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题型1 三角形的三边关系及应用 6
题型2 三角形的高、中线、角平分线“三线”综合 7
题型3 三角形的周长问题 9
题型4 三角形的面积问题 11

◆ 知 识 清 单 ◆
1．角的定义 （1）“静止”的观点 （2）“运动”的观点 2．角的度量单位和换算 （1）角的度量单位：度、分、秒 （2）角度制 （3）角的换算 （4）平角和周角 3．方向角 4．角的比较与运算 5．角的平分线 6．余角和补角 （1）余角、互余 （2）补角、互补 （3）余角的性质：同角（等角）的余角相等． （4）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
1．角
（1）角及相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）表示方法：
①用三个大写字母及符号“∠”表示．
三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．
②用一个大写字母表示角，这个字母就是顶点．
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
③用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
2．角的度量与换算：
（1）把圆周角等分成360等分，每一份就是1度的角，记作1°．
（2）把1度的角等分成60等分，每一份就是1分的角，记作1′．
（3）把1分的角等分成60等分，每一份就是1秒的角，记作1″．
（4）由此我们可以得出：
①1°=60′，1′=60″．②1周角=360°，1平角=180°．
（5）以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．
（6）另外还有以弧度为单位的弧度制，军事上常用密位制．
1弧度==57°17′44″，1密位=．
（7）用量角器度量角分三步：对中、重合、读数．
3．方向角：
以正北、正南方向为基准，配以偏东或偏西的角度来描述物体所在的方向，这种表示物体方位的方法叫做方向角．
4．角的比较与运算：
（1）角的大小比较方法：叠合比较、度量比较、观察比较．
（2）角的运算
①度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；
②度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60'，借1'就相当于60"；
③度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60"就相当于1'，60'就相当于1°．
④度分秒除法：余1°就相当于60'，余1'就相当于60" ．
5．角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
6．余角和补角：
（1）概念
①余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
②补角：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质
①同角（等角）的余角相等．
②同角（等角）的补角相等．
1．角的概念 （1）构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． （2）角的大小与角的两边的长短无关，与角的两边张开的幅度有关． （3）当一个顶点处有2个或2个以上的角时，不能用一个大写字母表示角． （4）角的符号“∠”不能写成小于号“<”． （5）通常所说的角，一般都是指小于平角的角．如两条直线相交，构成了4个角，这4个角中就不包含平角及大于平角的角． （6）用三个大写字母表示角，适用于任何情况下的角，但必须把表示顶点的字母写在中间． 2．角的度量 （1）若无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都是指大于0°而小于180°的角． （2）除角度制外，还有其他度量角的单位制．例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等． （3）角的两边是射线，无法度量，而角是可以度量的，因此角可以比较大小，也可以参与运算． （4）度、分、秒的换算是60进制，要防止与常用的十进制相混淆，不要误认为145′=14.5°． 3．角的大小比较 （1）度量法和叠合法两种方法相比，度量法更精确，叠合法更直观． （2）角的比较除了度量法和叠合法，还有估测法，当两个角的大小差别比较明显时，可以用此法． （3）用叠合法比较角的大小时，一定要将角的另一边落在重合边的同侧． （4）角的大小具有传递性：若∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1>∠3． 4．角的运算 （1）角度的加减如同数的加减一样，可以列竖式计算，但必须把相同角度单位的数据对齐，做加法时，够60秒进1分，够60分进1度；反之，作减法不够减时要从高位“借”，借1度顶60分，借1分顶60秒． （2）角的和（差）还是一个角，角的和差的度数就是它们度数的和差． 5．角的平分线 （1）角的平分线必须满足的三个条件： ①从角的顶点引出的射线； ②在角的内部； ③平分角． 三者缺一不可． （2）角的平分线是一条射线，不是直线或线段． （3）判断角的平分线的方法： 是否为射线→射线是否在角的内部→是否将角平分． 6．余角和补角 （1）一个角的余角（补角）可以有多个，但它们的度数都相等． （2）若两个角互余，则这两个角一定是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角、一个钝角． （3）当互补的两个角有公共顶点和一条公共边，且不重叠时，这两个角又称为邻补角．互补的角不一定是邻补角，但邻补角一定互补． （4）余角、补角是成对出现的，单独一个角不能称为余（补）角，三个或更多的角也不能称为余（补）角． （5）两个角是否互余（或互补），只与这两个角的度数有关，与它们的位置无关． 7．方位角 （1）方位角的写法 ①方位角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如：“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°” ②东北、东南、西北、西南四个方向，特指北偏东45°南偏东45°北偏西45°南偏西45°这四个方向． （2）方位角是相对的，就是说，要考察点A在什么方向，必须先定一个参照点，即点A是相对于哪个点来说的．如若点A在点B的北偏东50°方向，则点B在点A的南偏西50°方向．
最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密(Ptolemaeus，约90-168)的《天文学大成》托勒密在书中将圆周分为360等份，将1份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制.
题型1 方位角
【典例1】　（2023秋 台江区校级期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走到点，乙从点出发走到点，若，则乙从点出发沿　　方向走到点．
A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南
【答案】
【解答】解：由题意得：与正东方向的夹角为，
，
与正南方向的夹角为，
即乙从点出发沿南偏西方向走到点，
故选：．
【典例2】　（2024秋 大同期中）如图是，，三个村庄的平面示意图，已知村在村的南偏西方向上，村在村的南偏东方向上，村在村的北偏东方向上，则从村观测，两村的视角的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由添加可知，
，
，
，
由三角形内角和是可得：
．
故选：．
【典例3】　（2023秋 邢台期末）如图，下列说法中错误的是　　
A．方向是北偏东 B．方向是北偏西
C．方向是南偏西 D．方向是东南方向
【答案】
【解答】解：、方向是北偏东，此选项错误；
、方向是北偏西，此选项正确；
、方向是南偏西，此选项正确；
、方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有．
故选：．
题型2 钟表中的角度问题
【典例4】　（2024秋 榆树市校级期末）如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，
钟表上10时10分钟时，时针从10时转过10分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从12的位置顺时针转了，
时10分钟时分针与时针的夹角．
故选：．
【典例5】　（2024秋 双辽市期末）8点30分的时候，时针与分针所夹的锐角度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
点30分分针与时针的夹角是．
故选：．
【典例6】　（2024秋 西乡塘区校级月考）一节课40分钟，分针所转过的角度是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】由题意得：，
一节课40分钟，分针所转过的角度是，
故选：．
题型3 度、分、秒的换算
【典例7】　（2024秋 光明区期中）　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，
故选：．
【典例8】　（2023秋 平定县期末）若，则用度、分、秒表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．
故选：．
【典例9】　（2023秋 沂南县期末）若，则用度、分、秒表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．
故选：．
题型4 角的计数与规律探究
【典例10】　（2024秋 肇州县校级期中）如图，从点出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】
【解答】解：组成一个角需要2条射线，
选取任意一条射线，由它组成的锐角有（个，
则5条射线可以组成的锐角共（个．
故选：．
【典例11】　（2023秋 泗县期末）如图，已知，在内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当内有条射线时，角的个数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画条射线所得的角的个数为：
．
故选：．
【典例12】　（2023秋 平泉市期末）如图，从点出发的四条射线．可以组成角的个数为　　
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】
【解答】解：从点出发的四条射线，可以组成角的个数为：
．
故选：．
题型5 比较角的大小
【典例13】　（2024秋 泊头市期中）已知，，，下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：将转化为度的形式为：，
，
，
故选：．
【典例14】　（2024秋 滦州市期中）已知是内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线，则　　
A． B．
C． D．与无法比较大小
【答案】
【解答】解：当时，，
所以与无法比较大小；
故选：．
【典例15】　（2023秋 沂水县期末）比较与的大小，把它们的顶点和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则　　
A．落在的内部 B．落在的外部
C．和重合 D．不能确定的位置
【答案】
【解答】解：根据题意得，落在的内部，
故选：．
题型6 角的运算
【典例16】　（2023秋 五莲县期末）如图，是的角平分线，，，则的度数等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，，
，
，
是的角平分线，
，
．
故选：．
【典例17】　（2023秋 新干县期末）计算　　．
【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
【典例18】　（2024秋 朝阳区校级期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，其中．
（1）若，则 　　；若，则 　　．
（2）写出与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1），；
（2），理由见解析．
【解答】解：（1），，
，
，
；
，，
，
，
；
故答案为：，；
（2），理由：
，
，
．
题型7 角的平分线
【典例19】　（2024秋 秦淮区校级月考）如图，已知，，平分，平分，则的度数是　　
A． B． C． D．不能计算
【答案】
【解答】解：，，
，
平分，平分，
，，
．
故选：．
【典例20】　（2023秋 西安期末）如图，为直线上一点，作射线，，，其中为的平分线，为的平分线，求的度数．
【答案】．
【解答】解：为直线上一点，
，
为的平分线，为的平分线，
，，
．
．
【典例21】　（2024秋 高陵区期末）【问题背景】
如图，是内部的一条射线，是 内部的一条射线，是内部的一条射线．
【初步探究】
（1）如图1，已知，是的角平分线．
①则　　；
②若，是的角平分线，求的度数；
【拓展提升】
（2）如图2，若，，且，求的度数．
【答案】（1）①15，②；
（2）．
【解答】解：（1）①，是的角平分线，
，
故答案为：15；
②，是 的平分线，
，
，
，
平分，
；
（2）设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型8 余角和补角
【典例22】　（2024秋 门头沟区期末）已知，若与互补，与互余，则　　．
【解答】解：，与互补，
，
，
与互余，
，
，
故答案为：10．
【典例23】　（2024秋 沙坡头区校级期末）已知一个角的补角为，则这个角的余角的度数为　　．
【答案】．
【解答】解：设这个角为，则补角为，余角为，
由题意得，，
解得：，
．
即这个角的余角的度数为．
故答案为：．
【典例24】　（2024秋 肃南县校级期末）已知与互补，射线平分，设，．
（1）如图1，在的内部，当与互余时，求的值；
（2）如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数）
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）与互余，
，
与互补，延长于．
，
，
，
，
．
（2），
，
射线平分，
，
与互补，
，
，
，
，
，
．
一、选择题（共10小题）
1．（2023秋 岳阳期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024秋 泊头市期中）如图1，点，，依次在直线上；如图2，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒．下列说法正确的是　　
A．当值为10秒时，
B．整个运动过程中，不存在的情况
C．当时，两射线的旋转时间一定为20秒
D．当值为36秒时，射线恰好平分
3．（2024秋 市中区校级期末）如图，是直角顶点重合的一副三角板，若，下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
4．（2024秋 单县期末）的补角是，则它的余角是　　
A． B． C． D．以上均不对
5．（2023秋 长沙期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，观测到小岛在它的南偏西的方向上，则的度数是　　
A． B． C． D．
6．（2023秋 长丰县期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中与一定互余的是　　
A． B．
C． D．
7．（2024秋 文山市期末）若，则补角的大小是　　
A． B． C． D．
8．（2024秋 肃南县期末）如图，数学活动课上，老师以直线上一点为端点在的上方作射线，，，，使平分，平分，则与的关系为　　
A．与互余 B．与互补
C． D．
9．（2024秋 九台区期末）下列角度的计算或换算正确的是　　
A． B．
C． D．
10．（2024秋 长春期末）如图，一辆快艇从处出发向正北航行到处时向左转航行到处，再向右转继续航行，此时航行方向为　　
A．西偏北 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东
二、填空题（共10小题）
11．（2024秋 门头沟区期末）若，，则 　　．
12．（2024秋 河东区期末）计算：　 　度．
13．（2023秋 广元期末）如图，在灯塔处观测到轮船位于西偏北方向，同时观测到轮船在南偏东方向，则的度数是 　　．
14．（2023秋 天山区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点落在处，为折痕，平分，若，则　　．
15．（2024秋 历城区期末）如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，的度数为 　　．
16．（2024秋 榆树市校级期末）如图，小明一家去长白山游玩，小明站在点处，有一千年古树在点处，则从点看点的方向是 　　．
17．（2024秋 长春月考）如图，点，0，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为　　．
18．（2024秋 长春月考）如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是 　　．
19．（2024秋 长春月考）已知，那么补角的大小为　　．
20．（2024秋 长春期末）如图，射线、、在内部，是的平分线，是的平分线．若，，则的大小为 　　度．
三、解答题（共6小题）
21．（2024秋 市中区校级期末）如图1，一直角三角尺的直角顶点在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点顺时针旋转，且平分，平分，如图2．
（1）如图2，当时，
①求和的度数；
②求的度数．
（2）在直角三角尺旋转过程中，设，若，则
①求和的度数（用含的代数式表示）；
②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
22．（2024秋 门头沟区期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，平分，求的度数；
（3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．
23．（2024秋 沈阳校级期末）已知，是过点的一条射线，，分别平分，．
（1）如图①，如果射线在的内部，，则　　；
（2）如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则　　；
（3）如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数．
24．（2024秋 绥阳县期末）（1）理解计算：如图①，，．射线平分，平分，求的度数；
（2）拓展探究：如图②，，，为锐角）．射线平分，平分，求的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段，延长线段到，使得，点，分别为，的中点，求的长．
25．（2024秋 达日县期末）已知一副直角三角尺和，，，，．
（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 　　；
（2）将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数；
（3）如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动、均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．
26．（2024秋 怀化期末）如图1，已知射线，，，．
（1）若，且，求的度数．
（2）若，是的平分线，是的平分线，求的度数．
（3）若，，分别是和的平分线，，求的度数．
（4）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
①若平分，且为的“分余线”，则　　；
②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B C C D C C D
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：图①，，互余；
图②，根据同角的余角相等，；
图③，，互补．
图④，根据等角的补角相等；
故选：．
2．【答案】
【解答】解：、当时，
顺时针旋转，
逆时针旋转，
此时，故选项错误；
、设旋转时，，
当时，有，，
则有，
解得：，
整个运动过程中，存在的情况，故选项错误；
、设旋转时，，
当时，有，，
则有，
解得：，
当时，有，，
则有，
解得：，
两射线的旋转时间为20秒或80秒时，故选项错误；
、当时，，
，
，
恰好平分，故选项正确．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：根据题意可知，
，
，故，正确，不符合题意；
，故错误，符合题意；
，故正确，不符合题意；
故选：．
4．【答案】
【解答】解：的补角是，
，
它的余角．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：如图所示：
根据方向角的定义得：，，
，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：中的，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：，
的补角．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：平分，平分，
，，
，
故选：．
9．【答案】
【解答】解：、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
、，正确，故此选项符合题意；
、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
10．【答案】
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
此时航行方向为北偏东．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
12．【解答】解：根据度、分是60进位制的，得，
故答案为：25.7．
13．【答案】．
【解答】解：如图：
由题意得：，，，
，
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：平分，若，
，
，
折叠顶点落在处，为折痕，
，
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：由正方形性质可得，
，
桌布折叠两次可得，
，，
，
，
，
的度数为．
故答案为：．
16．【答案】南偏东．
【解答】解：观察图可知，从点看点的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
17．【答案】．
【解答】解：，，
．
．
，
．
平分，
．
．
故答案为：．
18．【答案】①②③．
【解答】解：①为直线上一点，
，
，
，
故结论①正确；
②为直线上一点，
，
，
，
平分，
，
故结论②正确；
③设，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故结论③正确；
④假设平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
根据已知条件，无法确定，
故结论④不正确，
综上所述：结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
19．【答案】．
【解答】解：，
的补角，
故答案为：．
20．【答案】30．
【解答】解：平分，平分，
，．
．
．
故答案为：30．
三、解答题（共6小题）
21．
【解答】解：（1）①，
由题意得，△是直角三角形，
，
，
②平分，
，
平分，
，
；
（2）①，
△是直角三角形，
，
，
，
②平分，
，
平分，
，
，
的度数没有发生变化．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）；．
【解答】解：（1），
，
是直角，
，
，
平分，
，
；
（2）平分，平分，
，，
，
，
；
（3）①时，由题意得，
，
；
②时，
由题意得，
，
．
23．【答案】（1）40；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）、分别平分、，
，，
．
故答案为：40；
（2）、分别平分、，
，，
，
；
故答案为：；
（3）分两种情况：
①如图：
、分别平分、，
，，
，
；
②如图：
、分别平分、，
，，
，
．
综上所述，的度数为或．
24．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解答】解：（1），
射线平分，
，
平分，
，
．
（2），
射线平分，
，
平分，
，
．
（3），，
，
点，分别为，的中点，
，，
．
故答案为：．
25．
【解答】解：（1）依题意得：，，
，
故答案为：；
（2），，恰好平分，
，
；
（3）的度数不发生变化，始终等于，理由如下：
，，
，
平分，平分，
，，
，
．
26．【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）①；
②或．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
；
（2）是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
，
；
（3）如图：
，
设，，，
，分别是和的平分线，
，，
，
，
即：，
解得：，
；
（4）①平分，且为的“分余线”，
，且，
，
，
，
故答案为：；
②如图2，
为的平分线，
，
为的“分余线”，
或，
若时，
令，
则，，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
若时，
令，则，
，，
，
，
解得：，
．
综上所述，为或．

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