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江苏省连云港市 2024-2025 学年高一（上）期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { |2 < < 4}，则 ∩ =( )
A. [1,4) B. [1,4] C. (2,3] D. [2,3]
2
2.设 为正数，若函数 ( ) = sin( )的最小正周期为 ，则 =( )
6 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.“ 2 > 4”是“ > 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.若 > 0， > 0，则下列各式中恒等的是( )
A. ln 2 = (ln )2 B. ln × ln = ln( )
ln 1 ln
C. = ln D. ln =

5.已知cos(75
1
+ ) = ， 180 < < 90 ，则cos(165 + ) =( )
3
2√ 2 2√ 2 √ 2 √ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
1
6.将函数 = sin 图象上每个点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移 个单位长度，
2 6
所得图象的函数解析式为( )

A. = sin(2 ) B. = sin(2 + ) C. = sin(2 ) D. = sin(2 + )
3 3 6 6
4
7.已知 ( ) = + 2，若 (2 1) > ( 1)，则实数 的取值范围为( )
| |
2 2
A. (0, ) B. ( ∞, 0) ∪ ( , +∞)
3 3
1 1 2 1 2
C. (0, ) ∪ ( , ) D. ( , )
2 2 3 2 3
8.已知函数 ( ) = 2 | | + 恰有三个零点，则实数 的取值范围为( )
1 1 1 1 1
A. {0, } B. [0, ] C. [ , ] D. [0, ]
8 8 6 8 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = 3sin(2 )，则该函数的( )
3
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A. 值域为[ 3,3]
5 11
B. 减区间是[ + , + ]( ∈ )
12 12

C. 图象的对称中心为( + , 0)( ∈ )
2 6
5
D. 图象的对称轴方程为 = + ( ∈ )
12
1+tan 3
10.已知 = ，则( )
sin 4
1 4
A. sin + cos = B. sin cos =
3 9
√ 17 9 √ 17
C. |sin | + |cos | = D. tan =
3 8
11.若2 + ln = ln(1 ) 2 ，则( )
A. < 1 B. + > 1 C. 2 < ( 1)2 D. + < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 4
12.若 > 0， > 0，且 = 4，则 + 的最小值为 ．

13.设 > 0， ≠ 1，若函数 ( ) = 满足 (2) > (3)，且 log2 = 16，则 = ．
1 1
14.已知函数 = ( )， ∈ 不恒为零，对于 ， ∈ 满足 ( ) = ( ) + ( )，若 ( ) = ，则
4 2
( 4) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设 为实数，函数 ( ) = 2 2 + ．
(1)若函数 ( )在区间( 1,1)上单调递减，求 的取值范围：
(2)若 ( ) = 0在区间( 1,1)上有两个不相等的实数解，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
1 2
已知函数 ( ) = ．
2 +1
(1)证明： ( )的图象关于原点对称；
(2)求函数 ( )的值域．
17.(本小题15分)
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7
(1)用“五点法”画出函数 = 2sin(2 )在一个周期内( ∈ [ , ])的简图：
3 6 6

(2)若函数 ( ) = 2 sin(2 ) + 在区间[ , ]上的最大值为1，最小值为 5，求 ， 的值．
3 4 2

2
3


18.(本小题17分)
近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入
本企业的电网.安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位： 2)成正比，比例系数
1
约为 .为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗
4

的电费 (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 (单位： 2)之间的函数关系是 ( ) = ( ≥
20 +100
0, 为常数).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为 (单位：万元)．
(1)解释 (0)的实际意义，并写出 关于 的函数关系式：
(2)当 为何值时， 最小 求出 的最小值：
1
(3)要使 不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的 ，求 的取值范围．
8
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = log2 ， ( )是定义在 上的奇函数．
1
(1)若 (tan ) + ( tan ) > 0，求 的取值集合：
3
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1 1 1
(2)若 ( ) = ( + )，当0 ≤ ≤ 时， ( ) = ( + 1)，且对任意 ∈ ，证明： ( )为周期函数：并
2 2 2
写出 ( )在区间[ 1,1]上的解析式(只写结果，不用写过程)．
1 1 1
(3)在(2)的条件下，对于 ∈ [ , ]，若 ( )满足： ( ) + (1 2) > 0，求实数 的取值范围．
2 2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
1
13.【答案】
4
14.【答案】8
15.【答案】解：(1)由题意函数 ( ) = 2 2 + 图象的对称轴为 = ，且开口向上，
又因为函数 ( )在区间( 1,1)上单调递减，
所以 1．
故 的取值范围为[1,+∞)．
(2)因为 ( ) = 0在区间( 1,1)上有两个不相等的实数解，
( ) < 0
( 1) > 0 1
所以{ ，解得： < < 0．
(1) > 0 3
1 < < 1
1
所以实数 的取值范围为( , 0)．
3
1 2
16.【答案】解：(1)函数 ( ) = 的定义域为 ，关于原点对称， 2 +1
1 2 2 1
因为 ( ) = = = ( ) ，
2 +1 1+2
所以函数 ( ) 为奇函数，所以 ( )的图象关于原点对称．

1 2 (2 +1)+2 2
(2) ( ) = = = 1+ ， 2 +1 2 +1 2 +1
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1 2
因为 2 > 0 ，所以 2 + 1 > 1 ，所以 0 <
2
< 1 ，所以 1 < 1+ < 1 ， +1 2 +1
所以 1 < ( ) < 1 ，即函数 ( ) 的值域为 ( 1,1) ．
17.【答案】解：(1)
3
2 0 2
3 2 2
5 2 11 7

6 12 3 12 6
0 2 0 2 0
2
(2) ∵ ∈ [ , ]，∴ 2 ∈ [ , ]，
4 2 3 6 3
1
∴ sin(2 ) ∈ [ , 1]，
3 2
当 = 0时，不符合题意；
+ = 5 = 6
当 > 0时，∵ ( ) ∈ [ + , 2 + ]，则{ { ，符合题意;
2 + = 1 = 11
2 + = 5 = 6
当 < 0时，∵ ( ) ∈ [2 + , + ]，则{ { 符合题意．
+ = 1 = 7
= 6 = 6
综上，{ .或{ ．
= 11 = 7
18.【答案】解：(1)由题意得 (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，
即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．当 = 0时，该企业每年消耗的电费36万元，代入 ( ) =

，可得由 (0) = = 36，得 = 3600，
20 +100 100
1 72000
因此 = + ( 100)．
4 20 +100
(2)由(1)可知，
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1 72000 1 3600 1 3600 5
= + = + = ( + 5) + ，
4 20 +100 4 +5 4 +5 4
又因为 0，所以 + 5 0，
1 3600 5 1 3600 5 235
故原式= ( + 5) + 2√ ( + 5) × = ，
4 +5 4 4 +5 4 4
1 3600 235
当且仅当 ( + 5) = ，即 = 115时等号成立， 的最小值为 ．
4 +5 4
1 3600 5 1
(3)由题意可知： = ( + 5) + × 36 × 20，
4 +5 4 8
即 2 355 + 12600 0，解得：40 315．
所以 的取值范围是[40,315]．
19.【答案】解：(1) ∵ ( )的定义域为(0,+∞)，∴ tan > 0，
1 1 1
∵ (tan ) + ( tan ) = log2tan + log2( tan ) = log2( tan
2 ) > 0，
3 3 3
1
∴ tan2 > 1，∵ tan > 0，∴ tan > √ 3，
3

即 的取值集合为( + , + )( ∈ )；
3 2
1 1
(2) ∵ ( ) = ( + )，
2 2
1
∴ ( )的对称轴为 = ，∴ ( ) = (1 )，
2
∵ ( )是奇函数，∴ ( ) = ( )，
∴ (1 ) = ( )，∴ (1 + ) = ( )，
∴ (2 + ) = (1 + ) = ( )，
∴ ( )是周期为2的周期函数．
1
2( + 2), ∈ [ 1, ]2
1
2(1 ), ∈ ( , 0]
( ) = { 2 ．
1
2( + 1), ∈ (0, ]2
1
2(2 ), ∈ ( , 1]2
1
(3) ∵ ( )是奇函数，∴ ( ) > ( 2 1)，
2
1 1
由(2)知 ( )在 ∈ [ , ]单调递增，
2 2
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1
> 2 1
2
∴ 2
1
1 ≥ ，
2
1 1
{ ≤2 2
√ 2
∴ 的取值范围为[ , 1)．
2
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