资源简介

11.3.3　平面与平面平行
［学习目标］　掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题.
一、平面与平面平行的判定定理
问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
知识梳理
平面与平面平行的判定定理
判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有　　　　　　　　分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有　　　　　　　　分别平行于另一个平面内的　　　　，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β α∥β a∥c，b∥d，a∩b=A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言
例1(课本例1)　如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC.
例1　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，AB∥CD，求证：平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
知识梳理
平面与平面平行的性质定理
性质定理 推论
文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线　　　 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段　　　
符号语言 α∥β，α∩γ=l，β∩γ=m 　　　 α∥β∥γ，m∩α=A，m∩β=B，m∩γ=C，n∩α=E，n∩β=F，n∩γ=G =
图形语言
例2(课本例2)　如图所示，已知α，β，γ都是平面，且α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.
求证：=.
例2　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置.
三、平行问题的综合应用
例3　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是矩形.
(1)设M为OA上靠近点A的三等分点，N为BC上靠近点B的三等分点.求证：MN∥平面OCD；
(2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由.
反思感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3　如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理及推论.
(2)平面与平面平行的性质定理及推论.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不全面.
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
2.下列命题中正确的是(　　)
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
3.(多选)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　)
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面EF1H1
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　　.
答案精析
问题1　硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行.
知识梳理
两条相交直线　两条相交直线
两条直线
例1(课本例1)　证明　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又知DE 平面ABC，AB 平面ABC，因此DE∥平面ABC.
同理，EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF=E，所以由面面平行的判定定理可得平面DEF∥平面ABC.
例1　证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，
BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练1　证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，
PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，
AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
问题2　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.
知识梳理
平行　成比例　l∥m
例2(课本例2)　证明　连接DC，如图所示，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，所以BG∥AD，因此=.
同理可得=.因此=.
例2　证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，
平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM.
跟踪训练2　(1)证明　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，
平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)解　取BB1的中点M，接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，∴ME C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM C1F，∴F为棱CC1的中点.
例3　(1)证明　如图，
取AD上靠近点A的三等分点G，连接MG，NG，
在△AOD中，AM∶MO=1∶2，AG∶GD=1∶2，
则MG∥OD，又MG 平面OCD，OD 平面OCD，
∴MG∥平面OCD，
同理，NG∥平面OCD，
又MG∩NG=G，MG，
NG 平面MNG，
∴平面MNG∥平面OCD，
又MN 平面MNG，
∴MN∥平面OCD.
(2)解　存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立.证明如下：
取OE的中点F，连接BF，BD，设BD∩AC=P，
连接PE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴P是BD的中点，
又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点，
且F是OE的中点，
∴E是FD的中点，
∴在△BDF中，PE∥BF，
又PE 平面ACE，
BF 平面ACE，
∴BF∥平面ACE，
故在OD上存在OE的中点F，
使BF∥平面ACE成立.
跟踪训练3　证明　在四棱锥P-ABCD中，
E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，
AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP 平面PAB，AP 平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
随堂演练
1.D　2.B　3.AB　4.(共88张PPT)
第十一章
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平面与平面平行
11.3.3
掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题.
学习目标
上节课我们学习了线面平行的判定定理和性质定理，那么我们又该如何判定两平面平行呢？两平面平行又具有怎样的性质呢？
导 语
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理的应用
课时对点练
三、平行问题的综合应用
内容索引
随堂演练
一
平面与平面平行的判定定理
提示　硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行.
如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
问题1
判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有________ ____分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面内的____
____，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β α∥β a∥c，b∥d，a∩b=A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言
平面与平面平行的判定定理
两条相交
直线
两条相交直线
两条
直线
(1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立.
(2)判定定理：由线面平行 面面平行.
注 意 点
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(课本例1)如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC.
例 1
在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又知DE 平面ABC，AB 平面ABC，因此DE∥平面ABC.
同理，EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF=E，所以由面面平行的判定定理可得平面DEF∥平面ABC.
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
例 1
∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反
思
感
悟
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，AB∥CD，求证：平面EFG∥平面PAB.
跟踪训练 1
∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二
平面与平面平行的
性质定理的应用
提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.
若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
问题2
平面与平面平行的性质定理
性质定理 推论
文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线____ 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段_______
符号语言 α∥β，α∩γ=l，β∩γ=m ______ α∥β∥γ，m∩α=A，m∩β=B，m∩γ=C，n∩α=E，n∩β=F，n∩γ=G =
平行
成比例
l∥m
性质定理 推论
图形语言
(1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交.
(2)定理的实质：面面平行 线线平行.
(3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据.
注 意 点
<<<
(课本例2)如图所示，已知α，β，γ都是平面，且α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.
求证：=.
例 2
连接DC，如图所示，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，所以BG∥AD，因此=.
同理可得=.因此=.
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
例 2
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，
平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM.
反
思
感
悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
跟踪训练 2
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，
平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME綉A1B1，
又A1B1綉C1D1，∴ME綉C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綉C1F，∴F为棱CC1的中点.
三
平行问题的综合应用
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是矩形.
(1)设M为OA上靠近点A的三等分点，N为BC上靠近点B的三等分点.求证：MN∥平面OCD；
例 3
如图，取AD上靠近点A的三等分点G，连接MG，NG，
在△AOD中，AM∶MO=1∶2，AG∶GD=1∶2，
则MG∥OD，又MG 平面OCD，OD 平面OCD，
∴MG∥平面OCD，
同理，NG∥平面OCD，
又MG∩NG=G，MG，
NG 平面MNG，
∴平面MNG∥平面OCD，
又MN 平面MNG，
∴MN∥平面OCD.
(2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由.
存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立.证明如下：
取OE的中点F，连接BF，BD，设BD∩AC=P，
连接PE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴P是BD的中点，
又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点，
且F是OE的中点，
∴E是FD的中点，
∴在△BDF中，PE∥BF，
又PE 平面ACE，
BF 平面ACE，
∴BF∥平面ACE，
故在OD上存在OE的中点F，
使BF∥平面ACE成立.
反
思
感
悟
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG.
跟踪训练 3
在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP 平面PAB，AP 平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理及推论.
(2)平面与平面平行的性质定理及推论.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不全面.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
√
∵α∥β，∴α与β无公共点，又m α，n β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.
1
2
3
4
2.下列命题中正确的是
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行
C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面
平行
√
如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确.
3.(多选)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面EF1H1
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG=E，H1E，
EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确，
同理可得B正确，故选AB.
1
2
3
4
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则
S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.
∵平面α∥平面ABC，
平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，
∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，
易得△ABC∽△A'B'C'，
S△A'B'C'∶S△ABC===.
课时对点练
五
2
答案
1
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BCD D A C ACD A
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 D BC C M∈线段FH BCD
对一对
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP 平面PBC，
NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(1)如图，连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(2)因为N，G分别为边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG，
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN 平面MNG，BD 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD 平面BDE，DE∩BD=D，
所以平面BDE∥平面MNG.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
存在，当F，M分别是PC，PE的中点时，
平面FBM与平面AEC平行.证明如下：
如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM.
因为F是PC的中点，
所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC，CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
由EM=PE=ED，
得E是MD的中点.
连接BD交AC于点O，连接OE，
所以OE∥BM.
因为BM 平面AEC，OE 平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
由FM∩BM=M，FM∥平面AEC，BM∥平面AEC，FM，BM 平面FBM，
得平面FBM∥平面AEC.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.(多选)下列说法正确的是
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这
两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
√
√
√
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
A中，直线还可以在另一个平面内，A错误；
B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；
C，D显然正确.
2
答案
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
√
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3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是
A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2
C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α
√
若m∥l1且n∥l2，根据两平面平行的判定定理可得α∥β；若α∥β，则不一定有m∥l1且n∥l2，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的充分不必要条件，故A项符合题意.
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4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的
A.一个侧面平行 B.底面平行
C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行
√
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当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误.
如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG.
又∵SA 平面SAB，平面SAB∩α=DG，
∴SA∥DG.
同理SA∥EF，∴DG∥EF.
同理，若α∥BC，则GF∥DE.
∵截面是梯形，
∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行.
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5.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
√
√
√
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对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；
对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确.
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6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为
A. B.1
C. D.
√
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如图，连接A1D，A1B，BD，由正方体的结构特征，可得平面BDA1∥平面B1D1C.
过点P作该正方体的截面，分别交AB于点E，交AA1于点F，
∵截面PEF∥平面B1D1C，
∴截面PEF∥平面BDA1，
可得PE∥DB，EF∥A1B，PF∥A1D，
再由平行线截线段成比例，
可得AP=AE=AF，△PEF为正三角形.
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设△PEF的边长为a，
则a2·=，
解得a=2，则AP=.
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7.如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=，则MN_________平面SBC.
∥
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如图，过点N作NG∥AD交AB于点G，连接MG，可得=，
由已知条件==，所以MG∥SB，
因为MG 平面SBC，SB 平面SBC，
所以MG∥平面SBC.又AD∥BC，所以NG∥BC.
因为NG 平面SBC，BC 平面SBC，所以NG∥平面SBC.
因为MG∩NG=G，MG，NG 平面MNG，
所以平面SBC∥平面MNG，
因为MN 平面MNG，所以MN∥平面SBC.
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8.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为　　 　　.
由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为FB，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6.
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9.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
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∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP 平面PBC，
NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，
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而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
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10.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
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如图，
连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE 平面DMF，
MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
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(2)平面BDE∥平面MNG.
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因为N，G分别为边AD，EF的中点，
所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，
GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG，
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
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又MN 平面MNG，
BD 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD 平面BDE，
DE∩BD=D，
所以平面BDE∥平面MNG.
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11.下列能作为判定“平面α∥平面β”成立的条件为
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
综合运用
√
A，B显然错误；
C中，若a，b与平面α，β的交线平行，也满足条件，但α，β可以平行或相交，即C错误，由排除法可知D正确.
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12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP=BD1，则以下说法正确的有
A.MN∥平面APC
B.C1Q∥平面APC
C.A，P，M三点共线
D.平面MNQ∥平面APC
√
√
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由题意知，MN∥AC，AB=2MD1且AB∥MD1，连接AM，∴AM交BD1于点P，同理，连接CN，则CN交BD1于点P，易得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，∴A错误；
由A知M，N在平面APC上，连接AN，易知AN∥C1Q，
∵C1Q 平面APC，AN 平面APC，∴C1Q∥平面APC，∴B正确；
由A知A，P，M三点共线，∴C正确；
由A知MN 平面APC，又MN 平面MNQ，∴平面MNQ与平面APC相交，∴D错误.
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13.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为
A. B.
C.或24 D.或12
√
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连接AB，CD.
(1)当点P在CA的延长线上，
即点P在平面α与平面β的同侧时，如图①.
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，
∴AB∥CD，∴=.
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴=，解得BD=.
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(2)当点P在线段CA上，
即点P在平面α与平面β之间时，如图②.
类似(1)的方法，可得=.
∵PA=6，PC=AC-PA=9-6=3，PD=8，
∴=，解得PB=16，
∴BD=PB+PD=24.
综上，BD的长为或24.
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14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，若点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足
　　　 　时，有MN∥平面B1BDD1.
M∈线段FH
因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故M为线段FH上任意一点时，有MN∥平面B1BDD1.
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15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
拓广探究
√
√
√
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对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边，故A项错误；
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对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点P，Q，M的平面α截正方体，则平面B1BAA1∩α=PM，设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PM∥l，
又Q∈DD1，且PM∥BB1，又BB1∥DD1，
则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合，
又PM=BB1=DD1，
连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且MD∥PD1，
故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确；
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对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面α截正方体，
则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l，
且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PB∥l，
取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT，
由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形，
则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，又由Q，N分别为D1D，DR的中点，
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则D1R∥QN，
所以PB∥QN，
即QN所在直线与l重合，即平面C1CDD1∩α=QN；
同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN，
由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，可得PM∥BN，平面A1B1C1D1∩α=PM；
连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确；
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对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1BCC1∥平面A1ADD1，得PM∥QE，PF∥NE，MN∥FQ，
即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.
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16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE=2ED.在棱PC，PD上是否存在一点F，M，使平面FBM与平面AEC平行？证明你的结论.
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存在，当F，M分别是PC，PE的中点时，
平面FBM与平面AEC平行.证明如下：
如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM.
因为F是PC的中点，
所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC，
CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM=PE=ED，
得E是MD的中点.
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连接BD交AC于点O，连接OE，
所以OE∥BM.
因为BM 平面AEC，
OE 平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
由FM∩BM=M，
FM∥平面AEC，BM∥平面AEC，
FM，BM 平面FBM，
得平面FBM∥平面AEC.
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16作业21 平面与平面平行
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分
1.(多选)下列说法正确的是(　　　　)
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是(　　)
A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2
C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α
4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(　　)
A.一个侧面平行 B.底面平行
C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行
5.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是(　　　　)
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为(　　)
A. B.1 C. D.
7.如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=，则MN　　　平面SBC.
8.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为　　　　.
9.(10分)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
10.(10分)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；(4分)
(2)平面BDE∥平面MNG.(6分)
11.下列能作为判定“平面α∥平面β”成立的条件为(　　)
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP=BD1，则以下说法正确的有(　　　　)
A.MN∥平面APC
B.C1Q∥平面APC
C.A，P，M三点共线
D.平面MNQ∥平面APC
13.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为(　　)
A. B.
C.或24 D.或12
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，若点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足　　　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.
15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为(　　　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
16.(11分)在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE=2ED.在棱PC，PD上是否存在一点F，M，使平面FBM与平面AEC平行？证明你的结论.
答案精析
1.BCD　2.D　3.A　4.C
5.ACD　［对于A，由面面平行的传递性可知A正确；对于B，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误；对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确.］
6.A　［如图，连接A1D，A1B，BD，由正方体的结构特征，可得平面BDA1∥平面B1D1C.
过点P作该正方体的截面，分别交AB于点E，交AA1于点F，
∵截面PEF∥平面B1D1C，
∴截面PEF∥平面BDA1，
可得PE∥DB，EF∥A1B，PF∥A1D，
再由平行线截线段成比例，
可得AP=AE=AF，△PEF为正三角形.
设△PEF的边长为a，
则a2·=，
解得a=2，则AP=.］
7.∥
解析　如图，过点N作NG∥AD交AB于点G，连接MG，可得=，
由已知条件=，得=，所以MG∥SB，
因为MG 平面SBC，SB 平面SBC，
所以MG∥平面SBC.又AD∥BC，所以NG∥BC.
因为NG 平面SBC，BC 平面SBC，所以NG∥平面SBC.
因为MG∩NG=G，MG，NG 平面MNG，
所以平面SBC∥平面MNG，
因为MN 平面MNG，所以MN∥平面SBC.
8.4+6
解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为FB，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6.
9.证明　∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP 平面PBC，
NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，
而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
10.证明　(1)如图，连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG，
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN 平面MNG，BD 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD 平面BDE，DE∩BD=D，
所以平面BDE∥平面MNG.
11.D　［A，B显然错误；C中，若a，b与平面α，β的交线平行，也满足条件，但α，β可以平行或相交，即C错误，由排除法可知D正确.］
12.BC　［由题意知，MN∥AC，AB=2MD1且AB∥MD1，连接AM，
∴AM交BD1于点P，同理，连接CN，则CN交BD1于点P，易得AM，CN交于点P，即MN 平面APC，∴A错误；由A知M，N在平面APC上，连接AN，易知AN∥C1Q，∵C1Q 平面APC，AN 平面APC，∴C1Q∥平面APC，∴B正确；由A知A，P，M三点共线，∴C正确；由A知MN 平面APC，又MN 平面MNQ，∴平面MNQ与平面APC相交，∴D错误.］
13.C　［连接AB，CD.
(1)当点P在CA的延长线上，
即点P在平面α与平面β的同侧时，如图①.
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，
∴AB∥CD，∴=.
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴=，解得BD=.
(2)当点P在线段CA上，即点P在平面α与平面β之间时，如图②.
类似(1)的方法，可得=.
∵PA=6，PC=AC-PA=9-6=3，PD=8，
∴=，解得PB=16，
∴BD=PB+PD=24.
综上，BD的长为或24.］
14.M∈线段FH
解析　因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故M为线段FH上任意一点时，有MN∥平面B1BDD1.
15.BCD　［对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边，故A项错误；
对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点P，Q，M的平面α截正方体，
则平面B1BAA1∩α=PM，设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PM∥l，
又Q∈DD1，且PM∥BB1，
又BB1∥DD1，
则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合，
又PM=BB1=DD1，
连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且MD∥PD1，
故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确；
对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面α截正方体，
则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l，
且点Q∈l，
由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PB∥l，
取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT，
由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形，
则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，又由Q，N分别为D1D，DR的中点，则D1R∥QN，所以PB∥QN，
即QN所在直线与l重合，即平面C1CDD1∩α=QN；
同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN，
由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，可得PM∥BN，平面A1B1C1D1∩α=PM；
连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确；
对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，
可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1BCC1∥平面A1ADD1，得PM∥QE，PF∥NE，MN∥FQ，
即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确.］
16.解　存在，当F，M分别是PC，PE的中点时，
平面FBM与平面AEC平行.证明如下：
如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM.
因为F是PC的中点，
所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC，CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM=PE=ED，
得E是MD的中点.
连接BD交AC于点O，连接OE，
所以OE∥BM.
因为BM 平面AEC，OE 平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
由FM∩BM=M，FM∥平面AEC，BM∥平面AEC，FM，BM 平面FBM，
得平面FBM∥平面AEC.

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