资源简介

题型1 认识方程 5
题型2 一元一次方程的定义及应用 6
题型3 方程的解 7
题型4 利用等式的性质变形 8

◆ 知 识 清 单 ◆
1．从算式到方程 （1）方程 （2）方程的解 （3）解方程 （4）一元一次方程 2．等式的性质 （1）两个基本事实 （2）等式的性质1 （3）等式的性质2
1．方程的定义：含有未知数的等式叫作方程．
2．方程的解和解方程：
（1）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，方程的解可以有多个．
（2）解方程：求方程的解的过程，叫作解方程．
3．一元一次方程
（1）概念：方程含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．
（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．
4．等式的性质：
（1）等式的两个基本事实：
①等式两边可以交换．如果a=b，那么b=a．
②相等关系可以传递．如果a=b，且b=c，那么a=c．
（2）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a=b，那么a±c=b±c．
（3）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么=．
5．利用等式的性质解简单的一元一次方程：
一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值能否使原方程两边相等．
6．根据实际问题列方程
（1）将数学问题或实际问题中的等量关系，用方程表示出来，就是列方程．
（2）列方程的一般步骤：
①审→仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系．
②设→设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来．
③列→根据题中的相等关系列出方程．
1．判断一个式子是否为方程： （1）只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可． （2）不看未知数的个数，也不看未知数的次数． （3）未知数可以是x，也可以是其他字母，如：y，s，t，v等． （4）若题中有“××是关于**的方程”的条件，则字母**就是未知数，其他字母要当做已知数对待，这种方程也称为含字母参数的方程． 2．ax+b=0（a≠0）通常叫作x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0． 3．判断一个方程是否为一元一次方程，需要先整理方程，整理后同时满足以下四个条件的方程是一元一次方程： （1）是方程； （2）等号两边都是整式（未知数不能出现在分母中）； （3）只含有一个未知数，且未知数的系数不能为0； （4）化简后未知数的次数是1． 4．运用等式的性质变形时，等式两边要加都加，要减都减，或者两边同时都乘或除以，且加减乘或除以的为同一个数（或式子），注意除数不能为0． 5．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0． 6．等式性质中的“两同”： （1）等式两边要参与同一种运算； （2）等式两边加、减、乘或除以（除以的数不能为0）的一定是同一个数或式子． 7．判断等式的变形是否正确的方法： 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为0，若确定该数（或式子）不为0，则该变形正确，否则错误．
1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation （指含有未知数的等式）一词译为“方程”，即将含有未知数的一个等式称为方程，至今一直这样沿用．
题型1 认识方程
【典例1】　（2024秋 思明区校级期中）下列式子中，是方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据含有未知数的等式叫做方程，
不含未知数，是等式，不是方程，故选项错误，不符合题意；
不是等式，是整式，不是方程，故选项错误，不符合题意；
是含有未知数的等式，是方程，故选项正确，符合题意；
是不等式，不是方程，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【典例2】　（2024春 市中区期末）下列各式中，是方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：、中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
、不是等式所以不是方程，不符合题意；
、不是等式所以不是方程，不符合题意；
、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：．
【典例3】　（2024 太原开学）在；；；；中，方程有　　个．
A．2 B．3 C．4
【答案】
【解答】解：方程有：，，共2个，
故选：．
题型2 一元一次方程的定义及应用
【典例4】　（2024秋 路南区月考）下列各式中，一元一次方程的个数有　　
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解答】解：①不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意；
②符合一元一次方程定义，符合题意；
③中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
④符合一元一次方程定义，符合题意；
⑤中未知数最高次数是2不是一元一次方程，不符合题意，
因此是一元一次方程的是②，④共2个；
故选：．
【典例5】　（2024秋 南康区校级期末）若方程是关于的一元一次方程，则 　　．
【答案】．
【解答】解：方程整理得，
此方程是关于的一元一次方程，
，
，
故答案为：．
【典例6】　（2024秋 东莞市校级期中）若方程是关于的一元一次方程，则等于 　　．
【答案】．
【解答】解：根据一元一次方程的定义，由题意可得：，
解得，
所以若方程是关于的一元一次方程，则等于．
故答案为：．
题型3 方程的解
【典例7】　（2024秋 滨湖区期中）下列各数，是方程的解的是　　
A．0 B．1 C． D．
【答案】
【解答】解：．把代入，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故此选项不符合题意；
．把代入，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故此选项不符合题意；
．把代入，左边，右边，左边右边，是方程的解，故此选项符合题意；
．把代入，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故此选项不符合题意；
故选：．
【典例8】　（2024春 郸城县月考）如果，则下列等式中不正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：当时，方程的左边右边，故正确，不符合题意；
当时，方程的左边右边，故正确，不符合题意；
当时，方程的左边右边，故错误，符合题意；
当时，方程的左边右边，故正确，不符合题意．
故答案为：．
【典例9】　（2023秋 孝昌县期末）方程▲，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是，那么▲处的数字是 　　．
【解答】解：把代入方程，得▲，
解得▲．
故答案为：4．
题型4 利用等式的性质变形
【典例10】　（2024秋 巴楚县月考）根据等式的性质，下列各式变形正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解答】解：、若，则，选项正确，符合题意；
、若，则，选项错误，不符合题意；
、若，则，选项错误，不符合题意；
、，则，选项错误，不符合题意．
故选：．
【典例11】　（2023秋 蚌山区期末）设，，是有理数，则下列结论正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解答】解：、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
、原变形正确，故此选项符合题意；
、当时，原变形错误，故此选项不符合题意；
、应该是：若，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
【典例12】　（2024秋 建湖县期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为为常数）的形式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2） ．
【解答】解：（1），
两边同时加上3得：，
两边同时除以5得：；
（2），
，
，
，
．
一、选择题（共12小题）
1．（2024秋 柳州期末）下列各式中，是一次方程的是：　　
A． B． C． D．
2．（2024秋 田阳区期中）设，，是有理数，下列选项正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023秋 城关区校级期末）下列等式变形中，错误的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023秋 东西湖区期末）已知，则下列变形不一定成立的是　　
A． B． C． D．
5．（2023秋 城厢区校级期末）根据等式的性质，由可得　　
A． B． C． D．
6．（2024春 榆树市期末）下列方程的变形正确的是　　
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
7．（2023秋 龙川县校级期末）已知是方程的解，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
8．（2024秋 迎泽区校级月考）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有　　个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023秋 新绛县期末）下列方程中，解为的有　　
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2023秋 东莞市期末）若是方程的解，则　　
A．1 B．2 C． D．
11．（2023秋 湘西州期末）我们解一元一次方程时，要对方程进行合理变形．请问下列变形正确的是　　
A．变形得
B．变形得
C．变形得
D．变形得
12．（2023秋 新乐市期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程■中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数■是　　
A．6 B．5 C．4 D．1
二、填空题（共10小题）
13．（2024秋 杭州月考）若是方程的一个解，则的值是　　．
14．（2024秋 道里区校级月考）若是关于的一元一次方程，则的值是　　．
15．（2024秋 河东区校级月考）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 　　．（填序号）
16．（2024秋 海陵区校级期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为　　．
17．（2024秋 朝阳区校级期中）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 　　．
18．（2024秋 玄武区校级月考）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”，则“商解方程” 中的值为 　　．
19．（2024秋 玄武区校级月考）关于的方程的解是整数，则整数所有取值的和为 　　．
20．（2023秋 驿城区校级期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 　　．
21．（2024秋 临平区月考）已知关于的方程的解是，则的值是 　　．
22．（2024秋 杭州月考）关于的方程，无论为何值，此方程的解总是，则 　　．
三、解答题（共4小题）
23．（2023秋 信州区期末）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设，即，将方程两边都，得，即，又因为，所以，所以，即，所以．
尝试解决下列各题：
（1）把化成分数为 　　．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数．
24．（2023秋 霍邱县期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如．
（1）当，时，成立吗？请通过计算说明理由；
（2）除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值．　　，　　．
25．（2023秋 临渭区期末）若是关于的一元一次方程的解，求，的值．
26．（2023秋 新城区校级期末）若关于的方程的解是，且和是同类项，求的值．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D B B C C B C D B
题号 12
答案 C
一、选择题（共12小题）
1．【答案】
【解答】解：、不是等式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
、没有未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
、是一元一次方程，故此选项符合题意；
、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
2．【答案】
【解答】解：、时，等式不成立，选项错误，不符合题意；
、若，则，选项正确，符合题意；
、时，不成立，选项错误，不符合题意；
、若，则，选项错误，不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
根据不等式性质1可得，，
选项不符合题意；
，
根据不等式性质1可得，，
选项不符合题意；
，
根据不等式性质2可得，，
选项不符合题意；
，
当时，根据不等式性质1可得，，
当时，不成立，
选项符合题意，
故选：．
4．【解答】解：，
成立，
选项正确；
时，不成立，
选项不正确；
，
成立，
选项正确；
，
成立，
选项正确．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：、，等式左边乘4，右边加4，无法判断等式是否成立，故选项错误；
、，等式两边同时乘以同一个数，结果相等，故本选项正确；
、，等式两边不是同时加上或减去同一个数，等式不成立，故本选项错误；
、，若，则等式不成立，故本选项错误．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：（A）由，得，故错误；
（B）由，得，故错误；
（D）由，得，故错误；
故选：．
7．【答案】
【解答】解：由条件可知：，
解得：．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：①，是一元一次方程；
②，不是方程；
③，是一元一次方程；
④，未知数次数是2，不是一元一次方程；
⑤，含有两个未知数，不是一元一次方程；
所以是一元一次方程的有①③，共2个，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：解①得，，不合；
解②得，，不合；
解③得，，不合；
解④得，，符合；
解⑤得，，符合；
解⑥得，，符合；
解为的有④⑤⑥，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：将代入，
，
，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：、变形得，故选项错误；
、变形得，故选项正确；
、变形得，故选项错误；
、变形得，故选项错误．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：将代入■得：■，
■，
解得：■，
故选：．
二、填空题（共10小题）
13．【答案】．
【解答】解：把代入方程中，得，
解得，
故答案为：．
14．【答案】1．
【解答】解：根据题意可知，是关于的一元一次方程，
．
故答案为：1．
15．【答案】③④．
【解答】解：①，不是方程；
②，不是方程；
③，是方程；
④，是方程；
⑤，不是方程；
故是方程的为③④，
故答案为：③④．
16．【答案】．
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得，
解得．
故答案为：．
17．【答案】8．
【解答】解：是关于的方程的解，
即，
，
，
故答案为：8．
18．【答案】．
【解答】解：，
，
，
关于的一元一次方程是“商解方程”，
，
解得：．
故答案为：．
19．【答案】8．
【解答】解：移项、合并，得，
解得，
为整数，为整数，
，，
解得或3或5．
整数所有取值的和，
故答案为：8．
20．【答案】1．
【解答】解：关于的方程是一元一次方程，
且，
解得．
故答案为：1．
21．【答案】7．
【解答】解：把代入方程中，得，
解得，
，
故答案为：7．
22．
【解答】解：把代入关于的方程中，得，
，
根据题意得，，，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（共4小题）
23．
【解答】解：（1）设，即，
将方程两边都，得，
即，
又因为，所以，所以，即．
故答案为：．（2分）
（2）设，即，
将方程两边都，得，
即，又因为，
所以，所以，即，
所以．（6分）
24．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）；4．
【解答】解：（1）成立，理由如下：
把，分别代入原等式左右两边，
左边，
右边，
左边右边，
成立；
（2）当，，
左边，
右边，
左边右边，
成立；
故答案为：，4（答案不唯一）
25．【答案】，．
【解答】解：因为方程是关于的一元一次方程，
所以，所以．
将代入原方程中，得，
解得．
26．【答案】．
【解答】解；关于的方程的解是，
，
解得；
和是同类项，
，，
．

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