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2024--2025学年度八年级数学下册第八章学案
8.3用公式法解一元二次方程（3）
【学习目标】
掌握一元二次方程的求根公式；会用公式法解一元二次方程；
2.理解根的判别式，会根据b2-4ac的值判定方程根的情况。
【知识梳理】
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根. 我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
（1）当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
（2）当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根.x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
（3）当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
2.我们把 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式.
3.方程x2+x-1=0的根的情况是 .
【典型例题】 知识点 一元二次方程根的情况
1.m取什么值时关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
解得ｍ=＿＿＿＿＿＿ 这时方程的根ｘ＝
2.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
3.不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）2x+4x=3 （2）x-3x+3=0
（3）4x-4x+1=0 （4）
【巩固训练】
1.若方程ax2+3x+1=0有解，则a应满足的条件是_______．
2.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1= ，x2=_______．
3．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k>-1 B.k>1 C.k≠0 D.k>-1且k≠0
4.下列方程中无实数根的是（ ）
A.3x2－x－1=0 B.x2－2x－1=0 C.9x2=4（3x－1） D.x2＋7x＋15=0.
5.已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6.关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　 （填序号）．
7.已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
(2)如果k是满足（1）条件的最大的整数,且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一根。
8.3用公式法解一元二次方程（3）
【知识梳理】
（1）2 不相等 （2）1 相等. (3)无
3.两个不相等的实数根
2.①一般形式②③④
【典型例题】
1.-4（m-2） ,-4m+12, =, -4m+12=0, 3, x=1
2.k≥且k≠1
3.（1））两个不相等的实数根（2）无实数根（3）两个相等的实数根（4）无实数根
【巩固训练】
1.
2 .4,-3,-5 3.D 4.D 5 C 6 ① ③
7.解:(1)∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△==4 4k 0，解得：k 1.∴k的取值范围是k 1；
(2)因为当k 1时的最大整数值是1，
则关于x的方程是，解得：，
∵方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，∴当x= 1时,(m 1)+3m 7=0，解得：m=2.
则原方程为，解得，方程的另一根是7.
答：m的值是2.方程的另一根是7.
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