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第十七章 勾股定理
人教版八年级（下）第十七章
17.2 勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数 ； （重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
1.直角三角形有哪些性质
（3）勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方；
2.直角三角形的判定有哪些？
（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形.
（2）两个内角互余的三角形是直角三角形.
想一想：我们是否可以不用角,而用三角形三边的关系来判断三角形是否为直角三角形呢
知识回顾
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
32+42=52
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗
情境导入
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下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c.
（1）2.5，6，6.5；（2）6，8，10.
（3）1.5, 2, 2.5；（4）5，12,13.
动手画一画
（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
由上面几个例子你发现了什么吗
新知探究
（1）三个数满足：a2+b2=c2吗？
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
新知探究
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
A　
B　
C　
a
b
c
a
b
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC是直角三角形
A′
B′
C′
命题证明
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理：
b
c
C
a
B
A
语言表示为：
如图所示
在△ABC中，
∵ a2 + b2 = c2
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足较短两条边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
注意：
归纳总结
如果一个三角形的三边a，b，c，满足：a2+b2= c2，则这个三角形是直角三角形.
如果一个三角形的三边a，b，c，满足：a2+b2>c2，则这个三角形是锐角三角形.
如果一个三角形的三边a，b，c，满足：a2+b2用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
一“找”：
比较a，b，c的大小，找出最长边；
二“算”：
计算较短两边的平方和，与最长边的平方；
判断三角形是否是直角三角形，若较短两边的平方和等于较长边的平方，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角.
三“判”：
归纳总结
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么：a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
观察下面两个命题：
你发现了什么？
新知探究
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
发现1 两个命题的条件和结论如下所示：
发现2 两个命题的条件和结论有如下联系：
新知探究
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
1.互逆命题：
2.互逆定理：
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理为互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
归纳总结
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行.
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
真命题
假命题
真命题
　 任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
针对性练习
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方.
(2) a=13，b=15，c=14
解:(1)
∵152+82
172 =289
∴ 152+82 =172
∴ 以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形，且b边所对的角是直角.
(2)
∵132+142
152 =225
∴132+142≠152
∴ 以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形
(1) a=15，b=17，c=8;
典例精析
=225+64
=289
=169+196
=365
D
C
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ）
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
巩固新知
3.三角形的三边a，b，c满足条件 ，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
4.下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. a=8，b=15，c=17 B. a=9，b=12，c=15
D. a：b：c=2：3：4
巩固新知
∴△ABC是直角三角形.
例2：若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,
c = ，试说明△ABC是直角三角形.
解：
∵a+b=4,ab=1,
∴ a2+b2=
(a+b)2-2ab
=16-2=14.
又∵ c2=14,
∴ a2+b2=c2,
典例精析
1.若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50
=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.
巩固练习
2.△ABC的三边a，b,c，满足
,
试判断△ABC的形状.
下列各组数有什么共同特点？
（1）3，4，5
（2）5，12，13
（3）6，8，10
（4）7，24，25
根据勾股定理的逆定理得：
我们发现：
这样的数叫什么呢？
新知探究
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
注意：
归纳总结
勾股数满足的条件：
1）三个数必须是正整数；
2）两个较小正整数的平方和必须等于最大正整数的平方.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
巩固新知
常见勾股数
3，4，5
5，12，13
6，8，10
7，24，25
8，15，17
9，40，41
10，24，26
15，20，25
...等等
例3.如图所示，在△ABC中，AB=5, BC=12, AC=13,求△ABC的面积.
C
B
12
A
5
13
解：
典例精析
例4 一个零件的形状,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗
A
B
C
D
3
4
5
12
13
∴这个零件符合要求.
∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.
解：在△ABD中，
在△BCD中，
∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
典例精析
例5 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，
BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
B
C
D
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC 2+CD 2=52+122=169=AD 2
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°
典例精析
1.下列各组数是勾股数的是( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
的三角形( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
当堂练习
3.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.
当堂练习
4. 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.
A
B
C
D
3
4
12
13
课堂小结

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