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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第2讲　整式与因式分解
代数式及其求值
代数式 的定义 用运算符号把数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母都是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来
直接 代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体 代入法 当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如：找倍数关系、因式分解、移项等
整式的相关概念
单项式 由数或字母的积表示的式子．单独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式的系数：单项式中的数字因数． 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和
多项式 由几个单项式的和组成的代数式． 每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项． 多项式的次数是指多项式中次数最高项的次数
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项
整式的运算
1．加减运算(实质：合并同类项)
合并 同类项 (1)字母和字母的指数不变； (2)系数相加减作为新的系数
去括号 法则 (1)括号前是“＋”号，去括号后，括号内各项不变号，如：a＋(b＋c)＝a＋b＋c； (2)括号前是“－”号，去括号后，括号内每一项都变号，如：a－(b＋c)＝a－b－c
2.幂的运算(a≠0，b≠0，m，n均为正整数)
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n
同底数幂相除 底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn
积的乘方 先把积中的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即(ab)n＝anbn
3.乘除运算
单项式 乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式 乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
多项式 乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2； 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 　　　
单项式除 以单项式 将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除 以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
因式分解
定义 把一个多项式表示成若干个整式的乘积的形式
基本 方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)； (2)公式法： a2－b2(a＋b)(a－b)； a2±2ab＋b2(a±b)2
步骤 (1)一提：有公因式的先提公因式； (2)二套：提取公因式后，用公式法： a.当多项式为两项时，考虑用平方差公式； b.当多项式为三项时，考虑用完全平方公式； (3)三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式
【夺分宝典】
公因式的确定
命题点1　代数式及整式的相关概念
1．(2023·宜昌)在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述正确的是(　D　)
A．左上角的数字为a＋1
B．左下角的数字为a＋7
C．右下角的数字为a＋8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
2．(2019·黄冈)－x2y是三次单项式．
3．(2020·十堰)已知x＋2y＝3，则1＋2x＋4y＝7．
命题点2　整式的运算
4．(2024·湖北)计算2x·3x2的结果是(　D　)
A．5x2 B．6x2
C．5x3 D．6x3
5．(2023·武汉)计算(2a2)3的结果是(　D　)
A．2a6 B．6a5
C．8a5 D．8a6
6．(2023·襄阳)下列各式中，计算结果等于a2的是(　B　)
A．a2·a3 B．a5÷a3
C．a2＋a3 D．a5－a0
7．(2023·恩施州)下列运算正确的是(　C　)
A．(m－1)2＝m2－1 B．(2m)3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2＋m5＝m7
8．(2024·武汉)下列计算正确的是(　B　)
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12
C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
9．(2023·黄石)下列运算正确的是(　D　)
A．3x2＋2x2＝6x4
B．(－2x2)3＝－6x6
C．x3·x2＝x6
D．－6x2y3÷2x2y2＝－3y
10．(2023·随州)设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(　C　)
　
A．6 B．7 C．8 D．9
11．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)先化简，再求值：4xy－2xy－(－3xy)，其中x＝2，y＝－1.
解：4xy－2xy－(－3xy)
＝4xy－2xy＋3xy
＝5xy.
当x＝2，y＝－1时，原式＝5×2×(－1)＝－10.
命题点3　因式分解
12．因式分解：
(1)(2023·恩施州)a(a－2)＋1＝(a－1)2；
(2)(2023·黄石)x(y－1)＋4(1－y)＝(y－1)(x－4)；
(3)(2022·恩施州)a3－6a2＋9a＝a(a－3)2；
(4)(2022·黄石)x3y－9xy＝xy(x＋3)·(x－3)．
13．(2023·十堰)若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是6．
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第2讲　整式与因式分解
代数式及其求值
代数式 的定义 用运算符号把数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母都是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来
直接 代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体 代入法 当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如：找倍数关系、因式分解、移项等
整式的相关概念
单项式 由数或字母的积表示的式子．单独的一个数或一个字母也是单项式． 单项式的系数：单项式中的因数． 单项式的次数：单项式中
多项式 由几个单项式的和组成的代数式． 每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项． 多项式的次数是指多项式中次数项的次数
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项
整式的运算
1．加减运算(实质：合并同类项)
合并 同类项 (1)字母和字母的不变； (2)系数相加减作为新的系数
去括号 法则 (1)括号前是“＋”号，去括号后，括号内各项不变号，如：a＋(b＋c)＝； (2)括号前是“－”号，去括号后，括号内每一项都变号，如：a－(b＋c)＝
2.幂的运算(a≠0，b≠0，m，n均为正整数)
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an＝
同底数幂相除 底数不变，指数相减，即am÷an＝
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即(am)n＝
积的乘方 先把积中的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即(ab)n＝
3.乘除运算
单项式 乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式 乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
多项式 乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
乘法 公式 平方差公式：； 完全平方公式： 　　　
单项式除 以单项式 将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除 以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
因式分解
定义 把一个多项式表示成若干个整式的乘积的形式
基本 方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝； (2)公式法： a2－b2； a2±2ab＋b2
步骤 (1)一提：有公因式的先提公因式； (2)二套：提取公因式后，用公式法： a.当多项式为两项时，考虑用公式； b.当多项式为三项时，考虑用公式； (3)三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式
【夺分宝典】
公因式的确定
命题点1　代数式及整式的相关概念
1．(2023·宜昌)在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述正确的是(　　)
A．左上角的数字为a＋1
B．左下角的数字为a＋7
C．右下角的数字为a＋8
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
2．(2019·黄冈)－x2y是次单项式．
3．(2020·十堰)已知x＋2y＝3，则1＋2x＋4y＝．
命题点2　整式的运算
4．(2024·湖北)计算2x·3x2的结果是(　　)
A．5x2 B．6x2
C．5x3 D．6x3
5．(2023·武汉)计算(2a2)3的结果是(　　)
A．2a6 B．6a5
C．8a5 D．8a6
6．(2023·襄阳)下列各式中，计算结果等于a2的是(　　)
A．a2·a3 B．a5÷a3
C．a2＋a3 D．a5－a0
7．(2023·恩施州)下列运算正确的是(　　)
A．(m－1)2＝m2－1 B．(2m)3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2＋m5＝m7
8．(2024·武汉)下列计算正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12
C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
9．(2023·黄石)下列运算正确的是(　　)
A．3x2＋2x2＝6x4
B．(－2x2)3＝－6x6
C．x3·x2＝x6
D．－6x2y3÷2x2y2＝－3y
10．(2023·随州)设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a＋b、宽为2a＋2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(　　)
　
A．6 B．7 C．8 D．9
11．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)先化简，再求值：4xy－2xy－(－3xy)，其中x＝2，y＝－1.
命题点3　因式分解
12．因式分解：
(1)(2023·恩施州)a(a－2)＋1＝；
(2)(2023·黄石)x(y－1)＋4(1－y)＝；
(3)(2022·恩施州)a3－6a2＋9a＝；
(4)(2022·黄石)x3y－9xy＝．
13．(2023·十堰)若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是．
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第一章 数与式
第2讲 整式与因式分解
01 咏 雪
考点精讲精练
知识点1　代数式及其求值
代数式的定义 用运算符号把数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母都是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来
直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如：找倍数关系、因式分解、移项等
多项式 由几个单项式的和组成的代数式．
每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数是指多项式中次数______项的次数
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项
知识点2　整式的相关概念
单项式 由数或字母的积表示的式子．单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式的系数：单项式中的______因数．
单项式的次数：单项式中____________________
数字
所有字母的指数的和
最高
知识点3　整式的运算
1．加减运算(实质：合并同类项)
合并 同类项 (1)字母和字母的______不变；
(2)系数相加减作为新的系数
去括号 法则 (1)括号前是“＋”号，去括号后，括号内各项不变号，如：a＋(b＋c)＝____________；
(2)括号前是“－”号，去括号后，括号内每一项都变号，如：a－(b＋c)＝____________
指数
a＋b＋c
a－b－c
2.幂的运算(a≠0，b≠0，m，n均为正整数)
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an＝_______
同底数幂相除 底数不变，指数相减，即am÷an＝______
幂的乘方 底数不变，指数相乘，即(am)n＝_______
积的乘方 先把积中的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即(ab)n＝____________
am＋n
am－n
amn
anbn
3.乘除运算
单项式 乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式 乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
多项式 乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
单项式除 以单项式 将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除 以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
知识点4　因式分解
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
步骤 (1)一提：有公因式的先提公因式；
(2)二套：提取公因式后，用公式法：
a.当多项式为两项时，考虑用________公式；
b.当多项式为三项时，考虑用__________公式；
(3)三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式
平方差
完全平方
D
三
7
D
D
B
C
B
D
C
(a－1)2
(y－1)(x－4)
a(a－3)2
xy(x＋3)·(x－3)
6
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