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6.3 三元一次方程组及其解法
第6章 一次方程组
七下数学 HDSD
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
导入新课
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化未知为已知
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
讲授新课
在第6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
知识点1 三元一次方程组的概念
这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或
二元一次方程组）来解决。
小明同学提出了一个新的思路：
问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜，
平，负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？
知识点1 三元一次方程组的概念
分析：审题，可得数量关系.
胜的场数+平的场数+负的场数=10
胜的得分+平的得分+负的得分=18
胜的场数=平的场数+负的场数
知识点1 三元一次方程组的概念
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写
成方程组的形式，得
知识点1 三元一次方程组的概念
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
知识点1 三元一次方程组的概念
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点2 解三元一次方程组
解方程组
x=5，
y=3，
z=2.
知识点2 解三元一次方程组
把y=3, z=2代入③，得x=5.
所以原方程组的解是
例1 解方程组：
解：由方程②，得z=7-3x+2y. ④
代入④，得z=7-3-6=-2.
知识点2 解三元一次方程组
概括
这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含x,y的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，转化为只含有x、y的二元一次方程组求解.
能否先消去x（或y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？
知识点2 解三元一次方程组
解：③-②，得3x+6z=-24，即x+2z=-8.
①×3+②×4，得17x-17z=17，即x-z=1.
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0.
通过“加减”，先消去y，得到关于x、z的二元一次方程，然后解方程组！
知识点2 解三元一次方程组
例2 解方程组：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
知识点2 解三元一次方程组
当堂练习
1.解方程组 ,则x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
3.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1, ④
③－①，得 4a＋b=10 . ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
三元一次
方程组
代入法
加减法
满足的条件
三个整式方程
含有三个未知数
含未知数的项的次数都是1
解法
消元
二元一次方程组
一元一次方程

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