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浙江金丽衢十二校 2024- 2025学年高三第一次联考
数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x∈N|0< x< 3}，则A∩B=
A. {2} B. {1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2,3}
2.已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为
A. 3 B. 12 C. 36π D. 576π
3.已知 a = 2， b = 1，且 a- b与 a+ 2b互相垂直，则向量 a与 b的夹角为
A. π B. π C. π D. 2π
4 3 2 3
1 1
4.已知非零实数 a， b满足 a+ b= 1，则“ + ≥ 4”是“a， b均为正数”的
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设等差数列 an 的前n项和是Sn，前n项积是Tn，若S6= 3，S3= 6，则
A. Sn无最大值，Tn无最小值
B. Sn有最大值，Tn无最小值
C. Sn无最大值，Tn有最小值
D. Sn有最大值，Tn有最小值
f x = sin x+ π + 3 sin π -2x - π6.函数 在区间 ,π 3 2 6 2 内的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 2
7.已知抛物线C： y21 =
y
2px的焦点F x与双曲线C2： - = 1的右焦点重合，且曲线C1与
a2 b2
p2
C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点．若OP OF = ，则双曲线C2的离心率为4
A. 2+ 1 B. 2 C. 2+ 2 D. 4
8.拖揶一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满 100次时结束，设执搠的次数为
X，则随机变量X的数学期望E X
A. 大于 2 B. 小于 2
C. 等于 2 D. 与 2的大小无法确定
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知复数 z满足 z-1 = z = 1，则
A. z∈R B. z = 1 C. z+ z = 1 D. Z = 1
Z
10.设函数 f x = x3- 3x2+ 2，则
A. x= 0为 f x 的极大值点 B. f x 的图像关于 (1,0)中心对称
C. 函数 y= f x 的三个零点成等差数列 D. x∈ (-∞,3]， f x - f 2-x > 4
11.设平面内两点的坐标为A x1,y1 ，B x2,y2 ，定义 L A,B = 3 x1-x2 + y1-y2 ．已知点
F1 -1,0 ，F2 1,0 ，记平面内满足 L M ,F1 + L M ,F2 = 4 3的动点M的轨迹为曲线 E，
则
A. 点 (2,0)在曲线E上
B. 曲线E围成的面积为 6 3
C. L M ,F1 的最大值为 3
D. 对曲线E上任意点M，都 L M ,F2 -L M ,F1 ≤L F1,F2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
π π π 4
12.已知 α∈ , ，满足 sin α+ = ，则 tanα= ．4 2 4 5
2 5
13. x2+1 x- x 展开式中 x3的系数为 ．
14.设函数 f x = xex，若曲线 y= f x 在点 x0,f x0 处 x0>0 的切线与抛物线 y= ex2有且
仅有一个公共点，则 x0的值为 ．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c，满足 a= 3ccosB．
(1)证明： tanB= 2tanC；
(2)记△ABC的面积为S，若S= a= 3，求角C与 b．
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16. (15分)已知函数 f x = 1 - 1+ alnx，其中 a为常数．
x2
(1)当 a= 1时，求函数 f x 的单调区间；
(2)若 f x ≥ 0恒成立，求 a的值．
17. (本题满分 15分)如图，在空间几何体ABB1A1C中，四边形ABB1A1为正方形，BB1⊥平
面ABC，AB⊥BC，AB=BC= 1，P为棱AC的中点，Q为棱AC上一点，满足BC
平面B 1PQ． B1
(1)求三棱锥P-A1B1C的体积：
( A2)求平面A1PQ与平面B PQ的夹角的余弦值． 11
Q
B C
P
A
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x2 y2(17 ) E + = 1 a>b>0 4 118. 分 设椭圆 ： ．已知点T 0,1 ，S ,- 在椭圆E上．a2 b2 3 3
(1)求植圆E的标准方程；
(2)若过点A 2,1 的直线 l与椭圆E交于B，C两点 (B在C右侧)，且与线段ST交于点P．
AP AB
( ) i 证明： = 2 ；
PC BC
(ii)当P为AC中点时，求直线AP的方程．
19. (17分)已知 r是给定的正整数，设G是以满足下列条件 1 2 3 的函数 f x 为元素构成的
集合：
1 定义域为 0,r ；
2 f 0 = 0；
3 f x = f k + ak x-k ， k< x≤ k+ 1，其中 ak∈{-1,2}， k∈{0,1,2, ,r- 1}．
对给定的整数m，n(其中 0≤n≤ r)，记An,m= f x ∈G| f n =m ．
(1)当 r= 2时，直接写出集合A2,-2和A2,1(无需说明推导过程)；
(2)若 0≤ i< j≤ r且 j- i不是 3的倍数，证明：Ai,m∩A j,m= ．
(3)从集合G中随机取出一个函数 g x ，证明：对任意 0< n≤ r+ 3，随机事件“g x ∈
A 3n,m∩An+3,m”发生的概率都不超过 ．16
第4页，共4页浙江金丽衢十二校 2024- 2025学年高三第一次联考
数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x∈N|0< x< 3}，则A∩B=
A. {2} B. {1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2,3}
【答案】B
【解析】B={1,2} A∩B={1,2}，故B正确
2.已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为
A. 3 B. 12 C. 36π D. 576π
【答案】C
4
【解析】设这个球的半径为 r，∵S表=V，∴ 4πr2= πr3，3
∴ r= 3 V= 4， πr3= 36π，故选C．
3
3.已知 a = 2， b = 1，且 a- b与 a+ 2b互相垂直，则向量 a与 b的夹角为
A. π B. π C. π D. 2π
4 3 2 3
【答案】C
【解析】∵ a- b与 a+ 2b互相垂直，∴ a-b a+2b = a2+ a b- 2b2= 0 a b= 0∴ a
⊥ b即 a与 b π的夹角为 ，故选C．
2
1 1
4.已知非零实数 a， b满足 a+ b= 1，则“ + ≥ 4”是“a， b均为正数”的
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
1 1 b a
【解析】当 a， b均为正数时， a+b + = 1+ + + 1≥ 2+ 2 b × a = 4，当a b a b a b
b = a 1 1 1 1且仅当 时取等号，故“a， b均为正数” “ + ≥ 4”，即“ + ≥ 4”是
a b a b a b
“a， b均为正数”的必要条件，
1 1 a+b 1 1 1 2a-1 2
当 + ≥ 4时，即 = = ≥ 4 - 4≥ 0 ≥ 0
a b ab ab a 1-a a 1-a a 1-a
∵ 2a-1 2 ≥ 0，∴ a 1-a > 0 0< a< 1，则 0< b< 1 1，即 a， b均为正数，故“ +
a
1 ≥ 4 1 1” “a， b均为正数”，即“ + ≥ 4”是“a， b均为正数”的充分条件，
b a b
1 1
综上所述，“ + ≥ 4”是“a， b均为正数”的充分必要条件，故选C．
a b
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5.设等差数列 an 的前n项和是Sn，前n项积是Tn，若S6= 3，S3= 6，则
A. Sn无最大值，Tn无最小值
B. Sn有最大值，Tn无最小值
C. Sn无最大值，Tn有最小值
D. Sn有最大值，Tn有最小值
【答案】D
6a1+15d=3 a1=3 1 7
【解析】由S6= 3，S3= 6得 ,∴an=4-n,Sn=- n2+ n3a1+3d=6 d=-1 2 2
∴当n= 3或 4时，Sn有最大值为 6
∵ a1= 3， a2= 2， a3= 1， a4= 0，
∴T1= 3，T2= 6，T3= 6，从第 4项开始，T4=T5= =Tn= 0
∴Tn有最小值为 0
综上所述，Sn有最大值，Tn有最小值，故选D．
6.函数 f x = sin x+ π + 3 sin π -2x 在区间 - π ,π 内的零点个数为3 2 6 2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
π 3 π
【解析】f x = sin x+ + sin -2x sin x+ π = 3的零点即为方程 sin 2x- π3 2 6 3 2 6
的解．
画出 y1= sin x+ π y = 3和 2 sin 2x- π π在区间 - ,π 上的图象：3 2 6 2
y
y2
π
O π x
2 y1
π
X - π
2
x+ π - π 4π
3 6 3
2x- π - 7π 11π
6 6 6
其中 sin - π =- 1 < sin - 7π = 1 sin 4π =- 3 < 3 sin 11π =- 3， ，6 2 6 2 3 2 2 6 4
∴函数 f x = sin x+ π + 3 sin π -2x 在区间 - π ,π 内的零点个数为 4，故选C．3 2 6 2
x2 y2
7.已知抛物线C1： y2= 2px的焦点F与双曲线C2： - = 1的右焦点重合，且曲线C 与
a2 b2
1
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2
C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点．若OP
p
OF = ，则双曲线C2的离心率为4
A. 2+ 1 B. 2 C. 2+ 2 D. 4
【答案】A
【解析】两曲线共右焦点，故 p= 2c
2
OP p pOF = OP在OF方向上的投影为
4 2
∴PF⊥OF pP ,p P c,2c 2 y P
处理一：双曲线焦半径
2
PF = exP- a= 2c
c - a= 2c e2- 2e- 1= 0 e= 1+ 2
a
处理二：代点
将P c,2c 代入双曲线中．可得 e= 1+ 2
综上所述：选项A正确 O F x
8.拖揶一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满 100次时结
束，设执搠的次数为X，则随机变量X的数学期望E X
A. 大于 2 B. 小于 2
C. 等于 2 D. 与 2的大小无法确定
【答案】B
1
【解析】硬币向上概率为 ，P X = 1 n=1,2 ,100
2 2n
2
E x = 1 + 2 1 + 3 1
3 n
+ +n
2 2 2
1
①
2
1 1 2 3 4 n+1E x = + 2 1 + 3 1 + +n2 2 2 2
1 ②2
①-②可得：E x = 2- n+2 < 2，故选项B正确
2n
X 1 2 …… n
1 2 n
P 1 1
2 2 …… 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知复数 z满足 z-1 = z = 1，则
A. z∈R B. z = 1 C. z+ z = 1 D. Z = 1
Z
【答案】BC
【解析】设复数 z= a+ bi，∵ z-1 = z = 1，∴ a-1 2 + b2= a2+ b2= 1，
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a= 1
∴ 2 , ∴ z=
1 ± 3 i，
b=± 3 2 2 2
∴ z R z， ≠ 1，∴A．D选项错误；z
∵ z = z = 1，∴B选项正确；
∵ z = 1 3 i ∴ z+ z ， = 1，∴C选项正确．故选BC．
2 2
10.设函数 f x = x3- 3x2+ 2，则
A. x= 0为 f x 的极大值点 B. f x 的图像关于 (1,0)中心对称
C. 函数 y= f x 的三个零点成等差数列 D. x∈ (-∞,3]， f x - f 2-x > 4
【答案】ABC
【解析】对于选项A， f x = 3x2- 6x= 0 x1= 0， x2= 2故A选项正确；对于选项 B，
f x = 6x- 6= 0 x= 1， f 1 = 1- 3+ 2= 0，∴ f x 的图像关于 (1,0)中心对称，故B
选项正确；对于选项 C，已知一个零点为 x = 1， ∴ f x = x-1 x2-2x-2 ，
x-1 x2-2x-2 = 0解得 x1= 1， x2= 1- 3， x3= 1+ 3 ∵ x2+ x3= 2= 2x1，∴ x2，
x1， x3成等差数列，∴函数 y= f x 的三个零点成等差数列，故 C选项正确；对于选项
D，∵ f x 的图像关于 (1,0)中心对称，
X -∞,0 0 (0,2) 2 2,+∞
f x + 0 - 0 +
f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
y
2
1
-1 x2 O 1x1 x3 3 x
∴ x,f x 与 2-x,f 2-x 这两点关于关于 (1,0)中心对称，
f x + f 2-x∴ = 0 f 2-x =-f x
2
∴ f x - f 2-x = 2f x = 2 x3-3x2+2 ，令F x = 2 x3-3x2+2
当 x∈ (-∞,3]时， x= 0或 3时，取得最大值F x max= 4，
∴当 x∈ (-∞,3]时，F x ≤ 4，即对于 x∈ (-∞,3]， f x - f 2-x ≤ 4成立，
那么它的否定“ x∈ (-∞,3]， f x - f 2-x > 4”就不成立，故D选项错误；
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综上所述，选ABC．
11.设平面内两点的坐标为A x1,y1 ，B x2,y2 ，定义 L A,B = 3 x1-x2 + y1-y2 ．已知点
F1 -1,0 ，F2 1,0 ，记平面内满足 L M ,F1 + L M ,F2 = 4 3的动点M的轨迹为曲线 E，
则
A. 点 (2,0)在曲线E上
B. 曲线E围成的面积为 6 3
C. L M ,F1 的最大值为 3
D. 对曲线E上任意点M，都 L M ,F2 -L M ,F1 ≤L F1,F2
【答案】ABD
【解析】令M x,y ，依题意可得： 2 y = 4 3- 3 x+1 + x-1
不难得出曲线E关于 x轴对称，又关于 y轴对称， y
= 4 3-2 3x， 1≤x≤22 y 2 3， 0画出曲线 E的图像，如图所示：围成一个边长为 2的正六边形，故
AB显然正确 O x
C选项：L M ,F1 = 3 x+1 + y ，不妨令 0≤ x≤ 2， 0≤ y≤ 3
1 当 0≤ x< 1时， y= 3，
L M ,F1 = 3 x+1 + y = 3x+ 3+ y= 3x+ 2 3< 3 3
2 当 1≤ x≤ 2时， y= 2 3- 3x，
L M ,F1 = 3 x+1 + y = 3x+ 3+ y= 3 3
故L M ,F1 的最大值为 3 3，故C错误
D选项： L M ,F2 -L M ,F1 ≤ 2 3，即证： x-1 - x+1 ≤ 2
2, 1≤x≤2
x-1 - x+1 = -2x , -1 2, -2≤x≤-1
综上所述：选项ABD正确
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
π π π 4
12.已知 α∈ , ，满足 sin α+ = ，则 tanα= ．4 2 4 5
【答案】7
∵ sin α+ π = 4 = 2【解析】 sinα+cosα ，平方得： 1+ 2sinαcosα= 32 ，4 5 2 25
∴ sinαcosα= 7 ∴ sinαcosα 7 tanα 7， = ，齐次化，同时除以 cos2α得： = ，
50 sin2α+cos2α 50 tan2α+1 50
∴ 7tan2α- 50tanα+ 7= 7tanα-1 tanα-7 = 0，∴ tanα= 1 或 7，
7
∵ α∈ π , π ，∴ tanα> 1，∴ tanα= 7，故填： 7．4 2
x2+1 x- 2
5
13. 展开式中 x3的系数为 ．x
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【答案】30．
2 5 x2+1 x2-2 5 x22 x
2-2 5 + x2-2 5
【解析】 x +1 x- x = = ．x5 x5
要想出现 x3，则分子需要出现 x8．
在 x2 x2-2 5 中： x2C3 x2 35 -2 2 = 40x8；在 x2-2 5 中：C4 2 45 x -2 1 =-10x8，
5
∴ x2+1 2 x- 展开式中 x3的系数为 40- 10= 30．x
故填： 30．
14.设函数 f x = xex，若曲线 y= f x 在点 x0,f x0 处 x0>0 的切线与抛物线 y= ex2有且
仅有一个公共点，则 x0的值为 ．
【答案】1
【解析】方法一：令 g x = ex2 y
∵ ex≥ ex xex> ex2 x>0 ， f 1 = g 1 ，故两函数图像如图所
示： f x = x+1 ex， g x = 2ex，不难发现： f 1 = g 1 = 1,e
2e，故函数 f x ， g x 在点 (1， e)处的切线重合，即为： y=
2ex- e，故 x0= 1方法二：曲线 y= f x 在点 x0,x0ex0 处的切
线： y= x +1 ex0x- x 2ex00 0 与抛物线联立可得：
ex2- x +1 ex00 x+ x2 x00e = 0 Δ= x0+1 2 e2x0- 4ex2ex00 = 0
∴ x0+1 2 ex0-1= 4x20，要使得两边式子成立，
O 1 x
则有且仅有一个 x0= 1符合题意
综上所述：答案为 1
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c，满足 a= 3ccosB．
(1)证明： tanB= 2tanC；
(2)记△ABC的面积为S，若S= a= 3，求角C与 b．
【答案】(1)见解析； (2)C= π ， b= 2 2
4
【解析】(1)由 a= 3ccosB得 sinA= 3sinCcosB
A
∵在△ABC中，A+B+C= π，
∴A= π-B-C代入得
sin π-B-C = sin B+C = sinBcosC+ cosBsinC= 3sinCcosB 2 22
sinBcosC= 2sinCcosB sinB = 2sinC tanB= 2tanC得证．
cosB cosC
B 1 D 2 C
(2)作AD⊥BC，∵S= a= 3∴AD= 2S = 2S = 2
BC a
在Rt△ABD AD中， = tanB BD= 2
BD tanB
Rt△ACD AD = tanC CD= 2在 中，
CD tanC
∴BC= 2 + 2 = 2 + 2 = 3 = 3 tanC= 1
tanB tanC 2tanC tanC tanC
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∵C∈ 0,π ，∴C= π ，∴CD=AD= 2，则 b=AC= CD2+AD2= 2 2
4
综上所述，C= π ， b= 2 2
4
16. (15分) 1已知函数 f x = - 1+ alnx，其中 a为常数．
x2
(1)当 a= 1时，求函数 f x 的单调区间；
(2)若 f x ≥ 0恒成立，求 a的值．
【答案】(1)函数 f x 的单调递减区间为 0, 2 ，单调递增区间为 2,+∞ ；
(2)a的值为 2．
1 2 a ax2
【解析】对于函数 f x = - 1+ alnx，求导得： f x =- + = -2 ．
x2 x3 x x3
2
(1)当 a= 1时， f x x -2 = = 0，∴ x= 2，
x3
X 0, 2 2 2,+∞
f x - 0 +
f x ↘ 极小值 ↗
∴函数 f x 的单调递减区间为 0, 2 ，单调递增区间为 2,+∞ ．
(2) ∵ f x ≥ 0恒成立，且 f 1 = 0，∴ f 1 = a- 2= 0，∴ a= 2，
此时 f x 在 (0,1)单调递减，在 1,+∞ 单调递增，满足题意．故 a的值为 2．
17. (本题满分 15分)如图，在空间几何体ABB1A1C中，四边形ABB1A1为正方形，BB1⊥平
面ABC，AB⊥BC，AB=BC= 1，P为棱AC的中点，Q为棱AC上一点，满足BC
平面B 1PQ． B1
(1)求三棱锥P-A1B1C的体积：
(2)求平面A A1PQ与平面B1PQ的夹角的余弦值． 1
【答案】(1) 1 ； (2) 10 ； Q
12 5
【解析】(1)连接 PB， V CC-ABB1A = VC-PAB + V1 C-PBB + V1 P-ABB A 又 B1
VP-A B C=
P
V
1 1 C-PA ，V =V1B1 C-PBB1 B1-PBC A
在正方形ABB1A1中，AB=AA1=BB1=A1B1= 1
∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC
B z1
∵AB⊥BC．又AB 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1
∴BC⊥平面ABB1A1，则BC即为四棱锥C-ABB1A1的高， A1
∴V 1 1C-ABB A= S正方形ABB A×BC= × 1× 1× 1=
1
1 3 1 3 3 Q
∵P为AC中点，∴PA=PC，
1 1 1 E
B C y
∴S△APB=S△CPB= S△ABC= × ×AB×BC=
1
P
2 2 2 4 A
由BB x1⊥平面ABC可得BB1为三棱锥B1-PBC的高
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∴VC-PBB=V
1 1 1 1
B -PBC= S△CPB×BB1= × × 1= ，作PE⊥AB，∴PE BC1 3 3 4 12
∴PE= 1 BC= 1 ，PE⊥平面ABB1A1，∴PE为四棱锥P-ABB1A2 2 1的高
∴VP-ABB A =
1 S 1 1正方形ABB A×PE= × 1× =
1
1 1 3 1 3 2 6
∴VP-A =V =V -V -V =
1 - 1 - 1 = 1
1B1C C-PA1B1 C-ABB1A1 C-PBB1 P-ABB1A1 3 6 12 12
(2)以B为原点，BA，BC，BB1分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，则
A 1,0,0 ，C 0,1,0 1 ，B1 0,0,1 ，P , 1 ,02 2
由 (1)可得BP⊥AC，AA1⊥BP BP⊥面A1AC即BP⊥面A1PQ，
故平面A1PQ的法向量可取n1= 1,1,0
设平面B1PQ的法向量为n2= x,y,z ，由于BC 平面B1PQ可知
1 1
n2 B1P=0 x+ y-z=0 n2 BC=0 2 2 ，取 x= 2得 z= 1，y=0
因此n2= 2,0,1 ，设平面A1PQ与平面B1PQ的夹角为 θ，
n n
则 cosθ= 1 2 = 2 = 10 ， n1 n2 2× 5 5
因此平面A1PQ与平面B1PQ
10
的夹角余弦值为
5
x2 y2 4 1
18. (17分)设椭圆E： + = 1 a>b>0 ．已知点T 0,1 ，S ,- 在椭圆E上．
a2 b2 3 3
(1)求植圆E的标准方程；
(2)若过点A 2,1 的直线 l与椭圆E交于B，C两点 (B在C右侧)，且与线段ST交于点P．
AP AB( ) = i 证明： 2 ；
PC BC
(ii)当P为AC中点时，求直线AP的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由T 0,1 得 b= 1，
2
将点S 4 ,- 1 E x代入椭圆 ： + y2= 1得 a= 13 3 a2
x2∴椭圆的标准方程为 + y2= 1
2
(2) (i)直线 ST的方程为 y= x+ 1，由题意可知直线 I的斜率存在，设直线 I方程为 y= kx
+m，点P x0,y0 ，B x1,y1 ，C x2,y2 ，
y
T
B
A
P
C
O xS
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则 x1> x2， 2k+m= 1， y0=-x0+ 1， y0= kx0+m，由此可得 x0= 2k1+ ．k
x2 +2y
2-2=0
，消去 y可整理得 1+2k2 x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0．y=kx+m
Δ= 16k2m2- 4 1+2k2 2m2-2 = 8 2k2+1-m2 > 0得 k∈ 0,2 ，由韦达定理可知
-4km x1+x2= 1+2k2
2- ，而所求证的结论等价于 AP BC = 2 AB PC x1 x =
2m 2
2
1+2k2
x0-2 x2-x1 = 2 x1-2 x2-x0 x0+2 x1+x2 = 2x1x2+ 4x0
将韦达定理代入可得：
-4km x0+2 = 4m
2-4 + 4x0 -4kmx0- 8km= 4m2- 4+ 4x 2+ 2 + 2 0
+ 8k x0
1 2k 1 2k
将m= 1- 2k， x0= 2k+ 代入上式得：1 k
-k 1-2k 2k + - 2k 1-2k = 1-2k
2 - 1+ 2k+ + 2k
2 2k
1 k 1 k 1+k
2k
2-k 2
+ - 1+ 2k= 2k- 2+
1 2k 2
+ + + 2k - k+ 1+k 2k-1 = 2 k
2-1 + 1+
1 k 1 k 1 k
2k2成立，原命题得证．
AB 1 AP( ii)当P为AC中点时，由 (1)可得 = = 1 即 AB = 3 AC ．
BC 2 PC 2
所以 x1-2 = 3 x2-2 ，即 x1= 3x2- 4，代入韦达定理可得

4x -4=
-4km
2
1+2k2
2- 将m= 1- 2k
1
代入，消去m， x2可解得 k= 1或 ．
3x2
2m 2 5
2-4x2= 1+2k2
因此直线AP的方程为 x- y- 1= 0或 x- 5y+ 3= 0．
19. (17分)已知 r是给定的正整数，设G是以满足下列条件 1 2 3 的函数 f x 为元素构成的
集合：
1 定义域为 0,r ；
2 f 0 = 0；
3 f x = f k + ak x-k ， k< x≤ k+ 1，其中 ak∈{-1,2}， k∈{0,1,2, ,r- 1}．
对给定的整数m，n(其中 0≤n≤ r)，记An,m= f x ∈G| f n =m ．
(1)当 r= 2时，直接写出集合A2,-2和A2,1(无需说明推导过程)；
(2)若 0≤ i< j≤ r且 j- i不是 3的倍数，证明：Ai,m∩A j,m= ．
(3)从集合G中随机取出一个函数 g x ，证明：对任意 0< n≤ r+ 3，随机事件“g x ∈
An,m∩A 3n+3,m”发生的概率都不超过 ．16
-x,0≤x≤1 2x,0≤x≤1
【答案】(1)A2,-2= y=-x 0≤x≤2 ，A2,1= y= ,y= ;2x-3,1(2)证明见解析；
(3)证明见解析．
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【解析】(1)A2,-2= y=-x 0≤x≤2 ，
-x,0≤x≤1 2x,0≤x≤1A2,1= y= ,y= ,2x-3,1(2)若Ai,m= ，则所求证结论显然成立；
若Ai,m≠ ，则对任意的 f x ∈Ai,m， f i =m，
由题意得 f k+1 = f k + ak k∈N且k设 a j， a j+1， ， a j-1中有 a个等于-1，有 b个等于 2，
则 a+ b= j- i， f j = f i - a+ 2b，
因此 f x ∈A j,m 2b- a= 0 2b= a= j- i- b j- i= 3b b∈N ，
所以若 j- i不是 3的倍数，则 f x A j,m，即A j,m∩A j,m= ．
(3)记“从集合G中随机取出一个函数 g x ∈An,m”为事件Bn,m，
则所求概率记为Pn,m，则Pn,m=P Bn,m∩Bn+3,m =P Bn,m P Bn+3,m∣Bn,m ．
下面计算P Bn,m ：
n-1
由题意得 g n = αk，
k=0
集合G中共有 2r个不同函数，设 α0， α1， ， αn-1中有 c个等于-1，有 d个等于 2，
c= 2n-mc+d=n
则 g n = 2d- c 3，解方程组 ，得 ．-c+2d=m d= m+n3
由于 c， d∈N，故当m+n不能被 3整除或m> 2n时或m<-n时，
上述方程组无解，此时P Bn,m = 0；
当m+n能被 3整除且-n≤m≤ 2n时，方程组有解，
m+n
此时符合题意的函数共有C 3 2r-nn 个，
C3
因此P B = nn-m ．
2n
下面计算P Bn+3,m∣Bn,m ：
对函数 g x ∈An,m，若它也满足 g x ∈An+3,m，则 g n =m， g n+3 =m，
而 g n+3 = g n + αn+ αn+1+ αn+2，
因此 αn+ αn+1+ αn+2= 0，三者中有一个等于 2，两个等于-1，所以共有C13= 3种可能，
因此P Bn+3,m∣Bn-m = 3 = 3 3，因此Pn,m= P Bn,m ．
23 8 8
由前面分析可知当m+n不能被 3整除或m> 2n时或m<-n P ≤ 3时， n,m 成立；16
m+n
m+n 3 -n≤m≤ 2n P = 3 C
3
当 能被 整除且 时， nn,m ．8 2n
m+n
由于C0+C2+ =C1 3 n-1 3 n-1n n n+Cn+ = 2 ，因此Cn ≤ 2 ，所以Pn,m≤ 3 × 1 = 3 ．8 2 16
3
综上所述，从集合G中随机取出一个函数，它既属于An,m又属于An+3,m的概率不超过 ．16
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