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2024-2025学年河北省邢台市部分高中高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量和的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设是等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.运动会期间，将甲、乙等名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合恰有两个子集，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，平面
D. 当，时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某篮球运动员投球的命中率是，他投球次，恰好投进个球的概率为______用数值作答
13.已知数列，满足，，则 ______．
14.设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表．
性别 感冒情况 合计
不感冒 感冒
男性
女性
合计
请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取人，再从这人中选出人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若为上一点，，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面．
证明：．
若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求．
18.本小题分
已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，．
求抛物线的方程．
设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间．
证明：轴平分．
记的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”．
若函数是二次函数，证明：是“等差函数”．
判断函数是否为“等差函数”，并说明理由．
判断函数是否为“等比函数”，并说明理由．
参考答案
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14.
15.解：零假设为：性别与感冒情况不具有相关性．
根据列联表中的数据，
计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为性别与感冒情况无关．
根据分层随机抽样原理知，男性有人，女性有人，
所以随机变量的所有可能取值为，，；
计算，，，
所以的分布列为
所以数学期望为．
16.解：根据题意，可得，
所以，结合正弦定理得．
由余弦定理，可得，结合，可得．
因为，所以．
由，即，可得．
由可知，结合，解得．
所以的面积．
17.解：证明：因为，，，
所以，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
如图，取为的中点，连接，
在平面中，作，交于点，
因为，所以，
因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又所以平面，所以，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，即，可得，
所以，，
设平面的法向量为，则，，
所以，
令，则，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
整理得：，解得或舍去，所以，
又因为，所以．
18.解：由已知得，设，由已知得直线的斜率恒不为，
故可设：．
联立，得，
由，解得，
则，．
，，解得，即抛物线的方程为；
证明：如图，
由已知得直线的斜率恒不为，故设的方程为，，，
由得．
联立，得，
则，，
，
故轴平分；
解：由可知直线与关于轴对称，则点，关于轴对称，则
不妨设，点在与之间，，，
，，
则，令，则，
令，则，解得；由，则，解得．
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
故的取值范围为．
19.解：证明：因为函数是二次函数，所以设．
设，，是曲线上三个不同的点．
则直线的斜率，
又，所以，
根据题意可得，
所以，所以，
所以是“等差函数”；
假设函数为“等差函数”．
因为，且，，成等差数列，所以．
直线的斜率，
因为，所以，
又，所以，
令，即，
令，
则．
令，则，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以．
所以当时，，即无解，
所以函数不是“等差函数”．
假设函数为“等比函数”．
因为，且，，成等比数列，设公比为，
所以，，
直线的斜率
因为，所以曲线在点处的切线斜率，
则，整理得．
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”．
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