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2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：轴对称证明题
1．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接．
(1)判断 的形状并证明；
(2)若，求的长．
2．已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）．
(1)如图①，当D为边的中点时，求证：；
(2)如图②，连接，求证：；
(3)F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）．
3．如图，点，，在同一条直线上，与都是等腰直角三角形，和都是直角，连接．
(1)求证：．
(2)判断和之间有怎样的位置关系，并说明理由．
4．如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若，的周长是，求的周长．
5．如图，在与中，，，，点在上，连接．
(1)吗？请说明理由；
(2)若，垂足为点，点在线段上，且，，求的长．
6．如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，的面积是，求．
7．如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
8．如图，点C是线段上一点（不与端点重合），分别以边和边为一边，在线段的同侧作等边三角形，得到和．连接，相交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)求证：．
9．如图，是等边三角形，过点的直线交于点，设，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接交直线于点．

(1)求的度数；
(2)求证：．
10．在中，是中线．
(1)如图1，若，，求的取值范围；
(2)如图2，是的中线，若，求证：．
11．如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
12．已知 是等边三角形，E、F 分别是边、上的点， 与相交于点G，且 ．
(1)如图1， 的度数为 ；
(2)如图2， 若， 垂足为D， 且，， 则的长度为 ；
(3)如图3， 以为边在左侧作等边， 连接， 求证∶ ．
13．在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，．
(1)如图1，若点D在边上，求证：．
(2)如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由．
14．如图，与是等边三角形．
(1)求证：；
(2)延长交于点，判断的大小并证明．
15．如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
16．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长；
(2)若，，
①求的度数；
②若，求的长．
17．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
18．已知等腰直角三角形，其中，．在上方作射线交于点D，使，E为射线上的一个动点，连接．
(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，过点C作，且，连接与射线交于点G．求证：．
(3)在图2的基础上，连接．点E在射线上运动的过程中，当所在直线与的边所在直线垂直时，请直接写出的度数．
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《2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：轴对称证明题》参考答案
1．(1)为等腰直角三角形．理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
（1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形；
（2）由得到，，然后计算即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论；
（2）根据“”证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论；
（3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答．
【详解】（1）证明：是等边三角形，为边的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：为边的中点，，
，
由（2）知：，
点在过点与平行的射线上运动，
，
，
如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，
垂直平分，
，，
，，
，，
，
．
即线段的长为3．
3．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，继而得到，通过“”证明，由全等三角形的性质即可得证；
（2）由，得到，从而，因此．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的有关计算可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，然后由等角对等边即可得出结论；
（2）由（1）可知，同理，于是可推出，根据的周长是可得，据此即可求出的周长．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
∵，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
同理，，
，
∵的周长是，，
，
的周长．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，根据等角对等边证明边相等，线段的和与差等知识点，根据角平分线的有关计算及两直线平行内错角相等得出是解题的关键．
5．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意证明，即可根据证明三角形全等；
（2）根据三角形全等得到，证明，根据，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
理由：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
6．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论；
（）根据三角形的面积，代入计算即可；
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴由，
则，
∵，，
∴，
∴，
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，，再结合即可得解；
（2）由（1）可得，，由等边对等角可得，，由三角形的内角和定理可得，进而可得，然后根据即可求出的度数．
【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点，
的周长为，
，，，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
，，
，，
，
．
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再利用定理即可得证；
（2）先求出，再根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（3）在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴是等边三角形．
（3）证明：如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质得，，再根据轴对称的性质得，，则，，进而得，然后再根据三角形的外角性质可得出的度数；
（2）在线段上截取，连接，先证明是等边三角形得，，由此可证明，则，然后根据等边三角形的性质得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：线段与线段关于直线对称，，
，垂直平分．
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
；
（2）证明：连接，在线段上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
线段与线段关于直线对称，
，且平分，
，，
，，
，
又，
，在与中，
，
，
，
又，，
，
即，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键．
10．(1)
(2)见详解
【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解；
（2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解．
【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则，
∵是的中线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
（2）证明：如图2，延长到点H，使，连接，则，
∵是的中线，是的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．(1)；
(2)的周长．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，
(1)先由三角形的内角和定理求得,再根据折叠的性质，得到,从而即可求解；
(2)根据折叠的性质，得到,进而计算周长即可；
熟练掌握折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：,,
，
由折叠可知，，
,
；
（2）解：由折叠可知，，
的周长.
12．(1)
(2)5
(3)证明过程见详解
【分析】（1）运用证明，再由即可求出的度数；
（2）求出，根据直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由此即可求出的长度；
（3）延长至，使，连接，可得为等边三角形，再证明出，根据全等三角形的性质得到，从而证得．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：由（1）得，，
，且，，
，
，
；
故答案为：5；
（3）解：延长至，使，连接，如图：
，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．(1)详见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）过点作，交于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点作，交于点．
∵是等边三角形，，
∴，
∴也是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
如图，过点作，交的延长线于点．
∵是等边三角形，，
∴，
∴也是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键．
14．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明全等；
（2）由全等的性质得到，进而得到，即可求出的大小．
【详解】（1）证明：与是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
∵，，
，
．
15．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由、 是等边三角形，易证，继而可证；
（2）由，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；
（3）作于点于点N，证明，由，即可得到结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，
∴，
；
（2）解：∵，
，
∴，
；
（3）证明：如图，作于点于点N，
，
，和的面积相等，
，
，
平分．
16．(1)
(2)①；②
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）①先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可，②利用由30度角的直角三角形的特征进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，是直角，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，得到，由得到，即可证明；
（2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明．
【详解】（1）证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为等边三角形．
18．(1)1
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，再根据30度的直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论；
（3）分情况讨论，当时；当时，点D与点E重合；当时；三种情况分别计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在直角三角形中，．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当时，如图，
又∵，
∴，
∴，
∵由（1）可知，
∴，
又∵，且，
∴，
∴；
②当时，如图，此时两点重合，
；
③当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴综上，的度数为或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形基本性质，全等三角形证明及及性质，三角形内角和定理，平行线的证明及性质等，是三角形的综合题，能够进行分类讨论是解题关键．
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