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18.1 平行四边形的性质
第3课时 平行四边形对角线的性质
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路.（难点）
问题：上节课我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧.
平行四边形的邻角互补.
知识点 平行四边形的对角线互相平分
A
B
C
D
O
前面我们已经发现，□ABCD是一个中心对称图形，对角线AC,BD的交点O就是对称中心，有
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个结论呢？
由此可得：
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质定理3
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
例1 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点0，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
A
B
C
D
O
解：在 ABCD中，
∵AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9.
又∵AO=OC,BO=OD(平行四边形的对角线互相平分).
∴AC+BD
=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18.
例2 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E和点F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
●
●
议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下
图(3)、(4)的位置时，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
1.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（　　）
A.26 B.34 C.40 D.52
B
2.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为24，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（　　）
A.9 B.18 C.27 D.36
D
1.在 ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
D
2.如图，在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是
( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是 .
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
又∵OA=OC
∴
∴
？
？
？
∵四边形ABCD是平行四边形，
5. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF.求证:BE=DF.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
A
B
C
D
O
E
F
∴OE=OA,OF=OC,
∴OE=OF.
∵∠BOE=∠DOF,
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.

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