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广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试(一)数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={x|x=2k,k∈Z}, B={x|log x＜3},则A∩B=
A. {2,4} B. {4,6} C. {0,2,4} D. {2,4,6}
2. 复数z满足z(l+i)=2i, 其中i为虚数单位, 则|z|=
A. 2 B. C. 1 D.
3. 已知平面向量ā, b的夹角为60°, 且 则
A. 1 B. 2 C. D. 4
4. 若l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则
A. 若l∥α, m α, 则l∥m
B. 若l∥α, m∥α, 则l∥m
C. 若l⊥α, m⊥β, l⊥m, 则α⊥β
D. 若l∥α, α∥β, 则l∥β
5. 下列四组数据中，方差最小的为
A. 29, 25, 37 B. 30, 46, 25 C. 38, 40, 35 D. 40, 18, 30
6. 早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法估算地球半径. 如图所示，将太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度上的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆AA 和BB ，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角为α和β(α和β的单位为弧度)，由此可计算地球的半径为
A.
B.
C.
D.
7. 设函数 则不等式. 的解集为
A. (-∞,2] B. [0,2]
C. [2,+∞) D. (-∞,0]∪[2,+∞)
8. 已知抛物线 的弦AB的中点横坐标为5，则|AB|的最大值为
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知直线l: kx-y+2k=0和圆 则
A. 直线l恒过定点(2,0)
B. 存在k使得直线l与直线x-2y+2=0垂直
C. 直线l与圆O相交
D. 若k=-1, 直线l被圆O截得的弦长为:
10. 已知函数 则
A. f(x)是奇函数 B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)在 上单调递增 D. f(x)的最小值为
11. 设曲线 抛物线 记抛物线的焦点为F，M，Q为分别为曲线C ，C 上的动点，l为曲线C 的切线，则
A. 若C 与C 无公共点, 则p∈(0,e)
B. 若l过点F，则l被C 截得的弦长为
C. 当p=1时,
D. 当p=1时,
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 双曲线 的左，右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线右支上，若 则
13. 在△ABC中, 已知 则 cos(A-B)= .
14. 有三个袋子，每个袋子都装有n个球，球上分别标有数字1，2，3，…，n. 现从每个袋子里任摸一个球，用X，Y，Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数, 则事件“X+Y=Z”的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知等差数列{an}满足 an，an，是关于x的方程. 的两个根.
(1) 求a ;
(2) 求数列 的前n项和 .
16. (15分)
在△ABC中, 角A, B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线.
(1) 证明:
(2) 若 求AD的最大值.
17. (15分)
如图, 在四棱锥P--ABCD中, PD⊥平面ABCD,AB∥DC, BC=CD=AD=2, AB=4.
(1) 证明: PA⊥BD;
(2) 若四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为25π,求二面角C--AB--P的余弦值.
18. (17分)
数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质. 比如，为了研究数列 的性质，对通项公式取对数得， 则可通过研究函数 的性质，得到数列 的性质，进而得到{an}的性质. 请根据以上材料，解决如下问题：
(1) 若不等式cx≥ln(1+x)对任意x≥0恒成立, 求实数c的取值范围, 并证明:
(2) 是否存在常数a, 使得: n∈N*有， 若存在，求a的值； 若不存在，请说明理由.
(注：e为自然对数的底数)
19. (17分)
线段MN的长为3，端点M ，N分别在y轴和x轴上运动，点E 满足 记点E 的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2)曲线C与x轴的左右两个交点分别为A，B，P为C上异于A，B的动点. 过点D(1,0)分别作直线l ∥AP , 直线l ∥BP, 其中l 与曲线C 交于G, H 两点, l 交直线x=-1于点R, 点I满足
①求点I的轨迹方程；
②△IDR的面积是否存在最小值 若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由.

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