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第一讲 相交线与平行线
知识梳理
知识点1：同位角、同旁内角、内错角的概念及特征
同位角 同旁内角 内错角
截线 EF 同侧 同侧 异侧
被截线AB、CD 同侧 之间 之间
结构特征 F U Z
列举 ∠1与∠5;∠2与∠6;∠3与∠7;∠4 与∠8。 ∠3 与∠6;∠4与∠5。 ∠3与∠5;∠4 与∠6。
知识点2：平行线的定义和平行线公理，及平行线作图步骤
平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。平行用符号“∥”表示。
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
作图步骤：一放二靠三推四画。
注1：今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行。
2：在同一平面内，两条直线的关系有平行和相交。
知识点3：平行线的判定和平行线的性质
平行线的判定：判定方法一：平行线的定义；
判定方法二：同位角相等，两直线平行；
判定方法三：内错角相等，两直线平行；
判定方法四：同旁内角互补，两直线平行；
判定方法五：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
判定方法六：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
判定定理与性质定理的区别：从角的关系得到结论两直线平行，用平行线判定定理；从平行线得到角相等或互补关系，用平行线性质定理。填理由时，要防止把性质和判定定理相混淆。
【例1】如图2 所示，同位角一共有 对，分别是 ；
内错角一共有 对，分别是 ；
同旁内角一共有 对，分别是 。
【变式训练1】如图3，∠ABD 的同旁内角共有 ( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式训练2】如图4 所示，同位角共有 ( )。
A.6 对
B.8 对
C.10对
D.12 对
【例2】如图5，在下面的方格纸中经过点C画与线段AB 互相平行的直线l ，再经过点 B 画一条与线段AB 垂直的直线l 。
【变式训练3】画图题：
(1)在如图6所示的方格纸中(单位长度为1)，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段 AB 的垂线EF 和平行线GH；
(2)判断EF、GH 的位置关系是 ;
(3)连接AC和BC,则三角形ABC的面积是 。
【变式训练4】如图7，已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
(1)画直线OA;
(2)过 B 点画直线OA 的垂线,垂足为 D;
(3)取线段AB的中点E,过点 E画BD 的平行线,交AO于点F。
【例3】设a、b、c为平面上三条不同直线。
(1)若a∥b,b∥c,则a与c 的位置关系是 ;
(2)若a⊥b,b⊥c,则a与c 的位置关系是 。
【变式训练5】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么 为什么
【变式训练6】探索与发现：
(1)若直线 ，则直线a 与a 的位置关系是 ，请说明理由；
(2)若直线 ，则直线a 与a 的位置关系是 ；(直接填结论，不需要证明)
(3)现在有2011条直线a ,a ,a ,…,a ,且有( 请你探索直线a 与a 的位置关系。
【例4】如图8，已知 ,CN 是 的平分线， 求 MCD的度数。
【变式训练7】如图9,已知CD∥AB,OE 平分∠BOD,OE⊥OF,∠CDO=62°,分别求出∠BOE 和∠DOF 的度数。
【变式训练8】如图 10, ,OM平分. ,射线 ON是 的平分线吗 请说明理由。
【例5】如图11,四边形 ABCD 中, ,BE、DF 分别是 的平分线。
(1)∠1与∠2有什么关系 为什么
(2)BE与DF 有什么关系 请说明理由。
【变式训练9】如图12,在三角形 ABC 中,( 于E, 于F, CE 是 的平分线，试比较∠EDF 与∠BDF的大小，并说明理由。
【变式训练10】如图13,在三角形 ABC中,CD 平分 交 BC 于E, 交AB 于F。求证:EF平分∠DEB。
【例6】平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4 条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点 它们最多能把平面分成多少个部分
【变式训练11】平面内有 10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们有31个交点，怎样才能办到
【变式训练12】在同一平面内，若有4条直线，则最多有 个交点；若200条直线中恰好有且只有2m 条直线互相平行，则这200条直线最多有 个交点。(用含有m的式子表示)
【例7】求证：三角形内角之和等于180°。
【变式训练13】求证：四边形的内角和等于 360°。
【变式训练14】证明：五边形内角和等于540°。
【例8】已知，直线 点 P 为平面上一点,连接 AP 与CP。
(1)如图①,点 P 在直线AB、CD 之间,当 时，求
(2)如图②,点 P 在直线AB、CD 之间,∠BAP 与 的角平分线相交于点 K，写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③,点 P 落在CD 外,∠BAP与. 的角平分线相交于点K， 与 有何数量关系 并说明理由。
【变式训练15】如图①，已知.
(1)若 则
(2)请探索∠E与∠F 之间满足的数量关系并说明理由；
(3)如图②,已知 EP平分∠BEF,FG平分. 反向延长FG交EP 于点 P，求 的度数。
【变式训练16】如图 16 所示,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE 平分 的度数大于 小于120°)
(1)求证:
(2)若点 F 为射线BE 上一点, 的角平分线 BG 与 的角平分线DG 交于点G，试用含α的式子表示∠BGD 的大小；
(3)延长 BE交CD 于点 H ,点 F 为线段BH 上一动点, 邻补角的角平分线与 邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： 。(题中所有的角都是大于( 小于180°的角)
【例9】如图17,已知 求证：
【变式训练17】(1)如图①,已知 若 求证：
(2)如图②,若 ，求证：
(3)若 则∠AFC与. AEC 的数量关系是 。(用含有n的代数式表示，不证明)
【变式训练18】已知直线AB∥CD,E为直线AB、CD外的一点,连接AE、EC。
(1)E在直线AB 的上方(如图①),求证:∠AEC+∠EAB=∠ECD;
(2)∠BAF=2∠EAF,∠DCF=2∠ECF(如图②),求证:
(3)若E在直线AB、CD之间,在(2)条件下(如图③),且∠AFC比∠AEC的 倍少40°,则∠AEC 的度数为 。(不用写出解答过程)
【例10】(1)如图①,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗
(2)反之,在图①中,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD 有什么位置关系
(3)若将点 E 移至图②的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系
(4)在图③中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系
【变式训练 19】探究：
(1)如图a,若 则 你能说明为什么吗
(2)反之,若 直线 AB与CD 有什么位置关系 请证明；
(3)若将点 E 移至图b 所示位置，此时. 之间有什么关系 请证明；
(4)若将 E 点移至图c 所示位置，情况又如何
(5)在图d中, 与 又有何关系
【变式训练20】已知：
(1)在图③中,∠ 之间有什么数量关系 请直接L写出结论；
(2)若将E点移至图④位置， 之间有什么数量关系 请直接写出结论。
参考答案
第一讲 平行线
【例1】解:同位角一共有6对,分别是∠1 和∠5,∠2 和∠6,∠3 和∠7,∠4 和∠8,∠7 和∠9,∠4 和∠9;内错角一共有4 对,分别是∠1 和∠7,∠4 和∠6,∠5 和∠9,∠2 和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1 和∠9,∠4 和∠7,∠6 和∠9。
故答案为:6,∠1 和∠5,∠2 和∠6,∠3 和∠7,∠4 和∠8,∠7和∠9,∠4 和∠9;4,∠1 和∠7,∠4 和∠6,∠5 和∠9,∠2 和∠9;4,∠1 和∠6,∠1 和∠9,∠4 和∠7,∠6和∠9。
【变式训练1】解:∠ABD与∠ADB是直线AB、AD,被直线 BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC,被直线 BD所截而成的同旁内角,∠ABD与∠BAE是直线AC、BD,被直线AB所截而成的同旁内角,∠ABD与∠BAD是直线AD、BD,被直线AB所截而成的同旁内角,故选:D。
【变式训练2】解：如原题图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有4对，
射线GM 和直线CD 被直线EF 所截，形成2对同位角；
射线GM 和直线 HN 被直线EF 所截，形成2对同位角；
射线 HN 和直线AB 被直线EF 所截，形成2对同位角；
则总共10对。
故选:C。
【例2】解：如图所示，
【变式训练3】解：(1)如图
(2)EF与GH 的位置关系是:垂直;
(3)设小方格的边长是1，则
【变式训练4】解:(1)作法:连接OA,②作直线 AO;
(2)作法：过正方形 AHGB 的对角线 BH 的端点画直线交AG于点D；
(3)作法:取线段 AD的中点F,过E、F画直线。
【例3】解:(1)∵a∥b,b∥c,
∴a∥c;
(2)∵a、b、c为平面上三条不同直线,a⊥b,b⊥c,∴a∥c。
故答案为:(1)a∥c;(2)a∥c。
【变式训练5】解：a与d 平行，理由如下：
因为a∥b,b∥c,
所以a∥c,
因为c∥d,
所以a∥d,
即平行具有传递性。
【变式训练6】解:(1)a ⊥a 。理由如下:如图①,∵a ⊥a ,
∴∠1=90°,
∵a ∥a ,
∴∠2=∠1=90°,
∴a ⊥a ;
(2)同(1)的解法,如图②,直线a 与a 的位置关系是:a ∥a ;
(3)直线a 与a 的位置关系是:a ⊥a ⊥a ,直线a 与a 的位置关系是:a ∥a ∥a ,以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a ∥a 009,a ⊥a 010,所以直线a 与a 011的位置关系是:a ⊥a 。
【例4】解:∵AB∥ED,
∵CN是∠BCE的平分线,
∵CM⊥CN,
【变式训练7】解:∵CD∥AB,∠CDO=62°,
∴∠CDO+∠DOB=180°,
∴∠DOB=118°,
∵OE平分∠BOD,
∴∠BOE=∠EOD=59°,
∵OE⊥OF,∠EOF=∠EOD+∠DOF,
∴∠EOF=90°,
∴∠DOF=31°,
即∠BOE=59°,∠DOF=31°。
【变式训练8】解:射线ON 是∠BOD 的平分线,理由:∵AB∥CD,OM⊥ON,OM平分∠BOC,∠B=40°,∴∠B+∠BOC=180°,∠B=∠BOD,∠MON=90°,
∴∠BOM=70°,
∴∠BON=20°,
∴∠BON=∠BOD,
即射线ON 是∠BOD的平分线。
【例5】解:(1)∠1+∠2=90°;
∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴2(∠1+∠2)=180°,
(2)BE∥DF;
在△FCD中,∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC,
∴BE∥DF。
【变式训练9】解:∠EDF=∠BDF。理由如下:
∵AC∥ED,
∴∠ACE=∠DEC,
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEC=∠AFD=90°,
∴DF∥CE,
∴∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,
∴∠FDE=∠ACE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ECB=∠ACE,
∴∠EDF=∠BDF。
【变式训练10】解:证明:∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE,
又∵DE∥AC,
∴∠ACD=∠CDE,
∴∠ACD=∠DCE=∠CDE,
∵CD∥EF,
∴∠CDE=∠DEF,∠DCE=∠FEB,
∴∠DEF=∠FEB,即 EF平分∠DEB。
【例6】解：如图，图中共有34个交点。
4条平行线5部分，
加一条线10部分，
再加一条16部分，
再加一条22部分，
可以看出规律5→10→16→22,
所以答案是5+5+6+6+6+9+10=47。
【变式训练11】解：如图所示：
【变式训练12】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交有 个交点；
则200条直线相交有 个交点，
∵200条直线中恰好有且只有2m条直线互相平行，
∴少m(2m-1)=2m -m个交点，
则这200条直线最多有( 个交点。
故答案为：(
【例7】解:证明:如图所示,在△ABC中,过A引l∥BC,
∵l∥ BC,
∴∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等),
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°,
即三角形的内角和为 180°。
【变式训练13】解：证明：添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角。在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程。
如图所示,四边形ABCD中,过顶点 B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G。则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等)。
∠C=∠4(同位角相等),
又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)。
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
说明：
(1)周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变。
(2)将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：
三角形内角和
四边形内角和
人们不禁会猜想：
五边形内角和
n边形内角和
这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单。
(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法。
【变式训练14】解:证明:如图,五边形ABCDE,连接AC,连接AD,形成三个三角形:△ABC,△ACD,△ADE,由于三角形内角 和是 180°，所以 五边形ABCDE的内角和等于 对于任意一个五边形都是如此。
【例8】解:(1)如图①,过 P作 PE∥AB,
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°;
理由:如图②,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,过 P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点 K,
理由:如图③,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,
∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK,过 P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP-∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP 的角平分线相交于点K,
【变式训练15】解:(1)如图①,分别过点 E,F作EM∥AB,FN∥AB,
∴EM∥AB∥FN,
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
又∵AB∥CD,AB∥FN,
∴CD∥FN,
∴∠D+∠DFN=180°,
又∵∠D=120°,
∴∠EFD=∠MEF+60°,
故答案为:90°。
(2)如图①,分别过点 E,F作EM∥AB,FN∥AB,
∴EM∥AB∥FN,
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
又∵AB∥CD,AB∥FN,
∴CD∥FN,
∴∠D+∠DFN=180°,
又∵∠D=120°,
∴∠EFD=∠MEF+60°,
∴∠EFD=∠BEF+30°。
(3)如图②,过点 F作FH∥EP,
由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°,
设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,
∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,
∵FH∥EP,
∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,
∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°,
∴∠P=15°。
【变式训练16】解:(1)证明:∵BE平分∠ABD,
∵DE平分∠BDC,
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠EBD+∠EDB=90°,
(2)①当点G在AB、CD之间且点F 在BE 延长线上,如图①,由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°,又∵∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠ABE+∠EDC=90°,
即∠ABE+α+∠FDC=90°,
∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF,
∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG,
∴2∠ABG+2∠CDG=90°-α,过点G作GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴GH∥AB∥CD,
∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG,
∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABG+∠CDG=90°=α;
②当点G在AB、CD之间且点 F 在线段BE 上,如图②,
由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°,
又∵∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠ABE+∠EDC=90°,
即∠ABE+∠FDC-α=90°,
∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF,
∴∠ABE=2∠ABG,
∠CDF=2∠CDG,
∴2∠ABG+2∠CDG=90°+α,过点G作GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴GH∥AB∥CD,
∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG,
∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABE+∠CDG=90°+a;
③当点G在AB、CD下方时,如图③,
同理可得:∠ABE+∠EDC=90°,
即∠ABE+a-∠FDC=90°,
∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF,
∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG,
∴2∠ABG+2∠CDG=90°-α,过点G作GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴GH∥AB∥CD,
∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG,
∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABG+∠CDG=90°=a,
综上， 或
(3)如图④,过点 F、G分别作FM∥AB、GM∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥GM∥FN∥CD,
∴∠3=∠BFN,∠5=∠DFN,
∠4=∠BGM,∠6=∠DGM,
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5,
∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,
∵BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,
∴∠4=∠FBP=(180°-∠3),∠6=∠FDQ=(180°-∠5),
∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6
=∠3+∠5+(180°-∠3)+(180°-∠5)
=180°+(∠3+∠5)=180°+∠BFD,
整理得:2∠BGD+∠BFD=360°。
故答案为:2∠BGD+∠BFD=360°。
【例9】解:证明:如图,连接AC,
设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∠FAC+∠FCA=180°-(3x°+3y°),
∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)
=180°-[180°-(4x°+4y°)]
=4x°+4y°=4(x°+y°),
∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)
【变式训练17】解:(1)如图①,连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=2x°,∠ECD=2y°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°,
∴∠CAE+∠ACE=180°-(2x°+2y°),
∠FAC+∠FCA=180°-(x°+y°),
∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)
∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)
=180°-[180°-(x°+y°)]=x°+y°,
(2)如图②,连接 AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=3x°,∠ECD=3y°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠CAE+∠ACE = 180°-(3x°+ 2y°),
∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)
∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)
(3)若
则∠AFC与∠AEC的数量关系是:
故答案为：
【变式训练18】解:(1)∵AB∥CD,
∴∠EBM=∠ECD,
∵∠AEC+∠EAB=∠EBM,
∴∠AEC+∠EAB=∠ECD;
(2)如图②,设CE交AM 于G,∵∠BAF=2∠EAF,∠DCF=2∠ECF,
∠FCD=∠FBM=∠AFC+∠FAM,
(3)如原题图③,∵∠AFC 比∠AEC 的 倍少40°,
解得:∠AEC=110°。
故答案为:110°。
【例10】解:(1)如图①,作 EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴∠B=∠1,
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD,
∴∠D=∠2,
∴∠B+∠D=∠1+∠2,
又∵∠1+∠2=∠E,
∴∠B+∠D=∠E。
(2)如图②,作 EF∥AB,
∵EF∥AB,
∴∠B=∠1,
∵∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D, A
∴∠D=∠2,
∴EF∥CD,
又∵EF∥AB,
∴AB∥CD。
(3)如图③,过E作EF∥AB,
∵EF∥AB,
∴∠BEF+∠B=180°,
∵EF∥CD,
∴∠D+∠DEF=180°,
∵∠BEF+∠DEF=∠E,
∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°。
(4)如图④,作EM∥AB,FN∥AB,GP∥AB,∵AB∥CD,
∴∠B=∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D;
∵∠1+∠2=∠E,∠5+∠6=∠G,∠3+∠4=∠F,
∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D。
【变式训练19】解:(1)如图①,过E作EF∥AB,则∠B=∠BEF,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠D=∠DEF,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D。
(2)若∠B+∠D=∠E,由 EF∥AB,
∴∠B=∠BEF,
∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D,
∴∠D=∠DEF,∴EF∥CD,
∴AB∥CD;
(3)若将点 E移至图②所示位置，过E作EF∥AB,
∴∠BEF+∠B=180°,
∵EF∥CD,
∴∠D+∠DEF=180°,∠E+∠B+∠D=360°;
(4)如图③,
∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,
∵∠D+∠E=∠BFD,
∴∠D+∠E=∠B;
(5)∵AB∥CD,
∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D;
【变式训练20】解:(1)如图③中,可知:
(2)如原题图④中，可知：

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