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8.5.3　平面与平面平行
高中数学2019人教A版必修二第八章　立体几何初步
素养目标 学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理) 2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理) 3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理) 通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.
定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
用符号表示：
复习引入
a
b
α
简述为：线线平行 线面平行
直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的性质定理
用符号表示：
定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
简述为：线面平行 线线平行
α
m
β
l
a
b
复习引入
（1）平行
（2）相交
怎样判断平面与平面平行而不是相交呢？
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
探究新知
两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断.
思考1：能否简化平面与平面平行的判定方法呢
如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行.
因为平面内有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验.
探究一：两个平面平行的判定
无限
有限
转 化
思考2：能否将一个平面内任意直线都平行于另一个平面中的任意直线减少，得到更简便的方法呢
探究新知
减少到一条直线可以吗？为什么？
思考3 如图(1)，a，b分别是矩形的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片与桌面一定平行吗？
思考4 如图(2)，c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？
根据基本事实推论2,3，两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面.
探究新知
探究新知
思考5：如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？
aaa
b
m
矛盾
假设
探究新知
思考6：能把你得到的结论进行论证吗？请小组讨论完成。
探究新知
平面与平面平行的判定定理
符号语言：
图形表示：
如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
关键：在一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
线//面 面//面
思考7 为什么不能用“一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面”判断两个平面平行，而可以用“一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面”判断两个平面平行？联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？
平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量可以表示为它们的线性组合，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，用它们不能“表示”这个平面上的任意一条直线．
平面与平面平行的判定定理的深入理解
一、两个平面平行的判定定理
思考8　在实际生活中，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，
你能说明这么做的道理吗？
二、数学知识应用于生活
例1　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
求证：平面AB1D1//平面BC1D． 　
三、应用定理，熟练掌握
看到要证明的结论，你能想到用哪个定理呢？
二、应用定理，熟练掌握
例1　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
求证：平面AB1D1//平面BC1D． 　
证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴ ．
∴ ．
∴ 四边形D1C1BA为平行四边形． ∴D1A∥C1B．
又 D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D．
同理 D1B1∥平面BC1D．
又 D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D． 　
思考9 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？
1、 一个平面内的直线是否平行于另一个平面 　
a
b
探究二：两个平面平行的性质
平行或异面
面//面 线//面
探究新知
2、 分别在两个平面内的两条直线具有什么位置关系
探究新知
思考10 线线平行是一种重要的关系，分别位于两个平行平面的直线中，什么情况下这两条直线平行呢？
结论: 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行.
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b
证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b
∴a α，b β
∵α∥β
∴a，b没有公共点，
又∵a，b同在平面γ内，
∴a∥b
探究新知
结论: 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行.
a
b
γ
β
α
思考11 能把这个结论进行论证吗？
两个平面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
符号表示：
面//面 线//线
探究新知
a
b
γ
β
α
α∥β
α ∩γ=a
β ∩γ=b
a ∥ b
作用：判定直线与直线平行的依据.
例2　求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．
求证：AB＝CD．
三、应用定理，熟练掌握
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．
∵α∥β， ∴BD∥AC．
又 AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB＝CD．
探究新知
平面与平面平行的其它一些性质：
1.两个平面平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；
2.平行于同一平面的两平面平行；
3.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行；
4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.
5.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
1.判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由;若错误，则举出反例. (1)已知平面α,β和直线m, n，若m α ,n α ,m// β, n// β，则α // β.
(2)若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α // β.
(3)平行于同一条直线的两个平面平行.
(4)平行于同一个平面的两个平面平行.
(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.
(6)若平面α,β都与平面γ相交，且交线平行，则α // β.
X
√
X
√
√
当堂检测
X
2、如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.
求证：直线EE1∥平面FCC1．
当堂检测
谈谈你的收获 … …
1. 直线和直线平行；
2. 直线和平面平行：
(1)判定定理：由线线平行得到线面平行；
(2)性质定理：由线面平行得到线线平行；
3. 平面和平面平行：
(1)判定定理：由线面平行得到面面平行；
(2)性质定理：由面面平行得到线线平行.
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
（ ）
性质
判定
（ ）
（ ）
定义
判定
（ ）
性质
（ ）
四、归纳小结
巩固练习
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点. 求证：平面AMN // 平面EFDB.
N
M
E
F

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