资源简介

(共23张PPT)
北师大版
七年级下册
第1课时 对顶角、补角和余角
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
新知一览
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
铁轨
剪刀
武汉杨泗港桥
乡村农田
创设情境，新课导入
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
注意：平行线是指“两条直线”而不是两条线段或射线。线段或射线平行是指它们所在的直线平行。
两直线相交 所成的角 顶点 边
问题1：观察图形，填写下表并说说你有什么发现
问题引入，自主探究
A
C
B
D
O
1
4
3
2
探究点1：对顶角、补角的概念
∠1
O
OB和OD
∠2
O
OA和OC
∠3
O
OB和OC
∠4
O
OA和OD
1.有公共顶点
2.两边互为反向延长线。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。
概念引入
∠1 的对顶角是______；
∠2
∠3 的对顶角是______。
∠4
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
D
思路点拨：遇到角的辨析，需抓住定义做题。
针对练习
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
2.如图所示，直线AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是_______，∠4的对顶角是_______ .
∠AOD
∠3
问题2：用量角器测量每个角的度数，说说你有什么发现
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。简称这两个角互补。
概念引入
图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？
∠1 ＋∠2＝90°
E
A
2
B
C
D
F
1
O
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。
下列说法正确的有 ____________（填序号）
①已知∠A = 40°，则∠A 的余角等于50°。
②若∠1+∠2 = 180°，则∠1和∠2互为补角。
③若∠1+∠2+∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3互补。
④若∠A = 40°26′，则∠A 的补角=139°34′。
⑤一个角的补角必为钝角。
⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°。
①②④⑥
针对练习
探究点2：对顶角、补角、余角的性质
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
问题3：改变角度的大小，对顶角之间的数量关系仍然存在吗？如何证明？
方法一：改变角度，测量各个角的度数：
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
方法二：几何推导证明：
∵ ∠1 +∠3 =180°，∠3 +∠2 =180°，
∴ ∠1 =∠2 。
归纳总结
两直线相交，对顶角相等。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
问题4： 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。
(1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。
(2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
(1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
互为补角:
互为余角:
根据补角和余角的定义知：
∠1和∠3，∠2和∠4
∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？
你能说明理由吗？与同伴进行交流。
因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°
又因为 ∠1=∠2
所以 ∠3=∠4
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC
又因为∠BOC =∠AOD
所以 ∠AOC = ∠BOD
∠BOD=∠AOB+∠AOD
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。
1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。请指出所量角的度数，并说明理由。
随堂练习
解：根据对顶角的性质可知所量角的度数是40°。
【教材P36 随堂练习 第1题】
40°
2.①因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=____，理由是______________________。② 因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=____，理由是______________________。
∠3
同角的余角相等
∠3
同角的补角相等
3.如图，点O在直线AB上，∠DOC和∠BOE都等于90°。
A
O
B
D
C
E
请找出图中互余的角、互补的角、相等的角，并说明理由。先独立探究，再小组交流。
4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，OB平分∠DOF，若∠DOE=50°，求∠DOF的度数。
解：因为AB为直线，OE平分∠AOB，
所以∠AOE=∠BOE=90°，
因为∠DOE=50°，
所以∠DOB=40°。
因为OB平分∠DOF，
所以∠DOB=∠FOB=40°，
所以∠DOF=80°。
50°
(1)图中∠AOC的对顶角是________，∠EOB的补角是________。
∠BOD
∠AOE
5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分。
解：因为∠AOC=70°，
所以∠BOD=∠AOC=70°，
因为∠BOE∶∠EOD=2∶3，
所以∠BOE=28°，
所以∠AOE=180°－28°=152°。
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE∶∠EOD=2∶3，求∠AOE的度数。
70°
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等(共29张PPT)
北师大版
七年级下册
第2课时 垂线
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
新知一览
问题引入，自主探究
探究点1：垂直、垂线、垂足的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。
a
b
α
转动木条的同时观察其夹角的变化。
α
α
α
α
b
b
b
b
a 与 b 垂直
(1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
a
b
α
(2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？
此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
a
α
b
唯一一个
35°
145°
145°
35°
90°
90°
90°
90°
表示方法：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。
概念引入
它们的交点叫作垂足(如图O点)
C
D
A
B
O
①
如图① 记作：AB⊥CD
如图② 记作：l ⊥ m
O
②
l
m
生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？
窗户
黑板
墙角
栏杆
探究点2：垂直的判定与性质
如图，O为直线AB上一点。
(1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？
A
B
C
O
由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°，
可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。
所以 OC⊥ AB
可得∠AOC =∠BOC=90°
且∠AOC+∠BOC=180°
由∠AOC =∠BOC，
(已知条件)
(补角的性质)
(角的数量关系)
(垂直的定义)
(3)因为 OC⊥AB (已知)
所以 ∠AOC=∠BOC=90°
垂直的性质：
因为 AB⊥OC(已知) ，
所以∠AOC = 90°(垂直的定义)
垂直的判定：
因为∠AOC ＝ 90°(已知)，
所以 AB⊥OC (垂直的定义)
A
B
C
O
对应训练
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
解：这两条直线垂直。因为两条直线相交所成的四个角的和是360°，当这四个角都相等时，这四个角都为90°，由两直线垂直的定义可知两条直线垂直。
2.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是
（ ）
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
3.找出图中互相垂直的线段.
A
B
C
D
O
A
D
C
B
E
问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
探究点3：垂线的画法及性质
问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？
点 A 在直线 l 上
A
点 A 在直线 l 外
A
l
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
A
B
m
O
无数条
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
(4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
P
A
B
C
O
l
线段PO 的长度最短
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
P
A
B
O
l
C
线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
随堂练习
1.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。
l
l1
A
【教材 P38 随堂练习 第1题】
l
B
l
O
1.画一条直线 l，在直线l上取一点 A，在直线 l 外取一点B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。
【教材 P38 随堂练习 第1题】
2.下面是画在方格纸上的两个图形，请你分别找出图中互相垂直的线段。
OA⊥OC， OD⊥OB
DC⊥BC， DC⊥CE
【教材 P39 随堂练习 第2题】
A
B
C
D
O
（1）
A
B
C
D
E
（2）
3.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。
P
O
两点之间垂线段最短，所以线段PO的长度即为所求。
【教材 P39 随堂练习 第3题】
4. 下列条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）
①两直线相交所成的四个角都相等
②两直线相交，对顶角互补
③两直线相交所成的四个角中有一个角是直角
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
D
5. 如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与直线OM重合，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一直线
D．垂线段最短
B
6.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。
（1）不考虑其他因素，请你画图
确定蓄水池 H 的位置，使它到四
个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引人蓄水池 H 中，
怎样开渠最短？请说明依据。
解: (1) 如图，因为“两点之间，线段最短”，所以连接 AD，BC 交于点 H ，则点 H 为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小。
H
G
(2) 如图，过点 H 作 HG ⊥ EF ，垂足为 G，沿线段 GH 开渠最短，依据是“垂线段最短”。
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
课堂小结
概念
性质
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离

展开更多......

收起↑