
20．【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为.
（2）解：∵点在轴上，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为.
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征（纵坐标为0）可得，再求解即可.
（2）利用y轴上点坐标的特征（横坐标为0）可得，再求解即可.
21．【答案】（1）解：图中有三对全等三角形，分别为：
，，.
（2）解：选择证明如下：
∵是的中点，
∴.
∵，，
∴
在和中，
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据图形及三角形全等的定义直接分析求解即可；
（2）利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
22．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：连接AD，如图所示：
∵∠B=40°， ∠C=80°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C=180°- 40°-80°=60°，
∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA
∴∠BAD=∠B=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法及步骤作出线段AB的垂直平分线即可；
（2）连接AD，先利用角的运算求出∠BAC的度数，再结合∠BAD=∠B=40°，利用角的运算求出∠DAC的度数即可.
23．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
把（37，68）和（40，74）代入，得：
．
解得：
∴y＝2x﹣6．
∵当x＝42时，y＝78，
∴第三档符合上述函数解析式，
∴y与x的函数关系式为：y＝2x﹣6．
（2）解：当x＝45.0时，y＝2×45.0﹣6＝84.0，
∴被污染的数据为84.0．
（3）解：不配套，理由如下：
方法一：在y＝2x﹣6中，当x＝32时，y＝2×32﹣6＝58，
∴61﹣58＝3（cm），
∴把小丽的桌子高度降低3cm就可以配套了．
方法二：在y＝2x﹣6中，当y＝61时，61＝2x﹣6，解得：x＝33.5，
∴33.5﹣32＝1.5（cm）．
∴把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
24．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠A=60°
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠ACB=30°.
（2）解：连接BD
∵AB=AC=BC，D是AC的中点
∴∠DBC=∠ABC=30°
∴∠DBC=∠E
∴DB=DE
又∵DM⊥BE
∴M是BE的中点
（3）解：∵DM⊥BE，∠ACB=60°，
∴∠MDC=30°，
∴DC=2MC=2，
∴CE=CD=2，
∴BE=2ME=2×(1+2)=6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=∠A=60°，再结合∠ACB=∠E+∠CDE，求出∠E=∠ACB=30°即可；
（2）连接BD，先证出∠DBC=∠ABC=30°，证出DB=DE，再结合DM⊥BE，即可证出M是BE的中点；
（3）先求出∠MDC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CE=CD=2，最后求出BE=2ME=2×(1+2)=6即可.
25．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴是等腰三角形.
（2）解：由（1）得，
∵的周长是8cm，，，
∴，
∴.
由，得，
解得，
∴自变量的取值范围是.
（3）解：由得函数图象如图所示.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；等腰三角形的判定；描点法画函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用”SAS“证出，可得，再利用等角对等边的性质可得，即可证出是等腰三角形；
（2）根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质列出不等式，再求解即可；
（3）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可.
26．【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
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