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(共15张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　第3课时　用一元一次方程解决实际问题
知识点1　实际问题中的等量关系
1.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每
人种2棵.求男生有多少人.设男生有x人，则可列方程为(　B　)
A. 2x＋3(20－x)＝52
B. 3x＋2(20－x)＝52
C. 2x＋3(52－x)＝20
D. 3x＋2(52－x)＝20
B
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2. 甲班有40名学生，乙班有42名学生，现将转来的8名学生全部都调入
甲、乙两班，使得两班的学生人数相等，求向甲、乙两班分别调入多少
人.设应向甲班调入x人，根据题意，可列方程为(　B　)
A. 40－x＝42＋8－x
B. 40＋x＝42＋8－x
C. 40＋x＝42＋x－8
D. 40＋8－x＝42＋x
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3. 一次数学竞赛有25道选择题，答对一道题得4分，答错或不答一道题
倒扣2分，小明同学做了25道题，得82分.设他答对了x道题，可列方程
为 .
4. 某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后
甲、乙合作完成此项工作.设甲一共做了x天，所列方程为 .
4x－2(25－x)＝82　
＋ ＝ 1
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知识点2　用一元一次方程解决实际问题
5. (2024贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大
意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追
上慢马需要的天数是 .
6. (2024三明期末)某商场元旦期间让利促销，若其中某件商品按八折出
售的价格为20元，则该商品的原价为 元.
20　
25　
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7. 王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg，李丽平均每小
时采摘7 kg，采摘结束后王芳从自己采摘的樱桃中取出0.25 kg给了李
丽，这时两人樱桃一样多，她们采摘用了多长时间？
解：设她们采摘用了x h，根据题意，得
8x－0.25＝7x＋0.25.
解这个方程，得x＝0.5.
经检验，符合题意.
答：她们采摘用了0.5 h.
解：设她们采摘用了x h，根据题意，得
8x－0.25＝7x＋0.25.
解这个方程，得x＝0.5.
经检验，符合题意.
答：她们采摘用了0.5 h.
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8. 已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回
家的旅客提供优惠，汽车客运站给出的优惠方案如下表所示.
乘客 优惠方案
学生 凭学生证票价一律打六折
非学生 10人以下(含 10人)没有优惠；
团购超过10人，每张票打八折
(1)若有8名学生乘客买票，则总票款为 元；
360　
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(2)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客已达到团购人数，已知该车
乘客总票款为2 775元，求车上学生乘客、非学生乘客分别有多少人.
解：设车上学生乘客有x人，非学生乘客有(50－x)人，根据题意，得
75x×0.6＋75×(50－x)×0.8＝2 775.
解这个方程，得x＝15.
经检验，符合题意.
50－x＝35.
答：车上学生乘客有15人，非学生乘客有35人.
解：设车上学生乘客有x人，非学生乘客有(50－x)人，根据题意，得
75x×0.6＋75×(50－x)×0.8＝2 775.
解这个方程，得x＝15.
经检验，符合题意.
50－x＝35.
答：车上学生乘客有15人，非学生乘客有35人.
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9. (2024广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一
个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第
三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有x
亩，可列方程为(　B　)
A. ＋ ＋ ＝1 B. ＋ ＋ ＝100
C. 3x＋4x＋5x＝1 D. 3x＋4x＋5x＝100
B
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10. (2024福州闽侯期末)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记
载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得
到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，
从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六
天才到达目的地，则此人第一天走的路程为(　D　)
A. 24里 B. 48里 C. 96里 D. 192里
D
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11. 某人原计划驾车以60 km/h的速度由A地行驶到B地，因计划有变，速
度提高了50％，这样所用时间比原计划时间的 多30 min，求原来需要行
驶的时间与A，B两地间的距离.
解：60×(1＋50％)＝90(km/h).
设原来需要行驶的时间为x h，根据题意，
得60x＝90 .
解：60×(1＋50％)＝90(km/h).
设原来需要行驶的时间为x h，根据题意，
得60x＝90 .
解这个方程，得x＝1.5.
经检验，符合题意.
60×1.5＝90(km).
答：原来需要行驶的时间是1.5 h，A，B两地间的距离90 km.
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12. (教材P17阅读材料改编)列方程解应用题：
数学家的故事
古希腊数学家丢番图被人们称为代数学之父.对于他的生平事迹，人
们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》(公元500年前后的遗物)中，收
录了他的墓志铭.
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希腊数学家丢番图(公元3－4世纪)的墓碑上记载着：“他生命的六分
之一是幸福的童年；再过了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡
须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感
到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极
度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”
根据以上信息，请你算出：
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(1)丢番图的寿命；
解：(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意，得
x＋ x＋ x＋5＋ x＋4＝x.
解这个方程，得x＝84.
经检验，符合题意.
答：丢番图的寿命为84岁.
解：(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意，得
x＋ x＋ x＋5＋ x＋4＝x.
解这个方程，得x＝84.
经检验，符合题意.
答：丢番图的寿命为84岁.
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(2)丢番图开始当爸爸时的年龄；
解：(2) ×84＋ ×84＋ ×84＋5＝38.
答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁.
(3)儿子死时丢番图的年龄.
解：(3)84－4＝80(岁).
答：儿子死时丢番图的年龄是80岁.
解：(2) ×84＋ ×84＋ ×84＋5＝38.
答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁.
解：(3)84－4＝80(岁).
答：儿子死时丢番图的年龄是80岁.
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第5章　一元一次方程
5.1　从实际问题到方程
知识点1　方程与方程的解
1. (2024泉州安溪期末)下列各式中，是方程的是(　D　)
A. 7－4＝3 B. 7x－4
C. x－1＞3 D. 7x－4＝3
D
2. (2024泉州洛江区期末)下列各项中是方程1－x＝0的解的是(　A　)
A. x＝1 B. x＝－1
C. x＝0 D. x＝2
A
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3. 检验下列方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解.
(1)3x－4＝8(x－3)，{3，4}；
解：当x＝3时，左边＝3×3－4＝5，右边＝8×(3－3)＝0，左边≠右
边，故x＝3不是方程的解；
当x＝4时，左边＝3×4－4＝8，右边＝8×(4－3)＝8，左边＝右边，故x
＝4是方程的解.
解：当x＝3时，左边＝3×3－4＝5，右边＝8×(3－3)＝0，左边≠右
边，故x＝3不是方程的解；
当x＝4时，左边＝3×4－4＝8，右边＝8×(4－3)＝8，左边＝右边，故x
＝4是方程的解.
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(2) y＋3＝y－1，{8，4}.
解：当y＝8时，左边＝ ×8＋3＝7，右边＝8－1＝7，左边＝右边，故y
＝8是方程的解；
当y＝4时，左边＝ ×4＋3＝5，右边＝4－1＝3，左边≠右边，故y＝4
不是方程的解.
解：当y＝8时，左边＝ ×8＋3＝7，右边＝8－1＝7，左边＝右边，故y
＝8是方程的解；
当y＝4时，左边＝ ×4＋3＝5，右边＝4－1＝3，左边≠右边，故y＝4
不是方程的解.
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知识点2　根据实际问题列方程
4. 李华和赵亮从相距30 km的A，B两地同时出发，李华每小时行走4
km，3 h后两个人相遇.设赵亮行走的速度为x km/h，则所列方程正确的
是(　A　)
A. 3(x＋4)＝30 B. 3×4＋x＝30
C. 3x＋4＝30 D. 3(x－4)＝30
5. 根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列方程为 .
A
3a＋5＝4a　
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6. 根据题意列出方程(不必求解)：
小红买了6 kg香蕉和3 kg苹果，共花费30元.已知苹果2元/kg，则香蕉每
千克多少元？
解：设香蕉每千克x元.
根据题意，得6x＋2×3＝30，
即6x＋6＝30.
解：设香蕉每千克x元.
根据题意，得6x＋2×3＝30，
即6x＋6＝30.
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7. 方程2＋ ＝3x， 处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那
么 处的数字是 .
8. 若x＝－2是关于x的方程m－2nx－2＝0的解，则代数式2 024
＋4n＋m的值是 .
4　
2 026　
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9. 根据题意列出方程(不必求解)：
从正方形铁皮上剪去2 cm宽、与正方形等长的一个长方形铁条，余下的
面积是80 cm2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少厘米？
解：设原来的正方形铁皮的边长为x cm.
根据题意，得x2－2x＝80.
解：设原来的正方形铁皮的边长为x cm.
根据题意，得x2－2x＝80.
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10. 如图，将一块长方形铁皮的4个角各剪去一个边长为1 m的正方形
后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 m3的无盖长方体盒子，且此盒
子底面的长比宽多2 m.设该长方体盒子底面的宽为x m.
(1)用含x的代数式分别表示出该长方体盒子底面的长和容积；
解：(1)该长方体盒子底面的长为(x＋2)m，容积为[x(x＋2)]m3.
(2)请根据题意列出关于x的方程.(不必求解)
(2)x(x＋2)＝15.
解：(1)该长方体盒子底面的长为(x＋2)m，容积为[x(x＋2)]m3.
(2)x(x＋2)＝15.
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10(共17张PPT)
第5章　一元一次方程
章 末 复 习
考点1　认识一元一次方程
1. 下列各式：①3＋7＝10；②3x－5＝x2＋3x；③2x＋1＝1；④ ＝1；
⑤3x＋2.其中是一元一次方程的有(　A　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 将一个正方形花圃的边长增加2 m，所得新正方形花圃的周长是28 m.
设原正方形花圃的边长为x m，由此可得方程为(　D　)
A. x＋2＝28 B. 4x＋2＝28
C. 2(x＋2)＝28 D. 4(x＋2)＝28
A
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3. (2024福州立志中学期末)已知x＝3是关于x的一元一次方程mx＋n＝
2的解，则6m＋2n的值为 .
考点2　等式的基本性质
4. (2024泉州南安期中)已知等式m＝n，则下列等式中不一定成立的是
(　D　)
A. m＋k＝n＋k B. m－k＝n－k
C. mk＝nk D. ＝
4　
D
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考点3　一元一次方程的解法
5. 下列方程的变形中，正确的是(　C　)
A. 方程3x＝2x－1，移项，得3x＋2x＝1
B. 方程6＝2－5(x－1)，去括号，得6＝2－5x－1
C. 方程 － ＝1，可化为3(3x－1)－2x＝6
D. 方程 x＝ ，方程两边都乘 ，得x＝1
6. (2024泉州洛江区期末)已知关于x的方程ax＋1＝a的解为正整数，则
整数a的值是 .
C
－1　
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7. (2024泉州鲤城区期末)如果关于x的方程3x－2＝4和方程3－ ＝1
的解相同，那么a的值为 .
8. 解下列方程：
(1)6x－7＝4x－5；
解：移项，得6x－4x＝－5＋7.
合并同类项，得2x＝2.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
3　
解：移项，得6x－4x＝－5＋7.
合并同类项，得2x＝2.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
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(2)5(x＋8)－6(2x－7)＝5；
解：去括号，得5x＋40－12x＋42＝5.
移项，得5x－12x＝5－40－42.
合并同类项，得－7x＝－77.
将未知数的系数化为1，得x＝11.
解：去括号，得5x＋40－12x＋42＝5.
移项，得5x－12x＝5－40－42.
合并同类项，得－7x＝－77.
将未知数的系数化为1，得x＝11.
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(3) ＝ ；
解：去分母，得4(2x－1)＝3(x＋8).
去括号，得8x－4＝3x＋24.
移项，得8x－3x＝24＋4.
合并同类项，得5x＝28.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去分母，得4(2x－1)＝3(x＋8).
去括号，得8x－4＝3x＋24.
移项，得8x－3x＝24＋4.
合并同类项，得5x＝28.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
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(4)x－ ＝2＋ .
解：去分母，得6x－2(2x－1)＝12＋3(x－3).
去括号，得6x－4x＋2＝12＋3x－9.
移项，得6x－4x－3x＝12－9－2.
合并同类项，得－x＝1.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：去分母，得6x－2(2x－1)＝12＋3(x－3).
去括号，得6x－4x＋2＝12＋3x－9.
移项，得6x－4x－3x＝12－9－2.
合并同类项，得－x＝1.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
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考点4　一元一次方程的应用
9. 在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12
元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元.在乙复印店用
A4纸复印文件，无论复印多少页，每页收费0.1元.复印页数为多少时，
两店的收费相同？
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解：设复印页数为x时，两店的收费相同.
当x≤20时，在甲复印店收费为0.12x元，在乙复印店收费为0.1x元.
∵x＞0，∴0.12x＞0.1x.∴x＞20.
由题意，得20×0.12＋0.09(x－20)＝0.1x.
解得x＝60.经检验，符合题意.
答：复印页数为60时，两店的收费相同.
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10. 甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，徒步的路程为24 km，甲队步行
速度为4 km/h，乙队步行速度为6 km/h，甲队出发1 h后，乙队才出发.
(1)乙队需要多长时间可以追上甲队？
解：(1)设乙队需要x h可以追上甲队，根据题意，得
6x－4x＝4×1.
解得x＝2.
经检验，符合题意.
答：乙队需要2 h可以追上甲队.
解：(1)设乙队需要x h可以追上甲队，根据题意，得
6x－4x＝4×1.
解得x＝2.
经检验，符合题意.
答：乙队需要2 h可以追上甲队.
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(2)从甲队出发开始到乙队完成徒步路程结束，甲队出发多长时间，两队
间隔的路程为2 km？
(2)设甲队出发y h，两队间隔的路程为2 km.
①当乙未出发前，根据题意，得4y＝2.
解得y＝ .
②当甲、乙均出发且未相遇时，根据题意，得4y－6(y－1)＝2.
解得y＝2.
(2)设甲队出发y h，两队间隔的路程为2 km.
①当乙未出发前，根据题意，得4y＝2.
解得y＝ .
②当甲、乙均出发且未相遇时，根据题意，得4y－6(y－1)＝2.
解得y＝2.
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③当甲、乙均出发且相遇后，根据题意，得6(y－1)－4y＝2.
解得y＝4.
答：甲队出发 h或2 h或4 h，两队间隔的路程为2 km.
③当甲、乙均出发且相遇后，根据题意，得6(y－1)－4y＝2.
解得y＝4.
答：甲队出发 h或2 h或4 h，两队间隔的路程为2 km.
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11. 某工厂现有15 m3木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部
分木料制作桌面，其余木料制作桌腿.
(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1 m3木料可制作40个
桌面，或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制
作桌面的木料为多少立方米.
解：(1)5 m3　解析：设用x m3木料制作桌面，则用(15－x)m3木料制作桌
腿恰好配套.
由题意，得40x＝20(15－x).
解：(1)5 m3　解析：设用x m3木料制作桌面，则用(15－x)m3木料制作桌
腿恰好配套.
由题意，得40x＝20(15－x).
解得x＝5.经检验，符合题意.
答：制作桌面的木料为5 m3.
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(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下
列问题：
①如果1 m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才
能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
②如果3 m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才
能制作尽可能多的桌子？
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解： (2)①设用a m3木料制作桌面，则用(15－a)m3木料制作桌腿恰好
配套.
由题意，得4×50a＝300(15－a).
解得a＝9.
经检验，符合题意.
∴制作桌腿的木料为15－9＝6(m3).
解： (2)①设用a m3木料制作桌面，则用(15－a)m3木料制作桌腿恰好
配套.
由题意，得4×50a＝300(15－a).
解得a＝9.
经检验，符合题意.
∴制作桌腿的木料为15－9＝6(m3).
答：用9 m3木料制作桌面，用6 m3木料制作桌腿恰好配套.
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答：用9 m3木料制作桌面，用6 m3木料制作桌腿恰好配套.
②设用y m3木料制作桌面，则用(15－y)m3木料制作桌腿才能制作尽可能
多的桌子.
根据题意，得4×20× ＝320× .
解得y＝12.经检验，符合题意.∴15－12＝3(m3).
答：用12 m3木料制作桌面，用3 m3木料制作桌腿才能制作尽可能多
的桌子.
②设用y m3木料制作桌面，则用(15－y)m3木料制作桌腿才能制作尽可能
多的桌子.
根据题意，得4×20× ＝320× .
解得y＝12.经检验，符合题意.∴15－12＝3(m3).
答：用12 m3木料制作桌面，用3 m3木料制作桌腿才能制作尽可能多
的桌子.
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11(共16张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　第2课时　解一元一次方程——去分母
知识点1　去分母变形
1. 解方程1－ ＝ 时，去分母，方程两边都乘(　B　)
A. 2 B. 6 C. 3 D. －6
B
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2. (2024泉州期末)解方程 － ＝2时，去分母正确的是(　D　)
A. 3－2(x－1)＝2
B. 3－2(x－1)＝12
C. 2－3(x－1)＝2
D. 2－3(x－1)＝12
3. 一元一次方程 － ＝1，去分母后为 .
D
2(2x－1)－(5x＋2)＝ 6
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知识点2　解含分母的一元一次方程
4. 解方程： －1＝2＋ .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
将未知数的系数化为1，得 .
5. 方程 －x＝1的解为 .
2(x＋1)－4＝8＋(2－x)　
2x＋2－4＝8＋2－x　
2x＋x＝8＋2－2＋4　
3x＝12　
x＝4　
x＝－1　
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6. 解方程：
(1) － ＝1；
解：去分母，得2(2x－3)－(7x＋2)＝4.
去括号，得4x－6－7x－2＝4.
移项、合并同类项，得－3x＝12.
将未知数的系数化为1，得x＝－4.
解：去分母，得2(2x－3)－(7x＋2)＝4.
去括号，得4x－6－7x－2＝4.
移项、合并同类项，得－3x＝12.
将未知数的系数化为1，得x＝－4.
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(2) － ＝1；
解：去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10.
去括号，得5x－15－8x－2＝10.
移项，得5x－8x＝10＋15＋2.
合并同类项，得－3x＝27.
将未知数的系数化为1，得x＝－9.
解：去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10.
去括号，得5x－15－8x－2＝10.
移项，得5x－8x＝10＋15＋2.
合并同类项，得－3x＝27.
将未知数的系数化为1，得x＝－9.
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(3) － －1＝0；
解：去分母，得2(2x－1)－3(5x＋1)－6＝0.
去括号，得4x－2－15x－3－6＝0.
移项，得4x－15x＝2＋3＋6.
合并同类项，得－11x＝11.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：去分母，得2(2x－1)－3(5x＋1)－6＝0.
去括号，得4x－2－15x－3－6＝0.
移项，得4x－15x＝2＋3＋6.
合并同类项，得－11x＝11.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
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(4) －1＝ .
解：去分母，得3(3x－1)－12＝2(5x－7).
去括号，得9x－3－12＝10x－14.
移项，得9x－10x＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－x＝1.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：去分母，得3(3x－1)－12＝2(5x－7).
去括号，得9x－3－12＝10x－14.
移项，得9x－10x＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－x＝1.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
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7. 如果式子 ＋2x与7－ 互为相反数，求x的值.
解：由题意，得 ＋2x＋7－ ＝0.
去分母，得3(x－4)＋12x＋42－2(x－1)＝0.
去括号，得3x－12＋12x＋42－2x＋2＝0.
移项，得3x＋12x－2x＝12－42－2.
合并同类项，得13x＝－32.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
解：由题意，得 ＋2x＋7－ ＝0.
去分母，得3(x－4)＋12x＋42－2(x－1)＝0.
去括号，得3x－12＋12x＋42－2x＋2＝0.
移项，得3x＋12x－2x＝12－42－2.
合并同类项，得13x＝－32.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
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8. 将方程 ＝1＋ 中分母化为整数，正确的是(　C　)
A. ＝10＋
B. ＝10＋
C. ＝1＋
D. ＝1＋
C
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9. (2024泉州德化期中)若方程 －8＝－ 的解与关于x的方程4x－
(3a＋1)＝6x＋2a－1的解相同，则a的值为 .
10. (2023漳州期中)在数学课上，冰冰在解方程 ＋1＝ 时，因为
粗心，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得的方程的解为x＝－
6，试求a的值，并写出原方程正确的解.
解：把x＝－6代入2(2x－1)＋1＝5(x＋a)，
－4　
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解得a＝1.
把a＝1代入 ＋1＝ ，得 ＋1＝ .
去分母，得2(2x－1)＋10＝5(x＋1).
去括号，得4x－2＋10＝5x＋5.
移项、合并同类项，得－x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
即a的值为1，原方程正确的解为x＝3.
解得a＝1.
把a＝1代入 ＋1＝ ，得 ＋1＝ .
去分母，得2(2x－1)＋10＝5(x＋1).
去括号，得4x－2＋10＝5x＋5.
移项、合并同类项，得－x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
即a的值为1，原方程正确的解为x＝3.
解：把x＝－6代入2(2x－1)＋1＝5(x＋a)，
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11. 解方程： － ＝1.
解：去分母，得
2(2x－1)－5(x＋1)＝10……①
去括号，得4x－2－5x＋5＝10……②
移项、合并同类项，得－x＝13……③
将未知数的系数化为1，得x＝－13……④
(1)步骤①去分母的依据是 ；
等式的基本性质2　
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(2)上面计算步骤出错的是第 步，错误的原因是
；
(3)请你写出这个方程正确的解法.
解：去分母，得2(2x－1)－5(x＋1)＝10，
去括号，得4x－2－5x－5＝10.
移项，得4x－5x＝10＋2＋5.
合并同类项，得－x＝17.
将未知数的系数化为1，得x＝－17.
②　
去第二个括号
时，括号中第二项没有变号　
解：去分母，得2(2x－1)－5(x＋1)＝10，
去括号，得4x－2－5x－5＝10.
移项，得4x－5x＝10＋2＋5.
合并同类项，得－x＝17.
将未知数的系数化为1，得x＝－17.
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12. (2024福州福清期末)已知关于x的方程 － ＝1的解为正整数，
则符合条件的所有整数k的和为(　B　)
A. 8 B. 5 C. 3 D. 1
13. (2024泉州永春一中开学改编)解方程： ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＝6.
B
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解：∵ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝6，
∴ (x－1)＝6.
∴ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － )(x－1)＝6.
∴ × ×(x－1)＝6.
∴x－1＝13.
∴x＝14.
解：∵ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝6，
∴ (x－1)＝6.
∴ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － )(x－1)＝6.
∴ × ×(x－1)＝6.
∴x－1＝13.
∴x＝14.
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第5章　一元一次方程
5.2.2　第1课时　解一元一次方程—— 去括号
知识点1　一元一次方程的定义
1. (2024漳州华安期中)下列方程中，是一元一次方程的是(　B　)
A. x2－4x＝3 B. x＋1＝3
C. x＋2y＝1 D. x－1＝
B
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2. (2024龙岩长汀期末)若方程(5a－2)x2＋3x＋1＝4是关于x的一元一次
方程，则a＝ .
变式　(2024龙岩上杭期中)已知方程(m－1) －5＝0是关于x的一
元一次方程，则m的值为 .
　
－1　
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知识点2　一元一次方程中的去括号变形
3. (2024福州连江期末)解方程2(x－1)＝1时，“去括号”将其变形为2x
－2＝1的依据是(　B　)
A. 乘法结合律
B. 乘法分配律
C. 等式的基本性质1
D. 等式的基本性质2
B
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4. 解方程－2(2x＋1)＝x时，以下去括号正确的是(　D　)
A. －4x＋1＝－x B. －4x＋2＝－x
C. －4x－1＝x D. －4x－2＝x
D
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知识点3　解含括号的一元一次方程
5. 解方程：8(2x－1)－(x－1)＝－2(2x－1).
解：去括号，得16x－8－ ＝－4x＋2.
移项，得16x－x＋4x＝ .
合并同类项，得19x＝ .
将未知数的系数化为1，得x＝ .
x＋1　
2－1＋8　
9　
　
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6. (2024泉州德化期中)方程2(1－x)＝2的解为(　C　)
A. x＝－2 B. x＝－1
C. x＝0 D. x＝1
C
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7. 解下列方程：
(1)2(x＋1)＝x＋(2x－5)；
解：去括号，得2x＋2＝x＋2x－5.
移项，得2x－x－2x＝－5－2.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
解：去括号，得2x＋2＝x＋2x－5.
移项，得2x－x－2x＝－5－2.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
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(2)8－(5－2x)＝x＋2；
解：去括号，得8－5＋2x＝x＋2.
移项，得2x－x＝2＋5－8.
合并同类项，得x＝－1.
解：去括号，得8－5＋2x＝x＋2.
移项，得2x－x＝2＋5－8.
合并同类项，得x＝－1.
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(3)4－2x＝－3(1－x)；
解：去括号，得4－2x＝－3＋3x.
移项，得－2x－3x＝－3－4.
合并同类项，得－5x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去括号，得4－2x＝－3＋3x.
移项，得－2x－3x＝－3－4.
合并同类项，得－5x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
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(4)3x＋7(2－x)＝5－2(x＋3).
解：去括号，得3x＋14－7x＝5－2x－6.
移项，得3x－7x＋2x＝5－6－14.
合并同类项，得－2x＝－15.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去括号，得3x＋14－7x＝5－2x－6.
移项，得3x－7x＋2x＝5－6－14.
合并同类项，得－2x＝－15.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
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8. 若方程4(a－x)－4(x＋1)＝60的解是x＝－1，则a的值为(　C　)
A. －14 B. 20 C. 14 D. －16
9. 方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x
＝2，那么★处的数字是(　A　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
A
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10. 若代数式12－3(9－y)与代数式5(y－4)的值相等，则y＝ .
11. 认真阅读下面解方程的过程，并按要求作答(1)和(2).
解方程：5x－3＝2(x＋2)…………①
5x－3＝2x＋4…………②
5x－2x＝4－3…………③
3x＝1…………④
x＝3…………⑤
(1)以上解方程开始错误的步骤是 (填序号)；
　
③　
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(2)写出正确的解答过程.
解：去括号，得5x－3＝2x＋4.
移项，得5x－2x＝4＋3.
合并同类项，得3x＝7.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去括号，得5x－3＝2x＋4.
移项，得5x－2x＝4＋3.
合并同类项，得3x＝7.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
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12. (2024泉州德化期中)已知关于x的方程(m＋2)x｜m｜－1－3＝9是一元一
次方程，求m的值.
解：∵关于x的方程(m＋2)x｜m｜－1－3＝9是一元一次方程，
∴｜m｜－1＝1且m＋2≠0.
由｜m｜－1＝1，得m＝－2或m＝2.
∵m＋2≠0，即m≠－2，
∴m＝2.
解：∵关于x的方程(m＋2)x｜m｜－1－3＝9是一元一次方程，
∴｜m｜－1＝1且m＋2≠0.
由｜m｜－1＝1，得m＝－2或m＝2.
∵m＋2≠0，即m≠－2，
∴m＝2.
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13. 设M＝2x－2，N＝2x＋3，且有2M－N＝1，求x的值.
解：∵M＝2x－2，N＝2x＋3，
且有2M－N＝1，
∴2(2x－2)－(2x＋3)＝1.
去括号，得4x－4－2x－3＝1.
移项、合并同类项，得2x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝4.
解：∵M＝2x－2，N＝2x＋3，
且有2M－N＝1，
∴2(2x－2)－(2x＋3)＝1.
去括号，得4x－4－2x－3＝1.
移项、合并同类项，得2x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝4.
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14. 定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，c，d都有 ＝
ad－bc，应用新运算计算：
(1)求 的值；
解：(1) ＝2×1－(－3)×(－4)＝2－12＝－10.
解：(1) ＝2×1－(－3)×(－4)＝2－12＝－10.
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(2)如果 ＝5，求x的值.
解：(2)∵ ＝5，
∴2(x－2)－(－x＋3)· ＝5.
去括号，得2x－4－ x＋ ＝5.
移项，得2x－ x＝5＋4－ .
合并同类项，得 x＝ .
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：(2)∵ ＝5，
∴2(x－2)－(－x＋3)· ＝5.
去括号，得2x－4－ x＋ ＝5.
移项，得2x－ x＝5＋4－ .
合并同类项，得 x＝ .
将未知数的系数化为1，得x＝ .
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第5章　一元一次方程
5.2.1　第2课时　用方程的变形解简单的方程
知识点1　方程的变形规则
1. 解方程2x－4＝2得到x＝3.根据方程的变形规则 ，方程
的两边 ，得到2x＝6；根据方程的变形规则 ，方程的
两边 ，得到x＝3.
1　
都加上4　
2　
都除以2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
知识点2　移项
2. 下列方程移项正确的是(　D　)
A. 4x－2＝－5移项，得4x＝5－2
B. 4x－2＝－5移项，得4x＝－5－2
C. 3x＋2＝4x移项，得3x－4x＝2
D. 3x＋2＝4x移项，得3x－4x＝－2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. 若代数式x＋2的值为7，则x等于(　C　)
A. 9 B. －9 C. 5 D. －5
4. 解下列方程：
(1)x＋1＝5； 解：方程两边都减去1，
得x＝4. 解：方程两边都减去x，
得x＝－1.
C
解：方程两边都减去1，
得x＝4.
解：方程两边都减去x，
得x＝－1.
(2)2x＝x－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
知识点3　将未知数的系数化为1
5. 下列方程将未知数的系数化为1正确的是(　D　)
A. 由5x＝－5，得x＝1
B. 由－2x＝4，得x＝2
C. 由7x＝－4，得x＝－
D. 由 x＝2，得x＝4
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 解下列方程：
(1) x＝2； (2)－3x＝－6.
解：方程两边都除以 ，
得x＝6. 解：方程两边都除以－3，
得x＝2.
解：方程两边都除以 ，
得x＝6.
解：方程两边都除以－3，
得x＝2.
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7. 下列方程移项、将未知数的系数化为1正确的是(　C　)
A. 由3＋x＝5，得x＝5＋3
B. 由3x－1＝4，得x＝
C. 由 y＋1＝5，得y＝12
D. x＋1＝0，得x＝4
C
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8. 解下列方程：
(1)0.5x－3＝1； (2)4x－5＝3x＋1.
解：两边都加上3，
得0.5x＝1＋3，
即0.5x＝4.
两边都除以0.5，
得x＝8.
解：两边都加上3，
得0.5x＝1＋3，
即0.5x＝4.
两边都除以0.5，
得x＝8.
解：两边都减去3x，得
4x－5－3x＝3x＋1－3x，
即x－5＝1.
两边都加上5，
得x－5＋5＝1＋5，
即x＝6.
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9. (1)已知x＝－3是方程 mx＝2x－3的解.
①求m的值；
②求代数式(m2－13m＋11)2 012的值.
解：(1)①把x＝－3代入方程 mx＝2x－3，
得 ×(－3)m＝2×(－3)－3.
解得m＝12.
②由①知m＝12.
∴(m2－13m＋11)2 012＝(144－156＋11)2 012＝1.
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(2)小王在解关于x的方程2a－2x＝15时，误将－2x看成了＋2x，得到
方程的解为x＝3，请求出原方程的解.
(2)把x＝3代入2a＋2x＝15，得
2a＋2×3＝15.
解得a＝4.5.
把a＝4.5代入2a－2x＝15，得
9－2x＝15.
解得x＝－3.
(2)把x＝3代入2a＋2x＝15，得
2a＋2×3＝15.
解得a＝4.5.
把a＝4.5代入2a－2x＝15，得
9－2x＝15.
解得x＝－3.
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9(共16张PPT)
第5章　一元一次方程
阶段训练1　(5.1～5.2)
一、选择题(每小题4分，共28分)
1. 下列式子不是方程的是(　C　)
A. 2x＝0 B. 2x＋3y＝0
C. 5x＋7 D. 3(2x－2)＝12
C
2. (2024泉州惠安期末)方程4x＝－2的解是(　C　)
A. x＝－2 B. x＝2
C. x＝－ D. x＝
C
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3. 把方程 x＝－1变形为x＝－2的依据是(　C　)
A. 分数的基本性质 B. 等式的基本性质1
C. 等式的基本性质2 D. 倒数的定义
4. 若代数式x＋1的值为6，则x等于(　A　)
A. 5 B. －5 C. 7 D. －7
C
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5. 下列方程变形中，正确的是(　A　)
A. 方程 － ＝1去分母，得5(x－1)－2x＝10
B. 方程3－x＝2－5(x－1)去括号，得3－x＝2－5x－1
C. 方程 t＝ 将未知数的系数化为1，得t＝1
D. 方程3x－2＝2x＋1移项，得3x－2x＝－1＋2
A
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6. (2024福州期末)《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有
共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三.问人数、羊价各几
何.”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6钱，则差45钱；每人出8
钱，则差3钱.求人数和羊价各是多少.设买羊人数为x，根据题意可列方
程为(　A　)
A. 6x＋45＝8x＋3 B. 6x＋45＝8x－3
C. 6x－45＝8x＋3 D. 6x－45＝8x－3
A
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7. (2024泉州泉港区期中)张明同学的家庭作业中有这样一道题： －
2＝x，□处被墨水覆盖了，张明打电话问李晓同学，李晓告诉张明这个
方程的解是x＝－1，那么□处应该是数字(　B　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. －5
B
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二、填空题(每小题4分，共24分)
8. 方程－2x＝10的解为 .
9. 当x＝ 时，代数式2x＋5与3x的值相等.
10. (2024泉州安溪期中)若关于x的方程(k－3) ＋1＝0是一元一次
方程，则k＝ .
x＝－5　
5　
－3　
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11. (2024扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中
最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问
题，可理解为：速度快的人每分钟走100 m，速度慢的人每分钟走60 m，
现在速度慢的人先走100 m，速度快的人去追他，速度快的人追上他需
要 min.
2.5　
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12. 若关于x的方程 ＋a＝4的解是x＝3，则a的值为 .
13. (2024泉州晋江期末)定义一种新运算“※”：a※b＝2a－｜b－
2｜.例如：5※(－3)＝2×5－｜－3－2｜＝5，则关于x的方程x※(－4)
＝5x－3的解是 .
3　
x＝－1　
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三、解答题(共48分)
14. (10分)解下列方程：
(1)3(2x－1)＝15；
解：去括号，得6x－3＝15.
移项，得6x＝18.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
解：去括号，得6x－3＝15.
移项，得6x＝18.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
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(2) － ＝1.
解：去分母，得(2x－5)－3(3x＋1)＝6.
去括号，得2x－5－9x－3＝6.
移项、合并同类项，得－7x＝14.
将未知数的系数化为1，得x＝－2.
解：去分母，得(2x－5)－3(3x＋1)＝6.
去括号，得2x－5－9x－3＝6.
移项、合并同类项，得－7x＝14.
将未知数的系数化为1，得x＝－2.
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15. (12分)(2024泉州南安期中)已知关于x的方程(｜k｜－4)x2－(k－4)x
＋3m－2＝0是一元一次方程.
(1)求k的值；
解：(1)∵关于x的方程(｜k｜－4)x2－(k－4)x＋3m－2＝0是一元一次
方程，
∴｜k｜－4＝0且－(k－4)≠0.
∴k＝－4.
解：(1)∵关于x的方程(｜k｜－4)x2－(k－4)x＋3m－2＝0是一元一次
方程，
∴｜k｜－4＝0且－(k－4)≠0.
∴k＝－4.
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(2)若原方程与方程5x＝3－7x的解相同，求m的值.
解：(2)把k＝－4代入方程(｜k｜－4)x2－(k－4)x＋3m－2＝0，得
8x＋3m－2＝0.
解方程5x＝3－7x，得
x＝ .
∵原方程与方程5x＝3－7x的解相同，
∴8× ＋3m－2＝0.
解得m＝0.
解：(2)把k＝－4代入方程(｜k｜－4)x2－(k－4)x＋3m－2＝0，得
8x＋3m－2＝0.
解方程5x＝3－7x，得x＝ .
∵原方程与方程5x＝3－7x的解相同，
∴8× ＋3m－2＝0.
解得m＝0.
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16. (12分)电信部门推出两种电话计费方式如表所示.
A B
月租费/(元/月) 30 10
通话费/(元/min) 0.4 0.5
当通话多少分钟时，按A，B两种计费方式的收费一样多？
解：设当通话x min时，按A，B两种计费方式的收费一样多，根据题
意，得
0.4x＋30＝0.5x＋10.
解：设当通话x min时，按A，B两种计费方式的收费一样多，根据题意，
得0.4x＋30＝0.5x＋10.
解这个方程，得x＝200.
经检验，符合题意.
答：当通话200 min时，按A，B两种计费方式的收费一样多.
解这个方程，得x＝200.
经检验，符合题意.
答：当通话200 min时，按A，B两种计费方式的收费一样多.
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17. (14分)如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为
“美好方程”.例如：方程2a－1＝3和b＋1＝0为“美好方程”.
(1)方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是“美好方程”吗？请说明
理由.
解：(1)方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是“美好方程”，理由
如下：
解方程4x－(x＋5)＝1，得x＝2.
解方程－2y－y＝3，得y＝－1.
∵－1＋2＝1，
∴方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是“美好方程”.
解：(1)方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是“美好方程”，理由
如下：
解方程4x－(x＋5)＝1，得x＝2.
解方程－2y－y＝3，得y＝－1.
∵－1＋2＝1，
∴方程4x－(x＋5)＝1与方程－2y－y＝3是“美好方程”.
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(2)若关于x的方程2x－n＋3＝0与x＋5n－1＝0是“美好方程”，求n
的值.
解：(2)解关于x的方程2x－n＋3＝0，得
x＝ .
解方程x＋5n－1＝0，得x＝1－5n.
∵关于x的方程2x－n＋3＝0与x＋5n－1＝0是“美好方程”，
∴ ＋1－5n＝1，
解得n＝－ .
解：(2)解关于x的方程2x－n＋3＝0，得
x＝ .
解方程x＋5n－1＝0，得x＝1－5n.
∵关于x的方程2x－n＋3＝0与x＋5n－1＝0是“美好方程”，
∴ ＋1－5n＝1，
解得n＝－ .
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第5章　一元一次方程
专题强化3　一元一次方程的实际应用
1. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作.书中记载这样一个问题：
“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，人与车各几何？”这个
问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；若每
2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，有多少人，多少辆车？
解：设有x辆车，则有(2x＋9)人.
根据题意，得3(x－2)＝2x＋9.
解：设有x辆车，则有(2x＋9)人.
根据题意，得3(x－2)＝2x＋9.
解得x＝15.
∴2x＋9＝2×15＋9＝39(人).
经检验，符合题意.
答：有39人，15辆车.
解得x＝15. ∴2x＋9＝2×15＋9＝39(人).
经检验，符合题意.
答：有39人，15辆车.
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2. 如图，一块长为5 cm，宽为2 cm的长方形纸板，一块长为4 cm，宽为
1 cm的长方形纸板与一块正方形纸板以及另外两块长方形纸板，恰好拼
成一个大正方形，大正方形的面积是多少？(单位：cm)
解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为[4＋(5－x)]cm或(x
＋1＋2)cm.
根据题意，得4＋(5－x)＝x＋1＋2.
解得x＝3.经检验，符合题意.
∴4＋(5－x)＝6，6×6＝36(cm2).
答：大正方形的面积为36 cm2.
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3. (2024厦门海沧区期末)元旦期间，在“美丽校园我做主”志愿者
活动中，七年级(1)班的甲、乙两名同学主动承担了160 m2校园的清
洁任务.已知甲同学每小时清洁的面积比乙同学的2倍少10 m2，甲、
乙两名同学一起清洁2小时恰好完成任务.求乙同学每小时清洁的面
积.(请用列方程求解)
解：设乙同学每小时清洁的面积为x m2，则甲同学每小时清洁的面积为
(2x－10)m2.
由题意，得2x＋2(2x－10)＝160.
解：设乙同学每小时清洁的面积为x m2，则甲同学每小时清洁的面积为
(2x－10)m2.
由题意，得2x＋2(2x－10)＝160.
解得x＝30.
经检验，符合题意.
答：乙同学每小时清洁的面积为30 m2.
解得x＝30.经检验，符合题意.
答：乙同学每小时清洁的面积为30 m2.
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4. 甲仓库存煤200 t，乙仓库存煤70 t，如果从甲仓库每天运出15 t煤，而
乙仓库每天运进25 t煤，那么几天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍？
解：设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，根据题意，得
2(200－15x)＝70＋25x.
解得x＝6.
经检验，符合题意.
答：6天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍.
解：设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍，根据题意，得
2(200－15x)＝70＋25x.
解得x＝6.
经检验，符合题意.
答：6天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍.
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5. 高20 cm、底面积为20 cm2的圆柱形容器内装有液体，液体的体积是圆
柱形容器体积的 ，现将液体倒入棱长为4 cm的正方体容器中，倒满
后，圆柱形容器中的液体下降了多少厘米？
解：设圆柱形容器中的液体下降了x cm，根据题意，得
×20×20－4×4×4＝20× .
解得x＝3.2.
经检验，符合题意.
答：圆柱形容器中的液体下降了3.2 cm.
解：设圆柱形容器中的液体下降了x cm，根据题意，得
×20×20－4×4×4＝20× .
解得x＝3.2.
经检验，符合题意.
答：圆柱形容器中的液体下降了3.2 cm.
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6. 小兰的妈妈前年存了年利率为2.5％的两年期定期储蓄，今年到期扣
除利息税(利息税为利息的20％)后，用所得利息正好为小兰购买了一个标
价为198元的优盘，问小兰的妈妈前年存款是多少元？
解：设小兰的妈妈前年存款是x元，根据题意，得
2×2.5％x(1－20％)＝198.
x＝4 950.
经检验，符合题意.
答：小兰的妈妈前年存款4 950元.
解：设小兰的妈妈前年存款是x元，根据题意，得
2×2.5％x(1－20％)＝198.
x＝4 950.
经检验，符合题意.
答：小兰的妈妈前年存款4 950元.
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7. 某文具店的A牌钢笔比B牌钢笔每支贵10元，小彬买了3支A牌钢笔、2
支B牌钢笔，一共花了130元.B牌钢笔每支多少元？
解：设B牌钢笔每支x元，则A牌钢笔每支(x＋10)元.根据题意，得
3(x＋10)＋2x＝130.
解得x＝20.
经检验，符合题意.
答：B牌钢笔每支20元.
解：设B牌钢笔每支x元，则A牌钢笔每支(x＋10)元.根据题意，得
3(x＋10)＋2x＝130.
解得x＝20.
经检验，符合题意.
答：B牌钢笔每支20元.
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8. (2024福州闽侯期末)某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均
生产15张桌子或50把椅子，一张桌子要配两把椅子，当每天安排多少名
工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？
解：设每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套.根据
题意，得
2×15x＝50(32－x).
解得x＝20.
经检验，符合题意.
答：当每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套.
解：设每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套.根据
题意，得2×15x＝50(32－x).
解得x＝20.
经检验，符合题意.
答：当每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套.
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9. 现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；
第二种售价300元，每月包含20次.两种月票超出每月包含次数后，都需
要另外购票，票价为25元/次.张先生每月乘坐地铁机场线超过10次，他
购买哪种月票比较节省费用？
解：设张先生每月乘坐地铁机场线x(x＞10)次.
第一种月票花费钱数为[200＋25(x－10)]元.
当x大于10且x小于20时，第二种月票花费钱数为300元.
200＋25(x－10)＝300.
解：设张先生每月乘坐地铁机场线x(x＞10)次.
第一种月票花费钱数为[200＋25(x－10)]元.
当x大于10且x小于20时，第二种月票花费钱数为300元.
200＋25(x－10)＝300.
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解得x＝14.
经检验，符合题意.
∴当张先生每月乘坐地铁机场线超过10次，小于14次时，买第一种月票
比较节省费用；
当张先生每月乘坐地铁机场线等于14次时，两种月票花费一样；
当张先生每月乘坐地铁机场线超过14次时，买第二种月票比较节省费用.
解得x＝14.
经检验，符合题意.
∴当张先生每月乘坐地铁机场线超过10次，小于14次时，买第一种月票
比较节省费用；
当张先生每月乘坐地铁机场线等于14次时，两种月票花费一样；
当张先生每月乘坐地铁机场线超过14次时，买第二种月票比较节省费用.
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10. (2024莆田二十五中月考)A，B两地相距480 km，一辆轿车以100
km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地.同时，一辆货车以80 km/h的
速度从B地出发匀速行驶，前往A地.
(1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
解：(1)设两车相遇时，轿车行驶的时间为t h，根据题意，得
100t＋80t＝480.
解：(1)设两车相遇时，轿车行驶的时间为t h，根据题意，得
100t＋80t＝480.
解得t＝ .
经检验，符合题意.
答：两车相遇时，轿车行驶的时间为 h.
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(2)当两车相距120 km时，求轿车行驶的时间.
(2)设两车相距120 km时，轿车行驶的时间为x h，根据题意可以分相遇
前和相遇后两种情况.
①当相遇前两车相距120 km时，
100t＋80t＝480－120.
解得t＝2.
经检验，符合题意.
(2)设两车相距120 km时，轿车行驶的时间为x h，根据题意可以分相遇
前和相遇后两种情况.
①当相遇前两车相距120 km时，
100t＋80t＝480－120.
解得t＝2.
经检验，符合题意.
1
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5
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10
②当相遇后两车相距120 km时，
100t＋80t＝480＋120
解得t＝ .
经检验，符合题意.
答：当两车相距120 km时，轿车行驶的时间为2 h或 h.
②当相遇后两车相距120 km时，
100t＋80t＝480＋120
解得t＝ .
经检验，符合题意.
答：当两车相距120 km时，轿车行驶的时间为2 h或 h.
1
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10(共9张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.1　第1课时　等式的基本性质
知识点1　等式的基本性质1
1. (1)如果5x－3＝－7，那么5x＝－7＋ ，其依据是
，将等式两边都 .
(2)如果3x＝7＋2x，那么3x－ ＝7，其依据是 ，
将等式两边都 .
3　
等式
的基本性质1　
加上3　
2x　
等式的基本性质1
减去2x　
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图，天平两次均处在平衡状态.设“ ”的质量为a，“ ”的质量
为b，则a与b的大小关系为(　B　)
A. a＜b B. a＝b
C. a＞b D. 无法确定
(第2题)
3. 填空：(1)若a＝b，则a－2＝b－ ；
(2)若x－y＝6，则x＝ .
B
2　
6＋y　
1
2
3
4
5
6
7
8
知识点2　等式的基本性质2
4. (1)如果5x＝－10，那么x＝ ，其依据是
，将等式两边都 .
(2)如果 ＝2，那么a＝ ，其依据是 ，将等式
两边都 .
－2　
等式的基本
性质2　
除以5　
6　
等式的基本性质2　
乘3　
(3)如果－ ＝ ，那么x＝ ，其依据是 ，
将等式两边都 .
(4)如果－2x＝2y，那么x＝ ，其依据是 ，
将等式两边都 .
－2y　
等式的基本性质2　
乘－10　
－y　
等式的基本性质2　
除以－2　
1
2
3
4
5
6
7
8
5. (2024泉州期末)若5x＝2，则x的值为(　B　)
A. 5 B. C. D. －
B
1
2
3
4
5
6
7
8
6. (2024泉州德化期中)运用等式的性质，下列变形不正确的是(　C　)
A. 若a＝b，则a－3＝b－3
B. 若a＝b，则ac＝bc
C. 若a＝b，则 ＝
D. 若 ＝ ，则a＝b
C
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 将等式5a－3b＝4a－3b变形，过程如下：
∵5a－3b＝4a－3b，
∴5a＝4a.…………第一步
∴5＝4. ……………第二步
上述过程中，第一步的依据是 ，
第二步得出错误的结论，其原因是
.
等式的基本性质1　
等式的两边都除以了一个可能等于0
的a　
1
2
3
4
5
6
7
8
8. (1)由等式 ＝ 能不能得到2b＝a？若能，依据是什么？若不能，请
说明理由.
解：(1)由等式 ＝ 能得到2b＝a.
依据是等式的基本性质2，将等式两边都乘ab.
解：(1)由等式 ＝ 能得到2b＝a.
依据是等式的基本性质2，将等式两边都乘ab.
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7
8
(2)由等式2b＝a能不能得到 ＝ ？若能，依据是什么？若不能，请说明
理由.
解：(2)由等式2b＝a不能得到 ＝ .
理由：a或b可能等于0，此时ab＝0，两边都除以ab无意义.
解：(2)由等式2b＝a不能得到 ＝ .
理由：a或b可能等于0，此时ab＝0，两边都除以ab无意义.
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8(共9张PPT)
第5章　一元一次方程
专题强化1　解一元一次方程
解下列方程：
(1)4x＋1＝9；
解：移项、合并同类项，得4x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
(2) x＋1＝x；
解：移项、合并同类项，得－ x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
解：移项、合并同类项，得4x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
解：移项、合并同类项，得－ x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝3.
(3)7－3(x＋4)＝2x；
解：去括号，得7－3x－12＝2x.
移项、合并同类项，得－5x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
(4)2x＋3(2x－1)＝16－(x＋1)；
解：去括号，得2x＋6x－3＝16－x－1.
移项，得2x＋6x＋x＝16－1＋3.
合并同类项，得9x＝18.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
解：去括号，得7－3x－12＝2x.
移项、合并同类项，得－5x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：去括号，得2x＋6x－3＝16－x－1.
移项，得2x＋6x＋x＝16－1＋3.
合并同类项，得9x＝18.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
(5) － ＝1；
解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.
去括号，得4x＋2－5x＋1＝6.
移项、合并同类项，得－x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.
去括号，得4x＋2－5x＋1＝6.
移项、合并同类项，得－x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
(6) ＝ ＋1；
解：去分母，得3(x－3)＝5(x－4)＋15.
去括号，得3x－9＝5x－20＋15.
移项、合并同类项，得－2x＝4.
将未知数的系数化为1，得x＝－2.
解：去分母，得3(x－3)＝5(x－4)＋15.
去括号，得3x－9＝5x－20＋15.
移项、合并同类项，得－2x＝4.
将未知数的系数化为1，得x＝－2.
(7) － ＝2；
解：去分母，得2(x＋2)－3(x－1)＝12.
去括号，得2x＋4－3x＋3＝12.
移项，得2x－3x＝12－4－3.
合并同类项，得－x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝－5.
解：去分母，得2(x＋2)－3(x－1)＝12.
去括号，得2x＋4－3x＋3＝12.
移项，得2x－3x＝12－4－3.
合并同类项，得－x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝－5.
(8) － ＝1.2；
解：整理，得 － ＝1.2.
去分母，得5(10x－10)－3(10x＋20)＝18.
去括号，得50x－50－30x－60＝18.
移项、合并同类项，得20x＝128.
将未知数的系数化为1，得x＝6.4.
解：整理，得 － ＝1.2.
去分母，得5(10x－10)－3(10x＋20)＝18.
去括号，得50x－50－30x－60＝18.
移项、合并同类项，得20x＝128.
将未知数的系数化为1，得x＝6.4.
(9)3x＋ ＝3－ ；
解：去分母，得18x＋3(x－1)＝18－2(2x－1).
去括号，得18x＋3x－3＝18－4x＋2.
移项、合并同类项，得25x＝23.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去分母，得18x＋3(x－1)＝18－2(2x－1).
去括号，得18x＋3x－3＝18－4x＋2.
移项、合并同类项，得25x＝23.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
(10) － ＝ .
解：整理，得 － ＝ .
去分母，得2×20x－(16－30x)＝2(31x＋8).
去括号，得40x－16＋30x＝62x＋16.
移项、合并同类项，得8x＝32.
将未知数的系数化为1，得x＝4.
解：整理，得 － ＝ .
去分母，得2×20x－(16－30x)＝2(31x＋8).
去括号，得40x－16＋30x＝62x＋16.
移项、合并同类项，得8x＝32.
将未知数的系数化为1，得x＝4.(共16张PPT)
第5章　一元一次方程
5.3　第3课时　工程、行程、调配问题
知识点1　工程问题
1. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管20 h可以注满水池，单
独开乙管12 h可以注满水池，那么两管齐开注满水池，需要(　C　)
A. 15 h B. 6 h
C. 7.5 h D. 8 h
C
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2. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完
成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天才能完成？
信息提炼：设还需要x天才能完成.
由画“ 　　　　”的内容可得：甲的工作效率为 ，乙的工作效率
为 ；
　
　
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由画“ 　　　　”的内容可得：这项工程甲工作了 天，乙工作
了 天，进一步得到甲的工作量为 ，乙的工作量
为 .
根据相等关系：甲的工作量＋乙的工作量＝1，
可列方程： .解得 .
答：还需要 天完成.
4　
(x＋4)　
　
　
＋ ＝1　
x＝5　
5　
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3. (2024泉州文笔中学月考)一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完
成需要5天.现在甲先做了3天，剩下的工作由甲、乙两人一起完成，乙做
了多少天的工作？
解：设乙做了x天的工作.
根据题意，得 ×3＋ x＝1.
解得x＝3.
经检验，符合题意.
答：乙做了3天的工作.
解：设乙做了x天的工作.
根据题意，得 ×3＋ x＝1.
解得x＝3.
经检验，符合题意.
答：乙做了3天的工作.
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知识点2　行程问题
4. 甲、乙两人从A地出发前往B地.甲的速度为8 km/h，乙的速度为10
km/h，甲出发30 min后乙出发，结果两人同时到达B地.求A地到B地的路
程.设A地到B地的路程为x km，则可列方程为(　C　)
A. － ＝30 B. － ＝30
C. － ＝ D. － ＝
C
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5. A，B两地相距150 km，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而
行匀速行驶，已知甲的速度是乙的2倍，1 h的时候两人相距30 km，则甲
的速度为 km/h.
6. 两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水
中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h.4 h后两船相距多远？
解：根据题意，得甲船顺水的速度为(50＋a)km/h，乙船逆水的速度为
(50－a)km/h，
∴4 h后两船相距4(50＋a)＋4(50－a)＝400(km).
答：4 h后两船相距400 km.
80或120　
解：根据题意，得甲船顺水的速度为(50＋a)km/h，乙船逆水的速度为
(50－a)km/h，
∴4 h后两船相距4(50＋a)＋4(50－a)＝400(km).
答：4 h后两船相距400 km.
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知识点3　调配问题
7. 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小
饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套.设安排x名工人制作大花
瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套.则列出方程为
.
＝
　
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8. 一套仪器由1个A部件和3个B部件构成.用1 m3钢材可做40个A部件或
240个B部件.现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多
少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
解：设应用x m3钢材做A部件，则应用 m3钢材做B部件.
根据题意，得3×40x＝ .
解得x＝ .
则6－x＝ ，40x＝ .
答： .
(6－x)　
240(6－x)　
4　
2　
160　
应用4 m3钢材做A部件，2 m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套
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9. 学校要制作一块广告牌，请来两名工人.已知甲单独完成需4天，乙单
独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900
元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为(　B　)
A. 甲360元，乙540元
B. 甲450元，乙450元
C. 甲300元，乙600元
D. 甲540元，乙360元
B
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10. (2024福州十九中期末)某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种
零件16个或乙种零件10个.已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，
通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产
的配套零件最多，最多为(　A　)
A. 200套 B. 201套
C. 202套 D. 203套
A
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11. 甲、乙两人跑步，从同一地点出发，沿直线同向而行，甲的速度为10
km/h，乙的速度为8 km/h，乙先出发 h，则甲出发 h，两人相
距2 km.
1或3　
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12. 某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做9天可以完成.现在两人合
作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完，乙中
途离开了多少天？
解：设乙中途离开了x天，根据题意，得
＋ ＝1.
解得x＝5.
经检验，符合题意.
答：乙中途离开了5天.
解：设乙中途离开了x天，根据题意，得
＋ ＝1.
解得x＝5.
经检验，符合题意.
答：乙中途离开了5天.
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13. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400 m，乙
的速度为6 m/s，甲的速度是乙的 倍.现在甲、乙两人在跑道上相距8 m
处同时同向出发.
(1)经过多少秒两人首次相遇？
解：(1)当甲在后面时，设经过x s两人首次相遇，根据题意，得
x＝8.
解：(1)当甲在后面时，设经过x s两人首次相遇，根据题意，得
x＝8.
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解得x＝4.
经检验，符合题意.
当乙在后面时，设经过y s两人首次相遇，根据题意，得
y＝400－8.
解得y＝196.
经检验，符合题意.
答：经过4 s或196 s两人首次相遇.
解得x＝4.
经检验，符合题意.
当乙在后面时，设经过y s两人首次相遇，根据题意，得
y＝400－8.
解得y＝196.
经检验，符合题意.
答：经过4 s或196 s两人首次相遇.
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(2)再经过多少秒两人第二次相遇？
(2)设再经过z s两人第二次相遇，根据题意，得
z＝400.
解得z＝200.
经检验，符合题意.
答：再经过200 s两人第二次相遇.
(2)设再经过z s两人第二次相遇，根据题意，得
z＝400.
解得z＝200.
经检验，符合题意.
答：再经过200 s两人第二次相遇.
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13(共16张PPT)
第5章　一元一次方程
5.3　第2课时　储蓄问题与销售问题
知识点1　储蓄问题
1. 某理财产品的年收益率为5.21％，定期1年，每年到期后可连本带息
继续购买下一年的产品.若张老师购买了x万元该种理财产品，1年后一
共拿到10万元，则根据题意列方程正确的是(　A　)
A. x＋5.21％x＝10 B. 1＋5.21x＝10
C. (1＋5.21)x＝10 D. 1＋5.21％x＝10
A
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2. 笑笑把1 000元的压岁钱存入银行，一年后，他共取回1 025元，银行
的年利率是(　C　)
A. 2.00％ B. 0.25％
C. 2.50％ D. 2.25％
C
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3. 爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年
后能取5 405元，那么刚开始他存入多少元？
解：设刚开始小明的爸爸存入x元，根据题意，得
(1＋2.7％×3)×x＝5 405.
解得 x＝5 000.
经检验，符合题意.
答：刚开始小明的爸爸存入5 000元.
解：设刚开始小明的爸爸存入x元，根据题意，得
(1＋2.7％×3)×x＝5 405.
解得 x＝5 000.
经检验，符合题意.
答：刚开始小明的爸爸存入5 000元.
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知识点2　销售问题
4. 某商场把一个双肩包按进价提高20％标价，这样商场每卖出一个书包
可盈利10元.设每个双肩包的进价是x元，则根据题意所列方程正确的是
(　C　)
A. 20％x－x＝10
B. (1＋20％)x＝10
C. (1＋20％)x－x＝10
D. (1＋20％)x－20％x＝10
C
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5. 十一国庆节期间，某服装店开展优惠活动，某款衣服的广告如图所
示，广告牌上的原价为 元.
(第5题)
200　
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6. 某商品每件进价为70元，售价为105元.
(1)该商品每件的销售利润为 元，利润率为 ；
(2)若该商品打八折销售，则该商品的售价为 元，销售利润
为 元，利润率为 .
7. 某商场销售一批电风扇，每台售价560元，可获利25％，求每台电风
扇的成本价.若设每台电风扇的成本价为x元，则可列方程为
.
35　
50％　
84　
14　
20％　
560－x＝
25％·x　
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8. 某商店以1 200元/件卖了两件进价不同的商品，其中一件盈利20
％，另一件亏损20％，在这次买卖中，该商店是赚了还是亏了？赚
(亏)了多少元？
解：设盈利20％的一件商品进价是x元，根据题意，得
(1＋20％)x＝1 200.
解得x＝1 000.
经检验，符合题意.
设亏损20％的一件商品进价是y元，根据题意，得
(1－20％)y＝1 200.
解：设盈利20％的一件商品进价是x元，根据题意，得
(1＋20％)x＝1 200.
解得x＝1 000.
经检验，符合题意.
设亏损20％的一件商品进价是y元，根据题意，得
(1－20％)y＝1 200.
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解得y＝1 500.
经检验，符合题意.
∵1 000＋1 500＝2 500(元)，
1 200×2＝2 400(元)，
2 500－2 400＝100(元)，
∴亏了100元.
答：该商店亏了，亏了100元.
解得y＝1 500.
经检验，符合题意.
∵1 000＋1 500＝2 500(元)，
1 200×2＝2 400(元)，
2 500－2 400＝100(元)，
∴亏了100元.
答：该商店亏了，亏了100元.
1
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13
9. 某水果店用1 000元购进甲、乙两种新出产的水果共140 kg，这两种水
果的进价、售价如表所示.
进价/(元/kg) 售价/(元/kg)
甲 5 8
乙 9 13
(1)这两种水果各购进多少千克？
解：(1)设购进甲种水果x kg，则购进乙种水果(140－x) kg，根据题
意，得
5x＋9(140－x)＝1 000.
解得x＝65.
经检验，符合题意.
∴140－x＝140－65＝75.
答：购进甲种水果65 kg，购进乙种水果75 kg.
解：(1)设购进甲种水果x kg，则购进乙种水果(140－x) kg，根据题
意，得5x＋9(140－x)＝1 000.
解得x＝65.经检验，符合题意.
∴140－x＝140－65＝75.
答：购进甲种水果65 kg，购进乙种水果75 kg.
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(2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？
解：(2)(8－5)×65＋(13－9)×75
＝3×65＋4×75
＝195＋300
＝495(元).
答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元.
解：(2)(8－5)×65＋(13－9)×75
＝3×65＋4×75
＝195＋300
＝495(元).
答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元.
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10. 一件商品，按标价八折销售，盈利20元；按标价六折销售，亏损10
％.求标价为多少元.
小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x－20＝
.小明同学列此方程的依据是(　B　)
A. 商品的利润不变
B. 商品的成本不变
C. 商品的售价不变
D. 商品的销售量不变
B
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11. 一件商品按比成本价高50％的价格定价，然后打八折销售，一周没有
卖出去，周末在原来折扣上再打九五折卖出，结果赚了49元，这件商品
的成本价是 元.
350　
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12. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场
以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售
了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.每件衬衫降
价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40％的预期目标？
解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40％的预期
目标.
根据题意，得120×400＋(120－x)×(500－400)－80×500＝80×500×40
％.
解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40％的预期目标.
根据题意，得120×400＋(120－x)×(500－400)－80×500＝80×500×40％.
解得x＝40.
经检验，符合题意.
答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40％的预期
目标.
解得x＝40.
经检验，符合题意.
答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40％的预期
目标.
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13. 小希准备在6年后考上大学时，用15 000元给父母买一份礼物表示感
谢，决定现在把零花钱存入银行.下面有两种储蓄方案：
方案一：直接存一个6年期；(6年期年利率为2.88％)
方案二：先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年
期.(3年期年利率为2.70％)
你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由.
解：按照储蓄方案一开始存入的本金比较少.理由如下：
设储蓄方案一所需本金为x元，
根据题意，得(1＋2.88％×6)x＝15 000.
解：按照储蓄方案一开始存入的本金比较少.理由如下：
设储蓄方案一所需本金为x元，
根据题意，得(1＋2.88％×6)x＝15 000.
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解得x≈12 789.90.
经检验，符合题意.
设储蓄方案二所需本金为y元，根据题意，
得(1＋2.70％×3)2y＝15 000.解得y≈12 836.30.
经检验，符合题意.
∵12 789.90＜12 836.30，
∴按储蓄方案一开始存入的本金比较少.
解得x≈12 789.90.
经检验，符合题意.
设储蓄方案二所需本金为y元，根据题意，
得(1＋2.70％×3)2y＝15 000.解得y≈12 836.30.
经检验，符合题意.
∵12 789.90＜12 836.30，
∴按储蓄方案一开始存入的本金比较少.
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第5章　一元一次方程
综合与实践
(2024泉州华侨中学月考)【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性
质，现有一架天平和一个10 g的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的
质量？
【操作探究】
下面是“智慧小组”的探究过程：
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球(质量相同)；②若干个大小相同的
纸杯(质量相同).
探究过程：设每个乒乓球的质量是x g.
天平左边 天平右边 天平
状态 乒乓球
的总质
量 一次性纸杯
的总质量
记录1 8个乒乓球和1个
10 g的砝码 14个一次性纸
杯 平衡 8x 8x＋10
记录2 4个乒乓球 2个一次性纸
杯和1个10 g的
砝码 平衡 4x 4x－10
8x＋10
4x－10
【解决问题】
(1)①将表格中的空白部分用含x的式子表示；
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量.
解：(1)②根据题意，得8x＋10＝ (4x－10).
解得x＝4.
∴(4x－10)÷2＝(4×4－10)÷2＝3.
∴1个乒乓球的质量为4 g，1个一次性纸杯的质量为3 g.
解：(1)②根据题意，得8x＋10＝ (4x－10).
解得x＝4.
∴(4x－10)÷2＝(4×4－10)÷2＝3.
∴1个乒乓球的质量为4 g，1个一次性纸杯的质量为3 g.
【拓展设计】
(2)“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：
请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，填入下
表，并利用方程的知识说明理由.
天平左边 天平右边 天平状
态
记录3 个乒乓球 个一次性纸杯和2个10 g的砝码 平衡
8　
4　
(2)理由如下：
设一次性纸杯个数为m个，则乒乓球的个数为2m个.
根据题意，得4·2m＝3m＋2×10.
解得m＝4.
∴2m＝8.
∴8个乒乓球，4个一次性纸杯加2个10 g的砝码能使天平平衡.
(2)理由如下：
设一次性纸杯个数为m个，则乒乓球的个数为2m个.
根据题意，得4·2m＝3m＋2×10.
解得m＝4.
∴2m＝8.
∴8个乒乓球，4个一次性纸杯加2个10 g的砝码能使天平平衡.(共15张PPT)
第5章　一元一次方程
5.3　第1课时　物体形状变化问题与数字问题
知识点1　与平面图形有关的实际问题
1. 一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2
cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程是(　B　)
A. x－1＝(26－x)＋2
B. x－1＝(13－x)＋2
C. x＋1＝(26－x)－2
D. x＋1＝(13－x)－2
B
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2. 如图，将一个长方形剪去一个宽为4的长条，再将剩余的长方形补上
一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面
积相等，则这个相等的面积是(　B　)
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
(第2题)
B
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3. 如图，在一块正方形的苗圃中，分别栽种不同种类的树苗，其中阴影
部分的两个长方形的宽分别是4 m，6 m，它们的面积相等，那么每个长
方形的面积是多少？
解：设左边长方形的长为x m，则右边长方形的长为(x＋4)m.
根据题意，得6x＝4(x＋4).
解这个方程，得x＝8.
经检验，符合题意.
∴6×8＝48(m2).
答：每个长方形的面积是48 m2.
解这个方程，得x＝8.
经检验，符合题意.
∴6×8＝48(m2).
答：每个长方形的面积是48 m2.
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知识点2　立体图形的等积变形问题
4. 有一个底面半径为10 cm、高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，若把
水倒入底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为
(　C　)
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
5. 用一个底面积为15×15 cm2的长方体容器装满水，向一个长、宽、高
分别为20 cm，15 cm，10 cm的长方体铁盒内倒水，当铁盒被倒满时，长
方体容器中的水面高度下降了多少厘米？设长方体容器中水的高度下降
了x cm，则可列方程为 .
C
15×15x＝20×15×10　
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6. 有一个底面半径为10 cm、高为64 cm的圆柱体合金，若将其锻造成长
方体工件，且它的长为20π cm，高为32 cm，则长方体的宽为多少？
解：设长方体的宽是x cm.
根据题意，得102π×64＝20π×32x.
解这个方程，得x＝10.
经检验，符合题意.
答：长方体的宽为10 cm.
解：设长方体的宽是x cm.
根据题意，得102π×64＝20π×32x.
解这个方程，得x＝10.
经检验，符合题意.
答：长方体的宽为10 cm.
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知识点3　数字问题
7. 小明今年13岁，他的祖父今年76岁，x年后小明的年龄是他祖父年龄
的 ，则x的值为 .
8　
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解：设原两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(7－x)，原两位
数为10x＋7－x，新两位数为10(7－x)＋x.
根据题意，得10(7－x)＋x－(10x＋7－x)＝45.
解这个方程，得x＝1.
经检验，符合题意.
∴10×1＋7－1＝16.
答：原两位数是16.
解：设原两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(7－x)，原两位
数为10x＋7－x，新两位数为10(7－x)＋x.
根据题意，得10(7－x)＋x－(10x＋7－x)＝45.
解这个方程，得x＝1.
经检验，符合题意.
∴10×1＋7－1＝16.
答：原两位数是16.
8. 一个两位数，十位数字和个位数字之和是7，如果把十位数字和个位
数字对调，那么得到的新两位数比原两位数大45，求原两位数.
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9. 如图，根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　)
A. π× x＝π× ×(x＋5)
B. π× x＝π× ×(x－5)
C. π×82x＝π×62×(x＋5)
D. π×82x＝π×62×5
(第9题)
A
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10. 在大长方形ABCD(CD是宽)中放入六个长、宽都相同的小长方形，
尺寸如图所示，求小长方形的宽AE. 若设AE＝x cm，则分析思路描述
正确的是(　C　)
　(第10题)
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乙：我列的方程是6＋2x＝x＋(14－3x)，以大长方形的宽作为相等关
系.
A. 甲对、乙不完全对 B. 甲不完全对、乙对
C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不对
甲：我列的方程是6＋2x－x＝14－3x，以小长方形的长作为相等关系.
答案：C
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11. 如图，小红家用10 m长的铁丝网在墙边围成了一个长方形鸡棚，若
鸡棚的长AB比宽BC多5 m，且宽的一边有一扇1 m宽的门，求该鸡棚的
面积.
解：设该鸡棚的宽为x m，则长为(x＋5)m，
根据题意，得x＋(x－1)＋(x＋5)＝10.
解这个方程，得x＝2.
经检验，符合题意.则x＋5＝7.
即宽AD＝2 m，长AB＝7 m，
∴鸡棚的面积为2×7＝14(m2).
答：该鸡棚的面积为14 m2.
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12. 如图，该数阵由77个偶数排成，在数阵中作一个平行四边形框.
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(1)若任意作一个类似的平行四边形框，设其中左上角的数是x，则其他
三个数怎样表示？
解：(1)∵22－20＝2，38－36＝2，
∴平行四边形框中的每一行两个数都相差2.
∵36－20＝16，38－22＝16，
∴第二行的两个数与第一行相应的两个数都相差16.
如果设左上角的数为x，
那么其他三个数可表示为x＋2，x＋16，x＋18.
解：(1)∵22－20＝2，38－36＝2，
∴平行四边形框中的每一行两个数都相差2.
∵36－20＝16，38－22＝16，
∴第二行的两个数与第一行相应的两个数都相差16.
如果设左上角的数为x，
那么其他三个数可表示为x＋2，x＋16，x＋18.
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(2)如果平行四边形框中四个数的和是326，能求出这四个数吗？
解：(2)根据题意，得x＋x＋2＋x＋16＋x＋18＝326.
解得x＝72.5.
∵72.5不是偶数，
∴不能求出这四个数.
解：(2)根据题意，得x＋x＋2＋x＋16＋x＋18＝326.
解得x＝72.5.
∵72.5不是偶数，
∴不能求出这四个数.
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12(共6张PPT)
第5章　一元一次方程
专题强化2　利用一元一次方程解的关系求值
1. 已知方程3x－1＝2x＋1的解和关于x的方程2x＋a＝3a＋2的解互为
倒数，求a的值.
解：解方程3x－1＝2x＋1，得x＝2.
∵方程3x－1＝2x＋1的解和关于x的方程2x＋a＝3a＋2的解互为倒
数，
∴关于x的方程2x＋a＝3a＋2的解是x＝ .
把x＝ 代入2x＋a＝3a＋2，得
1＋a＝3a＋2.
解得a＝－ .
解：解方程3x－1＝2x＋1，得x＝2.
∵方程3x－1＝2x＋1的解和关于x的方程2x＋a＝3a＋2的解互为倒数，
∴关于x的方程2x＋a＝3a＋2的解是x＝ .
把x＝ 代入2x＋a＝3a＋2，得
1＋a＝3a＋2.
解得a＝－ .
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2. 已知关于x的方程5x－2m＝4(x－1)＋1的解比关于x的方程2(x＋1)－
m＝x－2(m－2)的解大4，求m的值.
解：解方程5x－2m＝4(x－1)＋1，
得x＝－3＋2m.
解方程2(x＋1)－m＝x－2(m－2)，
得x＝－m＋2.
根据题意，得－3＋2m＝－m＋2＋4.
解这个方程，得m＝3.
解：解方程5x－2m＝4(x－1)＋1，
得x＝－3＋2m.
解方程2(x＋1)－m＝x－2(m－2)，
得x＝－m＋2.
根据题意，得－3＋2m＝－m＋2＋4.
解这个方程，得m＝3.
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4
3. 已知关于x的方程 ＝x＋ 的解与方程 ＝3x－2的解互为相反
数，求m2－2m－3的值.
解：解方程 ＝3x－2，得x＝－3.
∵两个方程的解互为相反数，
∴x＝3是关于x的方程 ＝x＋ 的解.
将x＝3代入 ＝x＋ ，得
＝3＋ .
解得m＝－2.
∴m2－2m－3＝(－2)2－2×(－2)－3＝5.
解：解方程 ＝3x－2，得x＝－3.
∵两个方程的解互为相反数，
∴x＝3是关于x的方程 ＝x＋ 的解.
将x＝3代入 ＝x＋ ，得 ＝3＋ .
解得m＝－2.
∴m2－2m－3＝(－2)2－2×(－2)－3＝5.
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4. 若关于x的方程 － ＝1的解是整数，且k是正整数，求k的值.
解：去分母，得2(kx－2)－(x－3)＝4.
去括号，得2kx－4－x＋3＝4.
移项、合并同类项，得(2k－1)x＝5.
∵k是正整数，
∴2k－1≠0.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去分母，得2(kx－2)－(x－3)＝4.
去括号，得2kx－4－x＋3＝4.
移项、合并同类项，得(2k－1)x＝5.
∵k是正整数，
∴2k－1≠0.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
1
2
3
4
∵关于x的方程 － ＝1的解是整数，
∴2k－1＝1或－1或5或－5.
∴k＝1或0或3或－2.
又∵k是正整数，
∴k＝1或3.
∵关于x的方程 － ＝1的解是整数，
∴2k－1＝1或－1或5或－5.
∴k＝1或0或3或－2.
又∵k是正整数，
∴k＝1或3.
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4(共10张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.1　第3课时　解较复杂的方程
知识点1　用移项和合并同类项解方程
1. 解方程：4x－2＝2x＋6，请按照解题步骤填空.
解：移项，得4x－ ＝6＋ .
合并同类项，得 ＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
2x　
2　
2x　
4　
2. (2024泉州石狮期末)若3a－1＝2a，则a等于(　A　)
A. 1 B. －1 C. D. －
A
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8
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3. 解下列方程：
(1)5x－10＝－3x－2；
解：移项，得5x＋3x＝－2＋10.
合并同类项，得8x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
(2)2－5x＝3x＋10.
解：移项，得－5x－3x＝10－2.
合并同类项，得－8x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：移项，得5x＋3x＝－2＋10.
合并同类项，得8x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
解：移项，得－5x－3x＝10－2.
合并同类项，得－8x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
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知识点2　解较复杂的方程
4. 若代数式x＋4与2x－1的值互为相反数，则x的值是(　B　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
5. 当x＝ 时，式子2x＋1与3x－6的值相等.
B
7　
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6
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8
9
6. 解下列方程：
(1)－3x＋2＋2x＝2x－2＋7；
解：移项，得－3x＋2x－2x＝－2＋7－2.
合并同类项，得－3x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：移项，得－3x＋2x－2x＝－2＋7－2.
合并同类项，得－3x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
(2)16y－2＝3＋2.5y＋7.5y.
解：移项，得16y－2.5y－7.5y＝3＋2.
合并同类项，得6y＝5.
将未知数的系数化为1，得y＝ .
解：移项，得16y－2.5y－7.5y＝3＋2.
合并同类项，得6y＝5.
将未知数的系数化为1，得y＝ .
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7. 若式子－2a＋1的值比a－2的值大6，则a等于(　C　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
C
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8
9
解：∵2 (－3a)＝a＋5，
∴4·(－3a)－3×2·(－3a)＋(－3a)＝a＋5.
即－12a＋18a－3a＝a＋5.
移项，得－12a＋18a－3a－a＝5.
合并同类项，得2a＝5.
将未知数的系数化为1，得a＝2.5.
解：∵2 (－3a)＝a＋5，
∴4·(－3a)－3×2·(－3a)＋(－3a)＝a＋5.
即－12a＋18a－3a＝a＋5.
移项，得－12a＋18a－3a－a＝5.
合并同类项，得2a＝5.
将未知数的系数化为1，得a＝2.5.
8. 用“ ”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x y＝
x2y－3xy＋y.如：1 3＝12×3－3×1×3＋3＝－3.若2 (－3a)＝a＋
5，求a的值.
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9. (2024泉州阶段练习)观察下列两个等式：2－ ＝2× ＋1，5－ ＝
5× ＋1，给出定义如下：我们称使等式a－b＝ab＋1成立的一对有理
数a，b为“共生有理数对”，记为(a，b)，如：数对 ，
都是“共生有理数对”.
(1)数对(－2，1)， 中是“共生有理数对”的是 　 　；
(2)若(a，3)是“共生有理数对”，则a的值为 ；
　
－2　
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(3)若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”.
解：∵4是“共生有理数对”中的一个有理数，
①设当“共生有理数对”是(x，4)时，
则有x－4＝4x＋1.解得x＝－ .
∴“共生有理数对”是 .
解：∵4是“共生有理数对”中的一个有理数，
①设当“共生有理数对”是(x，4)时，
则有x－4＝4x＋1.解得x＝－ .
∴“共生有理数对”是 .
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②设当“共生有理数对”是(4，y)时，
则有4－y＝4y＋1.解得y＝ .
∴“共生有理数对”是 .
综上所述，这个“共生有理数对”是 或 .
②设当“共生有理数对”是(4，y)时，
则有4－y＝4y＋1.解得y＝ .
∴“共生有理数对”是 .
综上所述，这个“共生有理数对”是 或 .
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9(共9张PPT)
第5章　一元一次方程
易 错 集 训
易错点1　对一元一次方程的概念理解不清而出错
1. 已知方程 x｜m｜－2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是
(　B　)
A. 2 B. －3 C. ±3 D. 1
B
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易错点2　对等式的性质理解不透而出错
2. (2024福州仓山区期中)下列运用等式性质进行变形，正确的是(　D　)
A. 若a＝b，则a＋c＝b－c
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若a2＝3a，则a＝3
D. 若a(m2＋1)＝b(m2＋1)，则a＝b
D
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易错点3　解方程时变形出错
3. 解下列方程：
(1)1－3(8－x)＝－2(15－2x)；
解：去括号，得1－24＋3x＝－30＋4x.
移项，得3x－4x＝－30＋24－1.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
解：去括号，得1－24＋3x＝－30＋4x.
移项，得3x－4x＝－30＋24－1.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
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(2)x－ ＝ －1.
解：去分母，得6x－2(2x＋1)＝3x－5－6.
去括号，得6x－4x－2＝3x－5－6.
移项、合并同类项，得－x＝－9.
将未知数的系数化为1，得x＝9.
解：去分母，得6x－2(2x＋1)＝3x－5－6.
去括号，得6x－4x－2＝3x－5－6.
移项、合并同类项，得－x＝－9.
将未知数的系数化为1，得x＝9.
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易错点4　对打折的意义理解不正确而出错
4. 元旦期间，某超市做促销打折活动.已知某款乐高拼图玩具每盒的进
价为240元，标价为360元，若保证利润率是20％，该乐高拼图玩具是打
几折出售的？
解：设该乐高拼图玩具是打x折出售的，根据题意，得
360× ＝240×(1＋20％).
解：设该乐高拼图玩具是打x折出售的，根据题意，得
360× ＝240×(1＋20％).
解得x＝8.
经检验，符合题意.
答：该乐高拼图玩具是打八折出售的.
解得x＝8.
经检验，符合题意.
答：该乐高拼图玩具是打八折出售的.
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易错点5　单位不统一导致列方程错误
5. A，B两地相距60 km，甲、乙两人分别从A，B两地骑车出发，相向而
行，甲比乙晚出发20 min，每小时比乙多行驶3 km，在甲出发1 h 40 min
后两人相遇.甲、乙两人每小时各行驶多少千米？
解：设甲每小时行驶x km，则乙每小时行驶(x－3)km.
甲用的总时间为1 h 40 min＝ h.
乙用的总时间为1 h 40 min＋20 min＝2 h.
根据题意，得 x＋2(x－3)＝60.
解：设甲每小时行驶x km，则乙每小时行驶(x－3)km.
甲用的总时间为1 h 40 min＝ h.
乙用的总时间为1 h 40 min＋20 min＝2 h.
根据题意，得 x＋2(x－3)＝60.
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解得x＝18.
经检验，符合题意.
∴x－3＝15.
答：甲每小时行驶18 km，乙每小时行驶15 km.
解得x＝18.
经检验，符合题意.
∴x－3＝15.
答：甲每小时行驶18 km，乙每小时行驶15 km.
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易错点6　忽略解在实际生活中的意义
6. 商家为促销，对顾客购买大件商品实行分期付款的方法，明明的爸爸
买了一台8 000元的电脑，需一次性付款40％，以后每月付750元，需几
个月可以付清余款？
解：设需x个月可以付清余款，根据题意，得
8 000－8 000×40％＝750x.
解：设需x个月可以付清余款，根据题意，得
8 000－8 000×40％＝750x.
解得x＝6.4.
∵6.4大于6且是小数，∴根据实际意义x≈7.
答：需7个月付清余款.
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