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题型专练01 相交线（6大题型）
目录概览
题型一 相交线的概念、画法以及交点个数问题
题型二 对顶角、邻补角的识别以及有关计算
题型三 垂线的识别、画法以及有关计算
题型四 垂线段最短的应用
题型五 点到直线的距离的画法以及有关计算
题型六 同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
题型一 相交线的概念、画法以及交点个数问题
1．（2024春 襄都区月考）下列图形满足“直线与直线相交，点既在直线，又在直线上”的是　　
A． B．
C． D．
2．（2023秋 平顶山期末）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是　　
A．点在直线上 B．直线，，两两相交
C．点是直线，的交点 D．直线经过点
3．（2023 衡水二模）如图，若线段与线段有一个公共点，则点可以是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2023春 攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为　　
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
5．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（2024春 太和县月考）在同一平面内画四条直线，设直线交点个数的最大值是，最小值是，则　　．
7．（2022秋 永州期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有　　个交点．
题型二 对顶角、邻补角的识别以及有关计算
8．（2024秋 南岗区校级期中）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
9．（2024春 端州区校级期中）如图，直线，相交，，则等于　　
A． B． C． D．
10．（2023秋 长沙期末）如图，直线与相交于点，与互余，，则的度数是　　
A． B． C． D．
11．（2023秋 铜梁区期末）如图，直线，相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为　　
A． B． C． D．
12．（2024春 铜梁区校级期中）如图，直线，，交于点，，，则　　．
13．（2023秋 陆丰市期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为 　　．
14．（2024春 顺平县期末）如图，直线与相交于点，，，，在此推理过程中，与相等的理由是 　　．
15．（2023秋 石城县期末）如图，直线，相交于点，平分，平分
（1）判断与的位置关系，并进行证明．
（2）若，求的度数．
16．（2023秋 翠屏区期末）如图，直线、相交于点，平分，且比大，求的度数．
题型三 垂线的识别、画法以及有关计算
17．（2024春 南沙区期末）如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是　　
A． B．
C． D．
18．（2024春 陈仓区期中）如图，直线，相交于点，，平分，则的度数是　　
A． B． C． D．
19．（2024春 南宁期中）下列选项中，过点作直线的垂线，三角板放置正确的是　　
A． B．
C． D．
20．（2024春 韩城市校级月考）如图，已知是的平分线，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
21．（2024春 邹平市期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是　　
A．0 B．1 C．2 D．无数
22．（2024春 海珠区期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为　　．
23．（2024秋 桥西区校级期中）如图，，点，，在同一条直线上，若，则的度数是 　　．
24．（2024春 白河县期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
25．（2024春 端州区校级期中）如图，直线，相交于点，于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求，的度数．
26．（2024春 宁江区校级期中）如图，直线、相交于点，，垂足为．
（1）直接写出的对顶角和邻补角；
（2）若，则的度数为 　　．
27．（2023秋 盐都区期末）如图，直线，相交于点，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）猜想与之间的位置关系，并说明理由．
28．（2024春 濮阳期末）如图，直线、相交于点，，垂足为．
（1）若，则 　　；
（2）若，则 　　；
（3）猜想和的关系是 　　，并证明关系式成立．
题型四 垂线段最短的应用
29．（2024秋 南岗区校级期末）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是　　
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
30．（2024 惠州模拟）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是　　
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
31．（2023秋 颍州区校级期末）若点为直线外一点，点、、、为直线上的不同的点，其中，，，．那么点到直线的距离是　　
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
32．（2024春 长乐区期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在　　
A．点 B．点 C．点 D．点
33．（2024春 沈河区期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　　
A． B． C． D．
34．（2024春 吐鲁番市期末）如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　　．
35．（2023春 埇桥区期中）如图，为了解决、、、四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流中的水引入水厂中，使之到的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．
题型五 点到直线的距离的画法以及有关计算
36．（2024春 祥云县期末）如图，，于点，点到的距离是　　
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
37．（2023秋 松北区期末）在下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是　　
A． B．
C． D．
38．（2024春 红古区期中）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　
A． B．
C． D．
39．（2024春 北辰区期中）如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，．下列关于距离的语句：
①线段的长是点到直线的距离；
②，，三条线段中，最短；
③线段的长是点到直线的距离；
④线段是点到直线的距离．
其中正确的个数为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
40．（2024春 克州期末）若为直线外一定点，为直线上一点，且，为点到直线的距离，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
41．（2024春 宁远县期末）如图，在三角形中，于点，若、、，则点到直线的距离为 　　．
42．（2024春 江津区校级月考）如图，，，已知，，，则点到直线的距离是 　　．
43．（2024春 桐柏县期末）如图，在直角三角形中，，，，．
（1）点到的距离是 　　；点到的距是 　　．
（2）画出表示点到的距离的线段，并求这个距离．
44．（2023秋 市中区期末）（1）如图，已知、、三点，画射线、线段、直线；
（2）已知的面积为6，，求点到直线的最短距离．
45．（2024春 吉林月考）如图，在直角三角形中，，，，．
（1）点到的距离是 　　；点到的距离是 　　；
（2）画出表示点到的垂线段，并求出的长；
（3） 　　（填“”“ ”或“” ，理由是 　　．
题型六 同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
46．（2024春 青秀区校级月考）如图，下列说法正确的是　　
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
47．（2023秋 侯马市期末）下面四个图形中，与是同位角的是　　
A． B．
C． D．
48．（2023秋 长治期末）风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是　　
A． B． C． D．
49．（2024春 项城市校级期中）如图，与是同旁内角的是　　
A． B． C． D．
50．（2024春 石首市期末）如图所示的四个图形中，和是内错角的是　　
A．① B．② C．③ D．④
51．（2024春 南海区校级月考）两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）下列三幅图依次表示　　
A．同位角、内错角、同旁内角 B．内错角、同旁内角、同位角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
52．（2023秋 颍州区校级期末）如图，，，三条直线两两相交，下列说法错误的是　　
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
53．（2024春 聊城月考）如图，图中同位角一共　 　对、内错角一共　 　对、同旁内角有一共　 　对．
54．（2024春 宿迁月考）与是直线 　　、　　被直线 　　所截得的 　　．（填序号）
①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
55．（2024春 阿荣旗校级月考）如图，和 　　是同位角，和 　　是内错角，的邻补角是 　　．
56．（2024春 德城区校级月考）如图，有下列说法：①能与构成内错角的角的个数有2个；②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是 　　．
57．（2024春 闵行区期中）如图，直线和相交于点，下列判断：①和是同位角；②和是同位角；③和是内错角；④和是内错角；⑤和是同旁内角．其中正确的是 　　．（填序号）
58．（2024春 成县月考）如图，，相交于点，交于点，交于点．
（1）指出，被所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
（2）指出，被所截形成的内错角；
（3）指出，被所截形成的同旁内角．
59．（2024春 南宁期中）两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程．
解：，
　　，（平角定义）
　　． 　　
又， 　　
． 　　
60．（2023春 蒲城县期中）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
（1）求的度数；
（2）写出一个与互为同位角的角；
（3）求的度数．
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题型专练01 相交线（6大题型）
目录概览
题型一 相交线的概念、画法以及交点个数问题
题型二 对顶角、邻补角的识别以及有关计算
题型三 垂线的识别、画法以及有关计算
题型四 垂线段最短的应用
题型五 点到直线的距离的画法以及有关计算
题型六 同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
题型一 相交线的概念、画法以及交点个数问题
1．（2024春 襄都区月考）下列图形满足“直线与直线相交，点既在直线，又在直线上”的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据直线与直线相交，点既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论．
【解析】．直线与直线相交，点在直线，不在直线上，故本选项不符合题意；
．直线与直线相交，点不在直线，在直线上，故本选项不符合题意；
．直线与直线相交，点既在直线，又在直线上，故本选项符合题意；
．直线与直线相交，点既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意；
故选．
2．（2023秋 平顶山期末）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是　　
A．点在直线上 B．直线，，两两相交
C．点是直线，的交点 D．直线经过点
【答案】
【分析】结合图形，根据直线，，的位置关系，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解析】点在直线上，正确，
故选项正确，不符合题意；
直线，，两两相交，正确，
故选项正确，不符合题意；
点是直线，的交点，正确，
故选项正确，不符合题意；
直线经过点，不正确，
故选项不正确，符合题意．
故选．
3．（2023 衡水二模）如图，若线段与线段有一个公共点，则点可以是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【分析】把与各点的连线段画出来即可得到答案．
【解析】如图，
若线段与线段有一个公共点，则点可以是，
故选．
4．（2023春 攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为　　
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．
【解析】因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选．
5．按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】点在直线上，也在直线上，但不在直线上，即点是直线与直线的交点，是直线外的一点，依此即可作出选择．
【解析】点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线、、两两相交，
点是直线与直线的交点，是直线外的一点，
图形符合题意的是选项．
故选．
6．（2024春 太和县月考）在同一平面内画四条直线，设直线交点个数的最大值是，最小值是，则　6　．
【答案】6．
【分析】根据交点个数的最大值和最小值确定、的值，然后再得出答案即可．
【解析】在同一平面内，4条直线平行时，交点个数最少为0，4条直线两两相交时，交点个数最多为（个，
，，
．
故答案为：6．
7．（2022秋 永州期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有　28　个交点．
【答案】28．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解析】由已知总结出在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，
条直线两两相交，交点的个数最多为．
故答案为：28．
题型二 对顶角、邻补角的识别以及有关计算
8．（2024秋 南岗区校级期中）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义对各图形判断即可．
【解析】、与不是对顶角，故选项不符合题意；
、与不是对顶角，故选项不符合题意；
、与不是对顶角，故选项不符合题意；
、与是对顶角，故选项符合题意．
故选．
9．（2024春 端州区校级期中）如图，直线，相交，，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意可得，，由此即可求解．
【解析】，，
，
，
故选．
10．（2023秋 长沙期末）如图，直线与相交于点，与互余，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的定义，得．根据互余的定义，得．
【解析】和是对顶角，
．
，
．
故选．
11．（2023秋 铜梁区期末）如图，直线，相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用角平分线的性质、交的和差关系及平角的定义求出，再利用对顶角的性质求出，最后利用邻补角的性质得结论．
【解析】射线平分，射线平分，
，
，
．
．
，
．
故选．
12．（2024春 铜梁区校级期中）如图，直线，，交于点，，，则　　．
【答案】．
【分析】先根据平角的定义求出的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数．
【解析】，，
，
，
故答案为：．
13．（2023秋 陆丰市期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为 　　．
【分析】根据直角的定义可得，然后求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据求出，再根据对顶角相等解答．
【解析】是直角，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
14．（2024春 顺平县期末）如图，直线与相交于点，，，，在此推理过程中，与相等的理由是 　同角的补角相等　．
【答案】同角的补角相等．
【分析】根据同角的补角相等解答即可．
【解析】直线与相交于点，
，，
，
在此推理过程中，与相等的理由是同角的补角相等．
故答案为：同角的补角相等．
15．（2023秋 石城县期末）如图，直线，相交于点，平分，平分
（1）判断与的位置关系，并进行证明．
（2）若，求的度数．
【分析】（1）由平分、平分，可得出、，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出；
（2）由结合邻补角互补、对顶角相等，可求出的度数，根据平分、平分，可得出的度数以及，再根据邻补角互补结合，可求出的度数．
【解析】（1）．
证明：平分，平分，
，．
，
．
．
（2），，
．
，
，．
平分，平分，
，．
，
，
．
16．（2023秋 翠屏区期末）如图，直线、相交于点，平分，且比大，求的度数．
【答案】．
【分析】由平角的定义得，再由对顶角的性质得，由角平分线的定义得，由即可求解；
【解析】比大，
，
，
，
，
，
平分
，
．
题型三 垂线的识别、画法以及有关计算
17．（2024春 南沙区期末）如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解析】、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意；
、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意．
故选．
18．（2024春 陈仓区期中）如图，直线，相交于点，，平分，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由可得，根据平分，得，最后根据对顶角相等即可求解．
【解析】，
，
平分，
，
，
故选．
19．（2024春 南宁期中）下列选项中，过点作直线的垂线，三角板放置正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．
【解析】三角板有一个角是直角，
三角板的一条直角边与直线重合，
过点作直线的垂线，
三角板的另一条直角边过点，
符合上述条件的图形只有选项．
故选．
20．（2024春 韩城市校级月考）如图，已知是的平分线，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则．
【解析】是的平分线，，
，
，
，
，
故选．
21．（2024春 邹平市期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是　　
A．0 B．1 C．2 D．无数
【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可．
【解析】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．
故选．
22．（2024春 海珠区期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为　　．
【分析】直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案．
【解析】，射线平分，
，
，
．
故答案为：．
23．（2024秋 桥西区校级期中）如图，，点，，在同一条直线上，若，则的度数是 　　．
【答案】．
【分析】根据互余的性质求出的度数，根据互补的概念求出的度数．
【解析】，，
，
．
故答案为：．
24．（2024春 白河县期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【解析】（1）平分，，
，
，
，
；
（2）由于，可设，，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为．
25．（2024春 端州区校级期中）如图，直线，相交于点，于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求，的度数．
【答案】（1）见详解；（2）的度数为，的度数为．
【分析】（1）根据垂直定义可得，，结合已知可得，再根据与互补，即可解答；
（2）根据，可得，再根据，，从而求出的度数，即可求出和的度数．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，即，
．
的度数为；
（2）解：，
，
，
，即，
解得，
的度数为，的度数为．
26．（2024春 宁江区校级期中）如图，直线、相交于点，，垂足为．
（1）直接写出的对顶角和邻补角；
（2）若，则的度数为 　　．
【答案】（1）对顶角；邻补角、；
（2）．
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答；
（2）根据垂直定义可得，从而求出，利用邻补角进行计算即可解答．
【解析】（1）的对顶角是，的邻补角是和；
（2），
，
，
，
．
故答案为：
27．（2023秋 盐都区期末）如图，直线，相交于点，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）猜想与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2），理由见解答．
【分析】（1）由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，最后由平角定义可得结论；
（2）根据角平分线的定义，平角的定义可得结论．
【解析】（1），，
，
，
平分，
，
；
（2），理由如下：
设，，则，，
，
，
，即，
，
，
．
28．（2024春 濮阳期末）如图，直线、相交于点，，垂足为．
（1）若，则 　120　；
（2）若，则 　　；
（3）猜想和的关系是 　　，并证明关系式成立．
【答案】（1）120；
（2）150；
（3）；理由见解答过程．
【分析】（1）根据得，则，再根据可得出答案；
（2）根据得，则，再根据可得出答案；
（3）根据得，则，再根据可得出和的关系．
【解析】（1），
，
，
，
直线、相交于点，
；
故答案为：．
（2），
，
，
，
直线、相交于点，
；
故答案为：．
（3）和的关系是，证明如下：
，
，
，
直线、相交于点，
，
．
故答案为：．
题型四 垂线段最短的应用
29．（2024秋 南岗区校级期末）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是　　
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】
【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
【解析】在同一平面内，，，垂足为，则与重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选．
30．（2024 惠州模拟）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是　　
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解析】，
要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是垂线段最短．
故选．
31．（2023秋 颍州区校级期末）若点为直线外一点，点、、、为直线上的不同的点，其中，，，．那么点到直线的距离是　　
A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3
【答案】
【分析】利用垂线段最短的性质，得出点到直线的距离取值范围．
【解析】点为直线外一点，点、、、为直线上的不同的点，其中，，，，
点到直线的距离是小于3．
故选．
32．（2024春 长乐区期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【分析】根据垂线段最短可得答案．
【解析】根据垂线段最短可得：应建在处，
故选．
33．（2024春 沈河区期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据垂线段最短，得出当时，最小，利用等积法求出最小值即可．
【解析】过点作于点，如图所示：
，
，
，
垂线段最短，
当点与点重合时，最小，
即最小值为．
故选．
34．（2024春 吐鲁番市期末）如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　垂线段最短　．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解析】过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
35．（2023春 埇桥区期中）如图，为了解决、、、四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流中的水引入水厂中，使之到的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．
【分析】（1）线段和的交点即是水厂的位置．
（2）过点作直线的垂线段即可．
【解析】（1）
连接和，
线段和的交点点就是水厂的位置．
（2）理由是：垂线段最短．
题型五 点到直线的距离的画法以及有关计算
36．（2024春 祥云县期末）如图，，于点，点到的距离是　　
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】
【分析】根据点到直线的距离的定义即可得．
【解析】，即，
点到的距离是线段的长度，
故选．
37．（2023秋 松北区期末）在下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【解析】图、、中，线段不与直线垂直，故线段的长度不能表示点到直线的距离；
图中，线段与直线垂直，垂足为点，故线段的长度能表示点到直线的距离；
故选．
38．（2024春 红古区期中）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度．
【解析】线段的长表示点到直线距离的是图，
故选．
39．（2024春 北辰区期中）如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，．下列关于距离的语句：
①线段的长是点到直线的距离；
②，，三条线段中，最短；
③线段的长是点到直线的距离；
④线段是点到直线的距离．
其中正确的个数为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．
【解析】，
线段的长是点到直线的距离，
故①正确；
根据垂线段最短得：，，三条线段中，最短，
故②正确；
与不垂直，
线段的长不是点到直线的距离，
故③不正确；
，
线段的长是点到直线的距离，
故④不正确．
综上所述：正确的是①②，共2个．
故选．
40．（2024春 克州期末）若为直线外一定点，为直线上一点，且，为点到直线的距离，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案．
【解析】由垂线段最短可知：，
当时
此时
故选．
41．（2024春 宁远县期末）如图，在三角形中，于点，若、、，则点到直线的距离为 　3　．
【答案】3．
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，解题关
键掌握点到直线的距离，据此解决即可．
【解析】在三角形中，于点，
，
则点到直线的距离为，
故答案为：3．
42．（2024春 江津区校级月考）如图，，，已知，，，则点到直线的距离是 　12　．
【答案】12．
【分析】直接根据点到直线的距离的定义解答即可．
【解析】，，
点到直线的距离是12，
故答案为：12．
43．（2024春 桐柏县期末）如图，在直角三角形中，，，，．
（1）点到的距离是 　4　；点到的距是 　　．
（2）画出表示点到的距离的线段，并求这个距离．
【答案】（1）4，3．
（2）作图见解题过程，．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求．
（2）先画垂线段，再计算距离．
【解析】（1），，，
点到的距离是线段的长度，点到的距是线段的长度．
故答案为：4，3．
（2）如图：
作于点，则线段的长度就是点到的距离．
．
．
44．（2023秋 市中区期末）（1）如图，已知、、三点，画射线、线段、直线；
（2）已知的面积为6，，求点到直线的最短距离．
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【分析】（1）按要求作出相应的图形即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解析】如图，
（2）的面积为6，，
点到射线的距离为：．
45．（2024春 吉林月考）如图，在直角三角形中，，，，．
（1）点到的距离是 　4　；点到的距离是 　　；
（2）画出表示点到的垂线段，并求出的长；
（3） 　　（填“”“ ”或“” ，理由是 　　．
【答案】（1）4，3；（2）画图见解析，；（3），垂线段最短．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出的长即可；
（3）利用垂线段最短求解．
【解析】（1）由题意得：点到的距离是；点到的距是．
故答案为4，3；
（2）如图，为所作；
，
，
，
；
（3）．
理由是垂线段最短；
故答案为：，垂线段最短．
题型六 同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
46．（2024春 青秀区校级月考）如图，下列说法正确的是　　
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
【答案】
【分析】根据同位角和同旁内角的定义解答即可．
【解析】．与是同位角，该说法正确，故该选项符合题意；
．与是同旁内角，原说法错误，故该选项不符合题意；
．与是同位角，原说法错误，故该选项不符合题意；
．与是同旁内角，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选．
47．（2023秋 侯马市期末）下面四个图形中，与是同位角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据“同位角”的定义，结合各个选项中的两个角的位置进行判断即可．
【解析】由同位角的定义可知，
选项、选项、选项中的与都不是同位角；
选项中的与是直线、被直线所截所得到的同位角；
故选．
48．（2023秋 长治期末）风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解析】、与构成同位角，故符合题意；
、中的角与构成同旁内角，故不符合题意；
、与构成内错角，故不符合题意．
故选．
49．（2024春 项城市校级期中）如图，与是同旁内角的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解析】与是同位角；
与是内错角；
与是同旁内角；
与不是同旁内角；
故选．
50．（2024春 石首市期末）如图所示的四个图形中，和是内错角的是　　
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据内错角定义进行分析即可．
【解析】图①，和是同位角，
图②，和是内错角，
图③，和是同旁内角，
图④，和是同位角，
故选．
51．（2024春 南海区校级月考）两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）下列三幅图依次表示　　
A．同位角、内错角、同旁内角 B．内错角、同旁内角、同位角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
【答案】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
【解析】两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）上列三幅图依次表示同位角、内错角、同旁内角，
故选．
52．（2023秋 颍州区校级期末）如图，，，三条直线两两相交，下列说法错误的是　　
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是对顶角 D．与是同旁内角
【答案】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．
【解析】．与是直线、直线被直线所截，所得到的同位角，因此选项不符合题意；
．与是直线、直线被直线所截，所得到的同位角，因此选项符合题意；
．与是对顶角，因此选项不符合题意；
．与是直线、直线被直线所截，所得到的同旁内角，因此选项不符合题意；
故选．
53．（2024春 聊城月考）如图，图中同位角一共　6　对、内错角一共　 　对、同旁内角有一共　 　对．
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角就是：两个角都在两条1被截直线之间，并且分别在截线两侧的位置的角；同旁内角就是：两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的同一旁的位置的角．
【解析】图中同位角共6对：与，与，与，与，与，与；
内错角共3对：与与，与，与；
同旁内角共3对：与，与，与．
54．（2024春 宿迁月考）与是直线 　③　、　　被直线 　　所截得的 　　．（填序号）
①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
【答案】③④⑤⑦．
【分析】根据内错角的概念求解即可．
【解析】与是直线、被直线所截得的内错角．
故答案为：③，④，⑤，⑦．
55．（2024春 阿荣旗校级月考）如图，和 　　是同位角，和 　　是内错角，的邻补角是 　　．
【答案】，，或．
【分析】根据同位角，内错角，邻补角的定义进行作答即可．
【解析】由题意知，和是同位角，和是内错角，的邻补角是或，
故答案为：，，或．
56．（2024春 德城区校级月考）如图，有下列说法：①能与构成内错角的角的个数有2个；②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是 　①　．
【答案】①．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．
【解析】①能与构成内错角的角的个数有2个，即和，故正确；
②能与构成同位角的角的个数只有1个：即，故错误；
③能与构成同旁内角的角的个数有5个：即，，，，，故错误；
所以结论正确的是①．
故答案为：①．
57．（2024春 闵行区期中）如图，直线和相交于点，下列判断：①和是同位角；②和是同位角；③和是内错角；④和是内错角；⑤和是同旁内角．其中正确的是 　②③⑤　．（填序号）
【分析】同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形．根据同位角、同旁内角、内错角的特征进行判断．
【解析】①和不符合同位角的定义，故本选项错误；
②和是同位角，故本选项正确；
③和是内错角，故本选项正确；
④和不符合内错角的定义，故本选项错误；
⑤和是同旁内角，故本选项正确．
故答案为：②③⑤．
58．（2024春 成县月考）如图，，相交于点，交于点，交于点．
（1）指出，被所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
（2）指出，被所截形成的内错角；
（3）指出，被所截形成的同旁内角．
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可；
（2）根据内错角的定义求解即可；
（3）根据同旁内角的定义求解即可．
【解析】（1）同位角：和；内错角：和；同旁内角：和；
（2）解：和，和都是内错角；
（3）解：和，和都是同旁内角．
59．（2024春 南宁期中）两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程．
解：，
　180　，（平角定义）
　　． 　　
又， 　　
． 　　
【答案】180，，等量代换，平角定义，等量代换．
【分析】分别根据平角定义和等量代换即可得出答案．
【解析】，
，（平角定义）
．（等量代换）
又，（平角定义）
．（等量代换）．
故答案为：180，，等量代换，平角定义，等量代换．
60．（2023春 蒲城县期中）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
（1）求的度数；
（2）写出一个与互为同位角的角；
（3）求的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得的度数，再根据角平分线的定义可求的度数；
（2）根据同位角的定义可求与互为同位角的角；
（3）根据邻补角的性质可求，再根据已知条件和对顶角相等可求的度数．
【解析】（1），
，
平分，
；
（2）与互为同位角的角是；
（3），
，
，
，
．
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