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2024--2025学年度八年级数学下册学案
6.3正方形的性质与判断（2）
【学习目标】
掌握正方形的判定方法，并会用它们进行有关的论证和计算.
【知识梳理】
正方形的判定方法
（1）_____________________________________的菱形是正方形.
（2）_____________________________________的矩形是正方形.
（3）_____________________________________的菱形是正方形（从对角线来说）.
（4）_____________________________________的矩形是正方形（从对角线来说）.
【典型例题】
知识点一.正方形的判定
1.如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形
(
1题图
)
2.已知：如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F，求证：四边形是正方形．
(
2
题图
)
【巩固训练】
1.如图,将长方形纸片折叠,使点A落在BC上的点F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是(　 )
A.邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
2.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
3. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A、①② B、②③ C、①③ D、②④
(
3题图
) (
1题图
) (
2题图
)
4.如图，中，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足．求证：四边形是正方形．
(
4
题图
)
(
5
题图
)5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
6.3正方形的性质与判断（2）
【知识梳理】
1.有一个角是直角 有一组邻边相等
对角线相等 对角线互相垂直
【典型例题】
1. ∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形
2. ∵，，，
∴四边形是矩形．
又∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形．
【典型例题】
1.A 2.B 3.B
4.证明：作于G，如图，
则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵外角平分线交于点A，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
5. （1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B，
在△BPD和△AQD中，
BD＝AD
∠DBP＝∠DAQ
BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，
∵∠BDP＋∠ADP＝90°
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP＝AP＝12AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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