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11.1.4　棱锥与棱台
［学习目标］　1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
一、棱锥、棱台的结构特征
问题1　图中的多面体具有怎样的特点？
问题2　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
知识梳理
1.棱锥的结构特征
(1)棱锥的概念
定义 图形及表示 相关概念 分类
如果一个多面体有一个面是　　　　，且其余各面是有一个公共顶点的　　　　，则称这个多面体为棱锥 如图可记作：棱锥P—ABCD或棱锥P-AC 底面：　　　　面； 侧面：有公共顶点的各　　　　； 侧棱：相邻两侧面的　　　　； 顶点：各侧面的　　　　　　； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的　　　　　　　，所得到的线段(或它的长度) 按底面的形状分：三棱锥、四棱锥……
(2)特殊的棱锥
正棱锥
正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高.
2.棱台的结构特征
(1)棱台的结构特征
定义 图形及表示 相关概念 分类
用　　　　　　　　的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD—A1B1C1D1 上底面：平行于棱锥底面的　　　　； 下底面：原棱锥的　　　　； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的　　　　所得到的线段(或它的长度) 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
(2)特殊的棱台
正棱台：由　　　　截得的棱台.
正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高.
例1　(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有(　　)
A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫做棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
反思感悟　判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
跟踪训练1　棱台不具有的性质是(　　)
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
二、棱锥、棱台中的计算问题
例2(课本例2)　如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O'分别是下底面与上底面的中心.
(1)求棱台的斜高；
(2)求棱台的高.
例2　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高.
延伸探究
1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.
2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.
反思感悟　(1)正棱锥中的计算问题要充分利用等腰三角形或三种直角三角形.
(2)正棱台中的计算问题要充分利用等腰梯形或三种直角梯形.
以正四棱锥(台)为例，如图所示.
跟踪训练2　已知正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，一个侧面的面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.
三、棱锥、棱台的展开图及其计算
例3　如图，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.
反思感悟　多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
跟踪训练3　如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
1.知识清单：
(1)棱锥、棱台的结构特征.
(2)有关棱锥、棱台的计算.
2.方法归纳：定义法、举反例法.
3.常见误区：棱锥、棱台的结构特征不清.
1.(多选)下面图形中，为棱锥的是(　　)
2.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
3.底面边长为10、高为5的正四棱锥的侧面积是(　　)
A.100 B.100 C.100 D.25
4.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为　　　　.
答案精析
问题1　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
问题2　上部分是棱锥，下部分是棱台.
知识梳理
1.(1)多边形　三角形　多边形　三角形　公共边　公共顶点　垂线　(2)正多边形
2.(1)平行于棱锥底面　截面　底面　垂线　(2)正棱锥
例1　BCD　［A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；C正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；D正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.］
跟踪训练1　C　［由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.］
例2(课本例2)　解　(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示，在梯形ACC'A'中，分别过A'，C'作AC的垂线A'E与C'F，
则由AC=2，AA'=A'C'=C'C=1可知AE=FC=，从而A'E=C'F=，即斜高为.
(2)根据O与O'分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出BO=2B'O'=.
假设正三棱台A'B'C'-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A'B'C'得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO'是棱锥V-A'B'C'的高，O'O是所求棱台的高.
因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形，如图所示，则B'O'是△VBO的中位线.
因为棱台的侧棱长为1，所以BB'=1，VB=2，从而
VO===，
因此O'O=VO=.
因此棱台的高为.
例2　解　作出正三棱锥，如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点.
在Rt△ADO中，AD=，∠OAD=30°，
故AO==.
在Rt△SAO中，SA=2，AO=，
故SO==3，故正三棱锥的高为3.
延伸探究
1.解　作出正三棱锥，如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在Rt△SAE中，
SA=2，AE=，
所以SE==.
故正三棱锥的斜率高为.
2.解　如图，在正四棱锥S-ABCD中，
AB=BC=CD=DA=3，
AC=3，所以OC=.
在Rt△SOC中，SC=2，
所以SO===.
故正四棱锥的高为.
跟踪训练2　解　如图，设O'，O分别为上、下底面的中心，即OO'为正四棱台的高，E，F分别为B'C'，BC的中点，
∴EF⊥B'C'，即EF为斜高.由上底面面积为4，上底面为正方形，可得 B'C'=2；同理，BC=4.
∵四边形BCC'B'的面积为12，
∴×(2+4)·EF=12，∴EF=4.
过B'作B'H⊥BC交BC于点H，
则BH=BF-B'E=2-1=1，B'H=EF=4.
在Rt△B'BH中，BB'==.
同理，在直角梯形O'OFE中，计算出O'O=.
综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为.
例3　解　沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图.
则AA'的长即为截面△AEF周长的最小值，
且∠AVA'=3×40°=120°.
在△VAA'中，AA'=2×2×=6，
故截面△AEF周长的最小值为6.
跟踪训练3　解　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
随堂演练
1.ABD　2.ACD　3.B　4.(共73张PPT)
第十一章
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棱锥与棱台
11.1.4
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
学习目标
前面学习了棱柱的结构特征，结合平时观察到的实物模型，你能不能说出棱锥、棱台具有的结构特征呢？
导 语
一、棱锥、棱台的结构特征
二、棱锥、棱台中的计算问题
课时对点练
三、棱锥、棱台的展开图及其计算
内容索引
随堂演练
一
棱锥、棱台的结构特征
提示　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
图中的多面体具有怎样的特点？
问题1
提示　上部分是棱锥，下部分是棱台.
如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
问题2
1.棱锥的结构特征
(1)棱锥的概念
定义 图形及表示 相关概念 分类
如果一个多面体有一个面是 ，且其余各面是有一个公共顶点的____ ___，则称这个多面体为棱锥 如图可记作：棱锥P—ABCD或棱锥P—AC 底面： 面； 侧面：有公共顶点的各 ； 侧棱：相邻两侧面的 ； 顶点：各侧面的 ； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的____，所得到的线段(或它的长度) 按底面的形状分：三棱锥、四棱锥……
多边形
形
三角
多边形
三角形
公共边
公共顶点
垂线
(2)特殊的棱锥
正棱锥
正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高.
2.棱台的结构特征
(1)棱台的结构特征
定义 图形及表示 相关概念 分类
用_________ ______的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD—A1B1C1D1 上底面：平行于棱锥底面的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的 所得到的线段(或它的长度) 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台……
锥底面
平行于棱
截面
底面
垂线
(2)特殊的棱台
正棱台：由 截得的棱台.
正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高.
正棱锥
(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有
A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫做棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
例 1
√
A错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
B正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
C正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
D正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
√
√
反
思
感
悟
判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
棱台不具有的性质是
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
跟踪训练 1
√
由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.
二
棱锥、棱台中的计算问题
(课本例2)如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O'分别是下底面与上底面的中心.
(1)求棱台的斜高；
例 2
因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示，在梯形ACC'A'中，分别过A'，C'作AC的垂线A'E与C'F，
则由AC=2，AA'=A'C'=C'C=1可知AE=FC=，从而A'E=C'F=，即斜高为.
(2)求棱台的高.
根据O与O'分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出BO=2B'O'=.
假设正三棱台A'B'C'-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A'B'C'得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO'是棱锥V-A'B'C'的高，O'O是所求棱台的高.
因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形，如图所示，则B'O'是△VBO的中位线.
因为棱台的侧棱长为1，所以BB'=1，VB=2，从而
VO===，
因此O'O=VO=.
因此棱台的高为.
正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高.
例 2
作出正三棱锥，如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点.
在Rt△ADO中，
AD=，∠OAD=30°，
故AO==.
在Rt△SAO中，SA=2，AO=，
故SO==3，故正三棱锥的高为3.
1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.
延伸探究
作出正三棱锥，如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在Rt△SAE中，SA=2，AE=，
所以SE==.
故正三棱锥的斜率高为.
2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.
如图，在正四棱锥S-ABCD中，
AB=BC=CD=DA=3，
AC=3，所以OC=.
在Rt△SOC中，SC=2，
所以SO===.
故正四棱锥的高为.
反
思
感
悟
(1)正棱锥中的计算问题要充分利用等腰三角形或三种直角三角形.
(2)正棱台中的计算问题要充分利用等腰梯形或三种直角梯形.
以正四棱锥(台)为例，如图所示.
已知正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，一个侧面的面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.
跟踪训练 2
如图，设O'，O分别为上、下底面的中心，即OO'为正四棱台的高，E，F分别为B'C'，BC的中点，
∴EF⊥B'C'，即EF为斜高.由上底面面积为4，上底面为正方形，可得 B'C'=2；同理，BC=4.
∵四边形BCC'B'的面积为12，
∴×(2+4)·EF=12，∴EF=4.
过B'作B'H⊥BC交BC于点H，
则BH=BF-B'E=2-1=1，B'H=EF=4.
在Rt△B'BH中，BB'==.
同理，在直角梯形O'OFE中，计算出O'O=.
综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为.
三
棱锥、棱台的展开图及其计算
如图，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.
例 3
沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图.
则AA'的长即为截面△AEF周长的最小值，
且∠AVA'=3×40°=120°.
在△VAA'中，AA'=2×2×=6，
故截面△AEF周长的最小值为6.
反
思
感
悟
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
跟踪训练 3
图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
1.知识清单：
(1)棱锥、棱台的结构特征.
(2)有关棱锥、棱台的计算.
2.方法归纳：定义法、举反例法.
3.常见误区：棱锥、棱台的结构特征不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下面图形中，为棱锥的是
√
√
√
1
2
3
4
2.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥.
√
√
√
3.底面边长为10、高为5的正四棱锥的侧面积是
A.100 B.100
C.100 D.25
1
2
3
4
正四棱锥的斜高为=5，则其侧面积是4××10×5=100.
√
1
2
3
4
4.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为　　　　.
由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，高为3，则侧棱长为=.
课时对点练
五
1
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B D A AB 1∶4
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 BCD D A (1)　(2)　
对一对
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2，
S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，
∴上底面、下底面的面积分别是4，16.
∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，
∴斜高为=，
∴侧面的面积为×(2+4)×=3，
∴四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，
∴A1A=6 cm.
设梯形ABB1A1的高为h'，
则h'==4(cm)，
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，
∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2.
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
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10
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13
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16
基础巩固
1.下列说法正确的是
A.三棱台有8个顶点
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩余的部分是棱台
√
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
三棱台有6个顶点，所以A错误；
因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误；
各个面都是三角形的几何体可如图所示，而该几何体不是三棱锥，所以C错误；
由棱台的定义可知，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，所以D正确.
1
答案
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
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13
14
15
16
2.如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC后，剩余部分是
A.三棱锥　　　　 B.四棱锥
C.三棱柱　　　　 D.三棱台
√
剩余部分是四棱锥A'-BB'C'C.
1
答案
2
3
4
5
6
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11
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14
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16
3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为
A.80 B.240
C.320 D.640
√
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，
等腰梯形的高为=8，
∴等腰梯形的面积S'=×(4+16)×8=80，
∴该棱台的侧面积S=3S'=3×80=240.
1
答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成.设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面等边三角形的边、侧棱构成直角三角形得h2+r2=l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.
√
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5.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
√
设正三棱锥的侧棱长为b，由条件知2b2=a2，所以该三棱锥的表面积为a2+3×××a2=a2.
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6.(多选)在下面的四个平面图形中，是四面体的展开图的为
√
C，D组不成四面体，只有A，B可以.
√
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7.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　　　　.
1∶4
由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.
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8.已知正三棱锥的底面周长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的斜高
为　　　　.
底面正三角形边长为1，侧棱长为2，则斜高h'==.
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9.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
如图，折起后形成的几何体是三棱锥.
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(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
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(3)每个面的三角形面积为多少？
S△PEF=a2，
S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
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10.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，求正四棱台的表面积.
∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4，16.∵侧棱长为2，侧面是全
等的等腰梯形，∴斜高为=，∴侧面的面积为×(2+4)×=3，∴四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
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11.(多选)关于有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是
A.可能是棱锥 B.可能是棱台
C.一定不是棱锥 D.一定不是棱柱
√
综合运用
有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，可能是棱台.
√
√
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12.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥
A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形.
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13.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为
A.32 B.48
C.64 D.
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如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为斜高，
因为高与斜高的夹角为30°，
所以OE=PE，又OE=AB=2，
所以PE=4，则S侧=4××4×4=32.
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14.已知棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得
棱台的原棱锥的高的比值是　　　　.
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设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为H，以四棱台为例，如图
所示.由△SO1C1∽△SOC可得，===，则=，
即==.
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15.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.则：
(1)该三棱台的斜高为　　　　cm；
拓广探究
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设O1，O分别为正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O=，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，
则D1D为该三棱台的斜高.过D1作D1E⊥AD交AD于点E，则D1E=O1O=.
因为O1D1=×3=，OD=×6=，
所以DE=OD-O1D1=-=.
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在Rt△D1DE中，
D1D===(cm).
故该三棱台的斜高为 cm.
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S侧=3××=(cm2)，
S表=S侧+S上+S下=+×32+×62=(cm2)，故该三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2.
(2)该三棱台的侧面积和表面积分别为　　　　cm2和　　　　cm2.
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16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
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(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
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如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，
∴A1A=6 cm.
设梯形ABB1A1的高为h'，
则h'==4(cm)，
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，
∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2.
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16作业14 棱锥与棱台
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列说法正确的是(　　)
A.三棱台有8个顶点
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩余的部分是棱台
2.如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC后，剩余部分是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　)
A.80 B.240 C.320 D.640
4.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
5.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
6.(多选)在下面的四个平面图形中，是四面体的展开图的为(　　　　)
A.　　　B.　　　C.　　　　D.
7.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　　　　.
8.已知正三棱锥的底面周长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的斜高为　　　　.
9.(10分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(3分)
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3分)
(3)每个面的三角形面积为多少？(4分)
10.(11分)如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，求正四棱台的表面积.
11.(多选)关于有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是(　　　　)
A.可能是棱锥 B.可能是棱台
C.一定不是棱锥 D.一定不是棱柱
12.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(　　)
A.32 B.48 C.64 D.
14.已知棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得棱台的原棱锥的高的比值是　　　　.
15.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.则：
(1)该三棱台的斜高为　　　　cm；
(2)该三棱台的侧面积和表面积分别为　　　　cm2和　　　　cm2.
16.(12分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(5分)
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.(7分)
答案精析
1.D　2.B　3.B　4.D
5.A　［设正三棱锥的侧棱长为b，由条件知2b2=a2，所以该三棱锥的表面积为a2+3×××a2=a2.］
6.AB　［C，D组不成四面体，只有A，B可以.］
7.1∶4
解析　由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.
8.
解析　底面正三角形边长为1，侧棱长为2，则斜高h'==.
9.解　(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2，
S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
10.解　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，
∴上底面、下底面的面积分别是4，16.
∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，
∴斜高为=，
∴侧面的面积为×(2+4)×=3，
∴四棱台的表面积为4+16+3×4=20+12.
11.BCD　［有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，可能是棱台.］
12.D　［如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形.
］
13.A　［如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，
易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为斜高，
因为高与斜高的夹角为30°，
所以OE=PE，又OE=AB=2，
所以PE=4，则S侧=4××4×4=32.］
14.
解析　设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为H，以四棱台为例，如图所示.
由△SO1C1∽△SOC可得，=，
所以==，则=，
即=，解得=.
15.(1)　(2)　
解析　(1)设O1，O分别为正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O=，
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，
则D1D为该三棱台的斜高.过D1作D1E⊥AD交AD于点E，则D1E=O1O=.
因为O1D1=×3=，OD=×6=，
所以DE=OD-O1D1=-=.
在Rt△D1DE中，D1D===(cm).
故该三棱台的斜高为 cm.
(2)S侧=3××=(cm2)，
S表=S侧+S上+S下=+×32+×62=(cm2)，故该三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2.
16.解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA=12 cm，
∴A1A=6 cm.
设梯形ABB1A1的高为h'，
则h'==4(cm)，
∴S棱台侧=6××4=144(cm2)，
∴S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2.

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