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19.1.2 第1课时 矩形的判定（1）
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点）
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
知识点1 由矩形的定义判定一个四边形是矩形
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是否是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A B
D C
除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：
1.四个角都是直角；
2.两条对角线相等.
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
让我们先思考有关的角.由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形.的确如此，但是，条件能否再减少一
些，三个角是直角的四边形是矩形吗？两个角是直角的四边形是矩形吗？一个角是直角的四边形是矩形吗？
问题 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例1 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.
现在让我们再思考有关的线段.“对角线相等”是矩
形所特有的性质.那么从对角线的角度，你可以得到关于
矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们
的想法是否一致、可行.
由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边
形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形.”
知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在 ABCD中，∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形.
A
B
C
D
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，有一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
1.如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，则
下面条件能判定 ABCD是矩形的是 （　　）
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
A
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,
AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
4.如图，在 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵ ∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形.
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
定义
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
判定定理1
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
19.1.2 第2课时 矩形的判定（2）
能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.(难点)
知识点 矩形的性质与判定的综合应用
例1 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.
分析 由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB=∠CDB=60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD,DM⊥BC,∠BDM =30°
∴∠DNB=∠DMB=90°,
∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°
∴四边形BMDN是矩形（有三个角是
直角的四边形是矩形）.
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝∠FAC=.
∴AE∥BC.
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD,AB=DE，
∴AC=DE,AE=DC.
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
归纳 判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明三个角是直角，可直接证出矩形；如果只能证出一个角是直角或对角线相等，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴ NDMB为矩形．
2.如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形．
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
能力提升：4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
(1)解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
∴24－x＝3x，
解得x＝6.
∴经过6s，四边形PQCD是平行四边形；
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
(2)解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
所以y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
定义
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
判定定理1
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.

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