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第2课时　勾股定理的实际应用
勾股定理的实际应用
1.如图,小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河,但由于水流的影响,实际上岸地点C与欲到达地点B相距10 m,结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2 m,则河的宽度AB是(　　)
A.8 m B.12 m
C.16 m D.24 m
2.课间休息时,嘉嘉从教室窗户向外看,看到行人为从A处快速到达图书馆B处,直接从长方形草地中穿过.为保护草地,嘉嘉想在A处立一个标牌:“少走■米,踏之何忍 ”如图,若AB=17 m,BC=8 m,则标牌上“■”处的数字是 (　　)
A.6 B.8
C.10 D.11
3.(2024石家庄藁城区期末)如图,一根橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,其中点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(8,0),然后把中点C向上拉升3 cm到点D,则橡皮筋被拉长了　　　　cm.
4.(数学文化)在《九章算术》中有一个问题(如图):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何 ”它的意思如下:一根竹子原高一丈(10尺),从中部一处折断,竹梢接触地面处离竹根3尺,则折断处离地面　　　　尺.
5.(2024邯郸丛台区月考)如图,一架长25 m的云梯AB斜靠在一面墙上,这时云梯底端距墙脚的距离BC=15 m,∠ACB=90°.
(1)求这架云梯的顶端距地面的高度AC.
(2)当云梯的顶端A沿墙面下滑x m到达A'位置时,用含x的代数式表示云梯的底端水平滑动的距离BB'.
(3)若云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的,求云梯的顶端所能达到的最大高度.
1.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板B离地的垂直高度BE=0.7 m,将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD=3 m),踏板离地的垂直高度CF=2.5 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是(　　)
A.3.4 m B.5 m
C.4 m D.5.5 m
2.(2024大同平城区期末)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2.5 m,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2 m,头顶离感应器的距离AD为1.5 m,则这名学生的身高CD为　　　　m.
3.(2024保定清苑区期中)2023年7月5日,台风“杜苏芮”登陆,使我国很多地区受到严重影响.据报道,这次台风风力影响半径为250 km(即以台风中心为圆心,250 km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图,线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线,A是某个大型农场,且AB⊥AC.若A,C两点之间相距300 km,A,B两点之间相距400 km.
(1)判断农场A是否会受到台风的影响,请说明理由.
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h,则台风持续影响该农场的时间有多长
4.(应用意识)如图,解放广场的草坪上有AO,OC,CD,DA,AC五条小路,且∠AOC=∠ADC=90°,AD=7 m,CD=24 m,OC=15 m.
(1)求小路AO的长度.
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍,淇淇站在点O处,小狗从点O开始以2 m/s的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑,跑到点A时停止奔跑,设奔跑中小狗的位置为点Q,小狗奔跑的时间为t s.
①当小狗在小路CA上奔跑时,求出淇淇与小狗的最近距离,并求此时t的值.
②当△OCQ为等腰三角形时,求t的值.
【详解答案】
课堂达标
1.D　2.A　3.2　4.4.55
5.解:(1)∵AB=25 m,BC=15 m,∠ACB=90°,
∴在Rt△ACB中,由勾股定理,得
AC===20(m).
答:这架云梯的顶端距地面的高度AC是20 m.
(2)由题意,得AA'=x m,A'C=(20-x)m,A'B'=AB=25 m.
在Rt△A'CB'中,由勾股定理,得
B'C==.
∴BB'=B'C-BC=[-15]m.
(3)∵AB=25 m,
∴云梯底端离墙的最小距离为×25=5(m).
∴由勾股定理,得云梯顶端所能达到的最大高度为=10(m).
答:云梯的顶端所能达到的最大高度是10 m.
课后提升
1.A　解析:由题意可知,CF=DE=2.5 m,BE=0.7 m,∴BD=2.5-0.7=1.8(m).设AC的长为x m,则AB=AC=x m.
∴AD=AB-BD=(x-1.8)m.在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,即(x-1.8)2+32=x2,解得x=3.4,即绳索AC的长是3.4 m.故选A.
2.1.6　解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则CD=BE,DE=BC=1.2 m.
在Rt△ADE中,AD=1.5 m,由勾股定理,得AE===0.9(m).∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6(m).
∴CD=BE=1.6 m.
3.解:(1)农场A会受到台风的影响.理由如下:
如图1,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∵在Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=400 km,AC=300 km,
∴BC===500(km).
∵AD⊥BC,
∴BC·AD=AB·AC.
∴AD===240(km).
∵AD<250 km,
∴农场A会受到台风的影响.
图1 　　　图2
(2)如图2,假设台风在线段EF上移动时,会对农场A造成影响,
∴AE=AF=250 km.
∵AD=240 km,
由勾股定理,得
EF=2DF=2×=2×70=140(km).
∵台风中心的移动速度是25 km/h,
∴农场A受台风影响的时间为
140÷25=5.6(h).
答:台风持续影响该农场的时间为5.6 h.
4.解:(1)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=7 m,CD=24 m,
则由勾股定理,得
AC===25(m).
在Rt△ACO中,∠AOC=90°,AC=25 m,OC=15 m,
则由勾股定理,得
AO===20(m).
∴小路AO的长度为20 m.
(2)①如图1,过点O作OB⊥AC于点B.
图1
∴在Rt△ACO中,
S△AOC=AO·OC=AC·OB.
∴20×15=25OB.解得OB=12.
在Rt△BOC中,∠OBC=90°,OC=15 m,OB=12 m,
则由勾股定理,得
BC===9(m).
∴淇淇与小狗的最近距离为9 m.
此时小狗奔跑的路程为
OC+BC=15+9=24(m).
∵小狗以2 m/s的速度奔跑,
∴小狗奔跑的时间为t=24÷2=12(s).
∴淇淇与小狗的最近距离时t的值为12.
②由①知,当OB⊥AC时,BC=9 m,OB=12 m,CO=15 m,
∴△OCQ为等腰三角形分为三种情况:
OC=OQ;QO=QC;CO=CQ.
当OC=OQ=15 m时,如图2所示.
由等腰三角形的性质可知,CQ=2BC=18 m,
∴小狗奔跑的路程为OC+CQ=15+18=33(m).
∵小狗以2 m/s的速度奔跑,
∴小狗奔跑的时间为t=33÷2=16.5(s).
图2 　图3
当OQ=QC时,如图3所示,过点Q作QE⊥OC于点E.
由等腰三角形的性质可知,∠OQE=∠CQE,
∵∠AOC=90°,∴QE∥OA.
∴∠OAC=∠CQE,∠AOQ=∠OQE.
∴∠OAQ=∠AOQ.
∴AQ=OQ=QC=AC= m.
∴小狗奔跑的路程为
OC+CQ=15+=(m).
∵小狗以2 m/s的速度奔跑,
∴小狗奔跑的时间为t=÷2=13.75(s).
当QC=OC=15 m时,
小狗奔跑的路程为OC+CQ=15+15=30(m),
∵小狗以2 m/s的速度奔跑,
∴小狗奔跑的时间为t=30÷2=15(s).
综上所述,当△OCQ为等腰三角形时,t的值为13.75或15或16.5.17.1勾股定理
第1课时　勾股定理
对勾股定理的认识
1.在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,则下列式子成立的是 (　　)
A.AC2+AB2=BC2
B.BC2+AB2=AC2
C.AC2+BC2=AB2
D.AC2+BC2=2AB2
2.(2024邯郸丛台区月考)若a,b,c分别是△ABC的三边长,且对角分别是∠A,∠B,∠C,则下列说法正确的是 (　　)
A.总有a2+b2=c2
B.当∠B+∠C=90°时,a2+b2=c2
C.当∠C=90°时,a2+c2=b2
D.当∠A=90°时,b2+c2=a2
3.(数学文化)我国是最早了解勾股定理的国家之一,在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明,相传是由商高发现的,故又称之为“商高定理”.下列四幅图中,不能证明勾股定理的是 (　　)
A. B.
C. D.
利用勾股定理进行计算
4.(2024唐山路北区期末)在Rt△ABC中,斜边AB=9,则AC2+BC2= (　　)
A.3 B.9 C.18 D.81
5.两只蜗牛从同一地点同时出发,一只以3 cm/min的速度向北直行,另一只以4 cm/min的速度向东直行,1 min后两只蜗牛相距 (　　)
A.5 cm B.3 cm C.4 cm D.4.5 cm
6.若直角三角形的两条边长分别为3 cm和4 cm,则第三条边长为 (　　)
A.5 cm B. cm
C.5 cm或 cm D.5 cm或7 cm
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=9,AB=15,则AC=　　　　.
8.(2024商丘梁园区期末)如图,∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=2,则OD2=　　　　.
9.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AC=5,BC=9,AD=4,求AB的长.
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示.若S1=7,S3=2,则S2的值是 (　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图,在用弦图验证勾股定理时,用到的面积相等关系是 (　　)
A.S正方形EFGH+4S△ABH=S正方形ABCD
B.S正方形ABCD=S正方形EFGH
C.S△ABH=S正方形EFGH
D.2S△ABH=S正方形ABCD-S正方形EFGH
3.(2024承德平泉期末)如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C都在网格线的交点上,则△ABC中边BC上的高为 (　　)
A. B. C. D.
4.(2024廊坊香河县月考)已知一个直角三角形的两条直角边的长分别是(+6)cm和(6-)cm,则这个直角三角形的周长为 　　　　.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.如果∠ABC=60°,AE=6,那么BC等于　　　　.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=10,BC=13,CD=12,AD=5,AD⊥CD.求四边形ABCD的面积.
7.(几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)BC=　　　,AB边上的高h=　 .
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
【详解答案】
课堂达标
1.C　2.D　3.C　4.D　5.A　6.C
7.12　8.7
9.解:∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵AC=5,BC=9,AD=4,
∴在Rt△ACD中,
CD===3.
∴BD=BC-CD=6.
在Rt△ABD中,
AB===2.
∴AB的长为2.
课后提升
1.B　解析:在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC2=AB2-AC2,∵分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2, S3表示,∴AB2=7,AC2=2.∴BC2=7-2=5,即S2的值是5.故选B.
2.A　解析:设DE=AH=BG=CF=a,AE=BH=CG=DF=b,AD=c.∵S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△ABH=(b-a)2+4×ab=a2+b2,S正方形ABCD=AD2=c2,∴a2+b2=c2.故选A.
3.B　解析:设△ABC中边BC上的高为h.由勾股定理,得BC==.∵S△ABC=BC·h=2×3-×2×2-×1×1-×3×1=2,∴h=2.∴h=,即△ABC中边BC上的高为.故选B.
4.(12+)cm　解析:由题意知,这个直角三角形的斜边长为=(cm),∴这个直角三角形的周长为(+6)+(6-)+=(12+)(cm).
5.3　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.
∵BE平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠EBA=∠EBC=30°.∴∠EBA=∠A=30°.∴BE=AE=6.
在Rt△BCE中,∠EBC=30°,BE=6,∴CE=BE=3.∴BC===3.
6.解:如图,连接AC,过点C作CE⊥AB于点E.
∵AD⊥CD,∴∠D=90°.
在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,
∴AC===13.
∵BC=13,∴AC=BC.
∵CE⊥AB,AB=10,
∴AE=BE=AB=×10=5.
在Rt△CAE中,
CE===12.
∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=×5×12+×10×12=30+60=90.
7.解:(1)4　
(2)由题意,得BP=t.
在Rt△ABP中,∠B为锐角,
当∠APB=90°时(点P与点C重合),BP=BC,
∴t=4.
当∠BAP=90°时,如图,则CP=t-4.
在Rt△APC中,AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2,
在Rt△ABP中,AP2+AB2=BP2,
∴32+(t-4)2+52=t2.解得t=.
综上所述,t的值为4或.第3课时　利用勾股定理作图、计算
利用勾股定理在数轴上表示数
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=1,BC在数轴上,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是 (　　)
A.2- B.
C.-2 D.2-
2.如图,四边形OEBC为正方形.
(1)图中点A表示的数是　　　　.
(2)在图中画出表示的点M.
勾股定理与网格
3.如图,已知网格中每个小正方形的边长均为1,以点A为圆心,AB长为半径画弧交网格线于点D,则ED的长为 (　　)
A. B.3 C.2 D.
4.如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是 (　　)
A.线段AB B.线段BC
C.线段AC D.线段BD
5.如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C均在正方形的格点上,连接AB,AC,点C到AB的距离为 (　　)
A. B. C. D.
6.(2024聊城阳谷县月考)如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,P为CD上任意一点,则PB2-PA2的值为　　　　.
勾股定理与图形的计算
7.(2024济南历下区期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,BD是∠ABC的平分线,则CD的长为 (　　)
A. B. C. D.2
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,AC与BD相交于点O.若AB=5,CD=3,则AD2+BC2=　　　　.
1.(2024临沂沂水县期中)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,6),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于 (　　)
A.-8和-7之间 B.7和8之间
C.-9和-8之间 D.8和9之间
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若DE=15 cm,BE=8 cm,则BC的长为 (　　)
A.15 cm B.17 cm C.30 cm D.32 cm
3.如图,数轴上点A所表示的数为1,点B,C,D是4×4的正方形网格上的格点,以点A为圆心,AD长为半径画圆交数轴于M,N两点,则点M所表示的数为　　　　.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a=5,b=12,分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆,则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为　　　　.
5.(2024陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为　　　　.
6.(新定义)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”.
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC=2,BC=4.求证:△ABC是“美丽三角形”.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4.若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长.
图1　 　图2
7.(推理能力)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2……按照此规律继续下去,则S9的值为(　　)
A.()6 B.()7 C.()8 D.()9
【详解答案】
课堂达标
1.A
2.解:(1)
(2)如图所示,点M即为所求.
3.A　4.B　5.D
6.12　7.B　8.34
课后提升
1.A　解析:∵点P的坐标为(-4,6),∴OP==2.∵点A,P均在以点O为圆心,以OP的长为半径的圆上,∴OA=OP=2.∵12.25<13<16,∴3.5<<4.∴7<2<8.∵点A在x轴的负半轴上,∴点A的横坐标介于-8和-7之间.故选A.
2.D　解析:∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE=15 cm.在Rt△BDE中,BD==17(cm).
∴BC=CD+BD=15+17=32(cm).故选D.
3.1-　解析:∵OD⊥数轴,∴∠AOD=90°.∴△AOD是直角三角形.∵OA=1,OD=3,∴AD==.
∴AM=AD=.∴点M所表示的数为1-.
4.30　解析:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a=5,b=12,∴c2=a2+b2.∴图中两个“月牙”即阴影部分的面积为π·()2+π·()2+ab-π·()2=π×(a2+b2-c2)+ab=ab=×5×12=30.
5.60　解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BF∥AC,∴∠CBF=∠ACB.∴∠ABC=∠CBF.∴BC平分∠ABF.
如图,过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,
则CM=CN.
∵S△ACE=AE·CM,
S△CBF=BF·CN,
且BF=AE,∴S△CBF=S△ACE.∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA.∵AC=13,∴AB=13.设AM=x,则BM=13-x.由勾股定理,得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2.∴132-x2=102-(13-x)2.解得x=.∴AM=.
∴CM==.
∴S△CBA=AB·CM=60.
∴四边形EBFC的面积为60.
6.解:(1)证明:如图1,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=BC=2.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
得AD==4.
∴AD=BC.∴△ABC是“美丽三角形”.
图1　 　图2
(2)如图2,当边AC上的中线BD等于AC时,CD=AD=AC,
在Rt△BCD中,由勾股定理,得
BC====6.
当边BC上的中线AE等于BC时,
CE=BE=BC,
在Rt△ACE中,AC2=AE2-CE2,
即BC2-(BC)2=(4)2.
解得BC=8.
综上所述,BC的长是6或8.
7.A　解析:在图中标上字母E,如图所示.
∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,∴DE2+CE2=CD2,DE=CE.∴S2+S2=S1.观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,…,∴Sn=()n-3.∴当n=9时,S9=()9-3=()6.故选A.

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