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2024-2025学年浙江省杭州市部分学校高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则等于( )
A. B. C. D. 或
2.已知复数与复平面内的点对应，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.某个班级有名学生，其中男生名，女生名，男生中有名团员，女生中有名团员在该班中随机选取一名学生，表示“选到的是团员”，表示“选到的是男生”，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知是等差数列的前项和，且，，则( )
A. 数列为递增数列 B.
C. 的最大值为 D.
8.当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在单调递减
C. 函数的图象关于直线对称
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
10.已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是( )
A. 对于任意直线，均有
B. 不存在直线，满足
C. 对于任意直线，直线与抛物线相切
D. 存在直线，使
11.已知四面体的每个顶点都在球为球心的球面上，为等边三角形，为的中点，，，且，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 到的距离为 D. 二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是______．
13.已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为，则______．
14.甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜盘的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且_____，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
已知数列满足，．
证明：是等比数列；
设，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点．
若是的中点，求证：直线平面；
若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知点，曲线上的点与，两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题和．
条件：；条件：问题：
求曲线的方程；
是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．
当，时，求函数的不动点；
若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
在的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，
可知角是钝角，
又因为，则，
可得．
选择条件：
因为，
即，
化简得，
即，
由正弦定理得．
由，
解得，
由余弦定理可得，
所以．
选择条件：
因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
由正弦定理得，
由，
解得，
由余弦定理可得，
所以．
16.解：由已知得，即，
，
是首项为，公比为的等比数列．
由知，，，
，
．
17.解：证明：取的中点，连，，
为的中点，且，
又，且，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
故直线平面．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设，则，，
在棱上，可设，
故，
解得，即，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量，，，
则，，
即，
即，
取，则，，
故，
因为二面角的平面角的余弦值为，
所以，
即，
即，
，
解得，
故E是的中点，
因此．
18.解：选择条件：，
设点的坐标为，则，，
由题意可得，化简得，
进而曲线的方程为．
证明：若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，代入方程，得，
，则．
若直线的斜率存在，设：，由
得，则，即，
设，，，则，．
以为直径的圆经过原点，，则，
即，整理得．
，
设为点到直线的距离，则，，
又，．
综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．
且．
选择条件：，
设点的坐标为，则，，
由题意可得，化简得，
进而曲线的方程为．
证明：若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，代入方程，得，
，则．
若直线的斜率存在，设：，由
得，
则，即，
设，，，则，．
以为直径的圆经过原点，，则，
即，整理得．
，
设为点到直线的距离，则，，
又，．
综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．
且．
19.解：当，时，，
设为不动点，因此，
解得或，
所以、为函数的不动点；
因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
恒成立．
即对于任意，恒成立．
令，
则．
解得；
，
．
，即，
，
，
．
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