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第12章 定义命题证明
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．4ab-ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1 D．（-a3）2＝a6
2．下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣1）2=a2﹣1 B．（2a）2=2a2
C．a2 a3=a6 D．a a2=a3
3．下列运算正确的是(　　)
A．（2ab）2＝4a2b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．am an＝amn D．a2+a2＝a4
4．如图，小颖同学按图中的方式摆放一副三角板，画出AB∥CD依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，D、E分别是 ABC的边BC、AC上的点，若 ∠B=∠C ，∠ADE=∠AED，则（　　）
A．当∠1为定值时，∠CDE为定值 B．当∠B为定值时，∠CDE为定值
C．当∠2为定值时，∠CDE为定值 D．当∠3为定值时，∠CDE为定值
7．若4x2-kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　）
A． 6 B． 12 C． 36 D． 72
8．下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．如图，，点是外一点（点不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
10．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
11．如图是用4个全等的长方形拼成一个“回形”正方形．图中阴影部分面积用不同的代数式表示，可得一个等式，利用这个等式求解：若，，则　 　．
12．已知方程x+2y=10，用含y的代数式表示x，则x=　 　.
13．已知三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这三角形最小的内角的度数是　 　．
14．如图，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，且，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为　 　．
15．观察下列各式：
．
则的结果为　 　．
16． 图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆。调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　 　°；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　 　°．
三、计算题
17．化简：．
18．计算：
（1）（3a﹣2b）（9a+6b）；
（2）（2y﹣1）（4y2+1）（2y+1）
19．简便计算：
（1）(-2019)2+2 018×(-2020)
（2）20232-4046×2022+20222
四、解答题
20．(1)如图1，已知正方形的边长为a，正方形 的边长为b，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是 (写成平方差的形式)；
(2) 将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是 (写成多项式相乘的形式)；
(3) 比较图1 与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ；
(4) 利用所得公式计算：
21．已知a＋b＝6，ab＝3，求a2＋b2和(a－b)2的值．
22．如图，在中，已知是角平分线，．
（1）求的度数；
（2）若于点E，求的度数．
23．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
8．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
12．【答案】10-2y
【知识点】等式的基本性质
13．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理
14．【答案】或
【知识点】平行线的判定与性质
15．【答案】22025﹣1
【知识点】平方差公式及应用
16．【答案】43；75
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
17．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算
18．【答案】（1）解：（3a﹣2b）（9a+6b）
=3（3a+2b）（3a﹣2b）
=3[（3a）2﹣（2b）2]
=27a2﹣12b2；
（2）解：（2y﹣1）（4y2+1）（2y+1）
=（4y2﹣1）（4y2+1）
=16y4﹣1
【知识点】平方差公式及应用
19．【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式=20232-2×2023×2022+20222=(2023-2022)2=1.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
20．【答案】（1），（2），（3），（4）4
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
21．【答案】a2＋b2＝30，(a－b)2＝24
【知识点】完全平方公式及运用
22．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
23．【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【知识点】平方差公式及应用
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